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Esercizio cavo coassiale (capacità-induttanza)

Circuiti, campi elettromagnetici e teoria delle linee di trasmissione e distribuzione dell’energia elettrica

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[1] Esercizio cavo coassiale (capacità-induttanza)

Messaggioda Foto UtenteLoki88 » 7 feb 2012, 14:12

Salve a tutti, vorrei proporvi questo esercizio per sapere se la mia risoluzione è esatta o meno. Ringrazio in anticipo per l'aiuto.

Il testo chiede il calcolo di capacità e induttanza per unità di lunghezza.
\mu_{r1} = 1
\mu_{r2} = 1
\epsilon_{r1} = 2.1
\epsilon_{r2} = 3



Vi scrivo come ho pensato di risolverlo.

Risolvo il laplaciano del potenziale tra le due armature per determinare l'andamento del campo:
\nabla^{2} V = 0
Usando le coordinate cilindriche il campo risulta ortogonale alle circonferenze concentriche, dunque si può assumere che il potenziale vari in funzione del raggio r, quindi è:
\frac{1}{r} \frac{\partial}{\partial r}\left( r \frac{\partial V}{\partial r} \right) = 0 ovvero: r \frac{\partial V}{\partial r} = K_{1} che ha soluzione: V_{1} = K_{1} ln \left( K_{2} r ) nel mezzo 1 e V_{1} = K_{3} ln \left( K_{4} r ) nel mezzo 2.
Assumo nullo il potenziale sull'armatura esterna e pari a V_{0} su quella interna, per r=R_{2} assumo uguali i potenziali e per rifrazione, essendo l'incidenza del campo elettrico normale alla superficie \epsilon_{1} \frac{\partial V_{1} }{\partial r} \right| _{r=R_{2}} = \epsilon_{2} \frac{\partial V_{2}}{\partial r} \right| _{r=R_{2}}
Messe a sistema le condizioni per trovare le costanti:
V_{0} = K_{1} \ln \left( K_{2} R_{1} \right)
0 = K_{3} \ln \left( K_{4} R_{3} \right) \longrightarrow  K_{4} = \frac{ 1 } { R_{3}}
K_{1} \ln \left( K_{2} R_{2} \right) = K_{3} \ln \left( \frac{ R_{2}}{R_{3}} \right)
\epsilon_{1} K_{1} = \epsilon_{2} K_{3} \longrightarrow K_{1} = \frac{\epsilon_{2}}{\epsilon_{1}} K_{3}

Dalla prima si ha che: K_{1} = \frac{ V_{0}}{ \ln \left(K_{2} R_{1}\right)} e dalla quarta: K_{3}=\frac{\epsilon_{1}}{\epsilon_{2}} \frac{ V_{0}}{ \ln \left(K_{2} R_{1}\right)}
Sostutuendo entrambe nella seconda: \ln \left( K_{2} R_{2} \right) = \frac{\epsilon_{1}}{\epsilon_{1}} \ln \left( \frac{R_{2}}{R_{3}} \right)  \longrightarrow K_{2} = \frac{1}{R_{2}}\left( \frac{R_{2}}{R_{3}} \right)^{\frac{\epsilon_{2}}{\epsilon_{1}}.
Quindi:
K_{1} = \frac{V_{0}}{ \ln \frac{R_{1}}{R_{2}} + \frac{\epsilon_{2}}{\epsilon_{1}} ln \frac{R_{2}}{R_{3}}} e K_{3} = \frac{\epsilon_{1}}{\epsilon_{2}} \frac{V_{0}}{ \ln \frac{R_{1}}{R_{2}} + \frac{\epsilon_{2}}{\epsilon_{1}} ln \frac{R_{2}}{R_{3}}}

Quindi definitivamente: V_{1} = \frac{V_{0}}{ \ln \frac{R_{1}}{R_{2}} + \frac{\epsilon_{2}}{\epsilon_{1}} ln \frac{R_{2}}{R_{3}}} \left( \ln \frac{r}{R_{2}} + \frac{\epsilon_{1}}{\epsilon_{2}} \ln \frac{R_{2}}{R_{3}} \right)
V_{2} =  \frac{\epsilon_{1}}{\epsilon_{2}} \frac{V_{0}}{ \ln \frac{R_{1}}{R_{2}} + \frac{\epsilon_{2}}{\epsilon_{1}} ln \frac{R_{2}}{R_{3}}} \ln \frac{r}{R_{3}}

A questo punto calcolo la carica per unità di lunghezza sulla superficie del cilindro interno per la legge di Gauss:
Q\acute{} = - \epsilon_{1} 2 \pi r \frac{\partial V}{\partial r} = \frac{ \epsilon_{1} V_{0} 2 \pi }{ \ln \frac{R_{2}}{R_{1}} + \frac{\epsilon_{2}}{\epsilon_{1}} ln \frac{R_{3}}{R_{2}} }
Da cui essendo la differenza di potenziale tra le due superfici V_{0} ottengo che:
C\acute{} = \frac{Q \acute{} }{ V_{0} } = \frac{ \epsilon_{1} 2 \pi }{ \ln \frac{R_{2}}{R_{1}} + \frac{\epsilon_{2}}{\epsilon_{1}} ln \frac{R_{3}}{R_{2}} }

Per l'induttanza assumo che il conduttore interno sia percorso dalla corrente uniforme sulla sua superficie I. Da cui risulta che il campo interno vale:
H_{i} = \frac{r I}{2 \pi R_{1}^2}\hat{i_{\varphi}}
Calcolo l'energia associata al cilindro per unità di lunghezza:
W\acute{} =\int^{R_{1}}_{0} \frac{1}{2}\mu_{0} H_{i}^{2} 2 \pi r dr = \frac{1}{2}\mu_{0} \frac{I^{2}}{2 \pi R_{i}^{4}}\int^{R_{1}}_{0} r^{3} dr  = \frac{\mu_{0} I^{2}}{ 16 \pi }
Quindi l'induttanza interna per unità di lunghezza nel conduttore interno è: L_{i}\acute{} = \frac{2 W\acute{}}{I^{2}}=\frac{\mu_{0} }{ 8 \pi }

Il campo tra le due armature è: H_{e} = \frac{I}{2 \pi r }
Nei due mezzi (anche se di permeabilità uguale, ma per esercizio lo svolgo come se fossero distinti):
B_{1} = \mu_{1} H_{e}
B_{2} = \mu_{2} H_{e}
Calcolo il flusso totale come somma dei flussi dovuti ai singoli vettori di induzione:
\phi = \phi_{1} + \phi_{2} = \int^{R_{2}}_{R_{1}}B_{1} dr + \int^{R_{3}}_{R_{2}}B_{2} dr = \frac{I}{2 \pi} \left( \mu_{1} \ln \frac{R_{2}}{R_{1}} + \mu_{2} \ln \frac{R_{3}}{R_{2}}\right)
Da cui l'induttanza tra le due superfici: L_{e}\acute{} = \frac{1}{2 \pi} \left( \mu_{1} \ln \frac{R_{2}}{R_{1}} + \mu_{2} \ln \frac{R_{3}}{R_{2}}\right)
Quindi infine l'induttanza complessiva per unità di lunghezza vale:
L\acute{} = \frac{1}{2 \pi}\left( \mu_{1} \ln \frac{R_{2}}{R_{1}}+\mu_{2}\ln \frac{R_{3}}{R_{2}}+\frac{1}{4}\right)

Non ho fatto calcoli pratici, ma se non vi dispiace fatemi sapere se il mio modo di ragionare è esatto o meno, vi ringrazio infinitamente, buona giornata a tutti. :D
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[2] Re: Esercizio cavo coassiale (capacità-induttanza)

Messaggioda Foto UtenteIsidoroKZ » 7 feb 2012, 14:28

Sai calcolare la capacita` di un condensatore cilindrico coassiale con dielettrico uniforme? O anche con il vuoto come dielettrico?

Poi vedi la tua struttura come due capacita` in serie, e non fai tutti quei conti lunghissimi.
Per usare proficuamente un simulatore, bisogna sapere molta più elettronica di lui
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[3] Re: Esercizio cavo coassiale (capacità-induttanza)

Messaggioda Foto UtenteLoki88 » 7 feb 2012, 14:36

Certo, tu dici di calcolarli come due condensatori distinti e poi fare la capacità equivalente come due condensatori in serie?
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[4] Re: Esercizio cavo coassiale (capacità-induttanza)

Messaggioda Foto UtenteIsidoroKZ » 7 feb 2012, 14:38

Oh yes! Immagini una armatura messa all'interfaccia fra i due dielettrici e ti ritrovi con due condensatori coassiali in serie.

Scoprire tutte le volte l'acqua calda puo` non essere la soluzione migliore, specie in uno scritto di esame.
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[5] Re: Esercizio cavo coassiale (capacità-induttanza)

Messaggioda Foto UtenteLoki88 » 7 feb 2012, 14:53

Si, in effetti questo è un testo d'esame e stare a integrare il laplaciano non è sempre semplice.
Cambia molto se assumo che siano due condensatori differenti, a quel punto assumo uguali le cariche ed il gioco è fatto se non sbaglio. La capacità resta legata al raggio e alla d.d.p., se non sbaglio dovrebbe essere:

C \acute{} = \frac{2 \pi \epsilon}{ \ln \frac{R_{e}}{R_{i}}}

per il generico condensatore coassiale, sostituendo i vari raggi ottengo le singole capacità e calcolo l'equivalente serie.
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[6] Re: Esercizio cavo coassiale (capacità-induttanza)

Messaggioda Foto UtenteLoki88 » 8 feb 2012, 13:43

Altra domanda, se assumessi la carica Q sulla superficie interna potrei procedere analogamente? Naturalmente poi la carica assunta si semplifica.
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[7] Re: Esercizio cavo coassiale (capacità-induttanza)

Messaggioda Foto UtenteIsidoroKZ » 8 feb 2012, 13:52

Per calcolare la capacita` di un condensatore a facce piane parallele con dielettrico omogeneo, usi la carica?

In uno scritto usa le formule che conosci, le derivazioni delle formule lasciale per l'orale, a meno che non ci sia esplicitamente scritto di ricavarle.
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[8] Re: Esercizio cavo coassiale (capacità-induttanza)

Messaggioda Foto UtenteLoki88 » 8 feb 2012, 19:28

Bhè no, a faccie piane so che è quella l'espressione della capacità, ma non sono bravo a ricordare le formule a memoria, quindi cerco il modo più rapido possibile per giungere al risultato.
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[9] Re: Esercizio cavo coassiale (capacità-induttanza)

Messaggioda Foto UtenteIsidoroKZ » 8 feb 2012, 19:40

Ah, ok, credevo te la ricordassi. Se invece devi ricavarla al volo immagina una lamina metallica all'interfaccia fra i due dielettrici, con +Q da un lato e -Q dall'altro, e poi metti in serie i due condensatori.
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[10] Re: Esercizio cavo coassiale (capacità-induttanza)

Messaggioda Foto UtenteLoki88 » 8 feb 2012, 19:42

Grazie infinite :D
Così faccio subito subito con Gauss. Se passo questo appello faccio festa :cool:
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