ElectroYou

Buonasera,
avrei un dubbio nello svolgimento del seguente sistema dinamico in forma di stato:





Mi viene chiesto di discutere se esiste un valore dello stato iniziale per cui l'evoluzione libera dell'uscita valga: .

Ho pensato di procedere in questo modo:

L'evoluzione libera dell'uscita è :


ottengo che è pari ad una matrice 1x2 ovvero:

per cui deve esistere uno stato iniziale in modo da soddisfare la seguente equazione matriciale:



quinidi risolvendo si ottiene :



Però essendo questi due valori dipendenti dal tempo e non delle costanti non possono essere dei valori di per cui non esiste nessuno stato iniziale che ci permetta di ottenere l'evoluzione libera richiesta.

Questa discussione potrebbe essere plausibile ?

No è sbagliato.
Una cosa sono i "modi" del sistema un'altra cosa è il valore iniziale.
Lo stato iniziale è un punto di coordinate nello spazio delle fasi e non una funzione del tempo.
Quale coppia di coordinate moltiplicate per quelle funzioni del tempo danno il risultato che vuoi ottenere?

Per ottenere il risultato provando con la combinazione riesco ad eliminare i termini ottenendo ma non penso ci sia una combinazione che faccia uscire il termine ....

Non hai considerato che c'è anche il termine nel sistema su base stato.
Infatti l'ingresso tramite la matrice agisce direttamente sull'uscita.
Probabilmente con un determinato ingresso riesci a fissare una costante sull'uscita.
Il problema prevedeva l'utilizzo dell'ingresso oppure no?

In realtà la risposta completa del sistema sarebbe la seguente:



E di questa formula solo la prima parte riguarda l'evoluzione libera, inserirci anche una costante dovuta al termine è molto borderline perché questa parte è contenuta nella risposta forzata per definizione.
Bisogna vedere il problema dall'inizio ed interpretare correttamente la domanda perché nella definizione l'evoluzione libera si ha con ingresso identicamente nullo.

La traccia dice: "Dato il seguente sistema, si discuta se esiste un valore dello stato iniziale per cui l'evoluzione libera dell'uscita valga "
quindi penso si riferisca alla sola evoluzione libera:

ovvero la componente dipendente dallo stato iniziale e non dall'evoluzione forzata che invece dipende dall'ingresso ( e quindi anche ). Inoltre in questo caso la matrice non è una costante ma anche una matrice 1x2 essendoci due ingressi, quindi non saprei..

La matrice è una costante, il fatto che hai 2 ingressi non ha nulla a che fare con la costanza o meno della matrice di trasmissione diretta.
Se non puoi utilizzare gli ingressi con il solo stato non puoi avere in uscita una costante.
Una cosa strana è che gli autovalori della matrice sono positivi.
Sicuro riguardo i coefficienti? Riguarda il testo del problema.

Sfortunatmente è corretta. Quindi stando a quanto detto una risposta plausibile alla traccia è che non esiste una combinazione di dello stato iniziale che ci permette di ottenere l'evoluzione libera cercata in quanto per ottenere la costante è necessario considerare gli ingressi e quindi l'evoluzione forzata ( )