Stabilizzatore Digitale

[oiram92]

Buonasera, sto svolgendo un po' di esercizi di controlli automatici in vista dell'esame ed ho trovato una tipologia di esercizi che finora non avevo mai incontrato. Il testo:

Stabilizzare il seguente sistema utilizzando un compensatore digitale in retroazione :



Assumere il tempo di campionamento pari a

Tentativo di svolgimento

Innanzitutto calcolo tramite la relazione :



Poi applico la trasformazione bilineare in modo da studiare la stabilità allo stesso modo dei sistemi a tempo continuo :



quindi alla fine si ha :



ed i poli sono :

Essendo entrambi nel semi-piano sinistro vuol dire che il sistema è stabile. Corretto?

[Gost91]

Ciao oiram92, la tua conclusione non è corretta. Mi sembra che tu non abbia una visione molto chiara della teoria, per cui prima di risolvere l'esercizio ti farei un riassuntino.

Diciamo innanzi tutto che il tipico sistema di controllo digitale (o meglio, a tempo discreto, in quanto non si tratta il problema della quantizzazione dei segnali) a retroazione è il seguente

Sorgente FidoCadJ | Ingrandisci | Cos'è Fidocad

Come è solito fare, con denoto la frequenza complessa a tempo discreto mentre con la frequenza complessa a tempo continuo.
Il significato dei segnali è il solito, è il setpoint, è l'errore di inseguimento, è l'ingresso al processo e infine è l'uscita del processo. I segnali a tempo discreto sono indicizzati per mezzo del pedice , mentre i segnali a tempo continuo hanno come argomento .
Il convertitore digitale-analogico (DAC) genera in base all'uscita del controllore il segnale di ingresso al processo, viceversa il convertitore analogico-digitale (ADC) genera in base all'uscita del processo il segnale da confrontare con il setpoint scelto.

Ora veniamo al sodo, la sintesi di sistemi di controllo a retroazione e a tempo discreto (ossia la determinazione del controllore tempo discreto) può essere effettuata seguendo i due paradigmi distinti seguenti:

1. sintesi diretta: si discretizza il processo da controllare per poi determinare "direttamente" nel dominio discretizzato un controllore .
   
   Come spesso avviene, nel caso in cui il processo venga discretizzato utilizzando come DAC un interpolatore ZOH e come ADC un campionatore ideale (il quale, naturalmente, soddisfacente teorema del campionamento) si può facilmente dimostrare che vale la seguente equivalenza
   
   
   
   

   Sorgente FidoCadJ | Ingrandisci | Cos'è Fidocad

   
   
   dove è nella famosa, e già da te citata, forma
   
   
   
   L'operatore è la trasformata Zeta, mentre l'operatore è l'antitrasformata di Laplace. Questa "formulona" si trova facilmente precalcolata per una vasta gamma di processi , come il doppio integratore dell'esercizio in questione. Per esempio, guarda pagina 39 e 40 di questo documento.
   
   Prima di procedere ti faccio notare un paio di cose. La prima è che la fdt (funzione di trasferimento) del processo di partenza si usa denotarla con in modo da distinguerla dalla sua discretizzazione comprensiva lo ZOH, il processo e il campionatore. L'altra è l'ipotesi di campionamento regolare, ossia che l'asse del tempo viene suddiviso in intervalli di egual durata , detta tempo di campionamento.
   
   
2. sintesi indiretta: si determina un controllore tempo continuo per il processo a tempo continuo nel dominio a tempo continuo, poi a seguire se ne determina una possibile discretizzazione .
   
   Per esempio, utilizzando il metodo da te citato della trasformazione bilineare (detto anche metodo di Tustin), una volta determinato il controllore , il controllore a tempo discreto che si cerca si ottiene come
   
   
   
   C'è comunque da dire che di tecniche di discretizzazione ce ne sono molte, per esempio i metodi di integrazione (tra cui vi è il metodo della trasformazione bilineare), i metodi di invarianza o il metodo di matching poli-zeri.
   
   Concludo facendoti notare che, a differenza della sintesi diretta, nella sintesi indiretta (proprio perché la sintesi non avviene "direttamente" nel dominio tempo discreto) il controllore finale a tempo discreto viene determinato in modo approssimato invece che esatto. Questo può essere un problema nella pratica perché se il tempo di campionamento non è sufficientemente piccolo si possono ottenere dei comportamenti "imprevisti" da parte del sistema di controllo.

A questo punto la teoria preliminare c'è tutta, quindi oiram92 ti consiglio per prima cosa di scegliere una delle due vie possibili (senza fare mescoloni come nel primo post) e poi a seguire provare a risolvere l'esercizio.

[oiram92]

Ciao e grazie per i richiami teorici, adesso è un po' più chiara la questione (ma non troppo purtroppo..)

Finora "mi sono abituato" ad avere esercizi in cui erano assegnate delle speicifiche da rispettare (sovraelongazione, errore al gradino, alla rampa ecc..) questo esercizio è un po' troppo generico e quindi mi sento un po' spaesato.. Ci ho ragionato davvero tanto ma non riesco a venirne a capo..

Quello che ho provato a fare è stato utilizzare il metodo indiretto progettando il controllore nel dominio di s e cercando di cavare delle specifiche dal tempo di campionamento.

Essendo , dalle regole di progettazione penso che le specifiche da imporre dovrebbero essere :

Banda passante :

Margine di fase positivo : scelgo ad esempio

Dalla scelta del margine di fase segue che : e

Da queste specifiche ho provato a cercare una rete anticipatrice però ottengo :



quindi sto introducendo un polo positivo..sicuramente non sto stabilizzando nulla..potresti darmi una dritta per favore? grazie infinite

[dimaios]

quindi sto introducendo un polo positivo..sicuramente non sto stabilizzando nulla

In generale questa affermazione è falsa. Non è vero che non si può fare dal punto di vista teorico in quanto a te interessano i poli in catena chiusa e non quelli in catena aperta, ma è comunque sconsigliato per motivi che per ora non sono oggetto della discussione.

Invece di utilizzare formule senza comprenderne a fondo il significato fai un passo indietro e considera come puoi rappresentare un integratore nel dominio discreto.



Per cui :


da cui deriva :


Nel tuo caso ce ne sono due in serie per cui basta moltiplicare 2 funzioni di trasferimento dell'integratore nel discreto ed hai discretizzato il sistema senza usare formule imparate a memoria.

A questo punto hai un sistema che con ingresso a gradino, in catena aperta diverge perché consiste in due integratori in serie.

[Gost91]

Finora "mi sono abituato" ad avere esercizi in cui erano assegnate delle speicifiche da rispettare (sovraelongazione, errore al gradino, alla rampa ecc..) questo esercizio è un po' troppo generico e quindi mi sento un po' spaesato.. Ci ho ragionato davvero tanto ma non riesco a venirne a capo..

Beh in realtà una specifica da rispettare c'è, anzi, la specifica per eccellenza: la stabilità del sistema ad anello chiuso. Il fatto che non ci siano ulteriori vincoli da rispettare semplifica (e non lo complica!) l'esercizio, e dei metodi per giungere ad una soluzione ce ne sono a tonnellate .
Quale utilizzare non è chiaro, e dipende da quali strumenti teorici hai a disposizione.
Per esempio, ed è il mio preferito, c'è proprio un metodo sistematico che restituisce un controllore stabilizzante, e tra poco te lo mostro a puro titolo di esempio.

Comunque, come consiglio, ti suggerisco di riportare dettagliatamente il tuo metodo di sintesi, in modo da poterlo commentare insieme.

Quello che ho provato a fare è stato utilizzare il metodo indiretto progettando il controllore nel dominio di s e cercando di cavare delle specifiche dal tempo di campionamento.

Perfetto, allora optiamo per la seconda strada.

Ti faccio notare però che anche la prima strada è valida (e forse preferibile, per i motivi suddetti) e che il fatto di lavorare nel dominio discreto non è una complicazione. Infatti tutto quello che conosci nel dominio continuo è ancora valido nel dominio discreto, salvo per la forma della regione di stabilità che non è più il semipiano complesso sinistro ma è ora il cerchio unitario centrato nell'origine .

Essendo ... ...potresti darmi una dritta per favore?

Dunque la tua idea sembra valida, e mi sembra di capire (ma probabilmente mi sbaglio) che ti sei mosso seguendo l'approccio classico della sintesi per tentativi. Comunque il sistema in questione non è comune (=sistema stabile, a fase minima, privo di ritardi) quindi la sintesi per tentativi può fallire.


Analisi del "vecchio" controllore

Per prima cosa verifichiamo se il controllore che hai determinato stabilizza il sistema ad anello chiuso.

Ho dei seri dubbi riguardo il tuo risultato, in quanto il controllore che hai trovato non è stabile, mentre la sintesi per tentativi restituisce sempre un controllore stabile. Come appena detto, la sintesi per tentativi può fallire in questi casi, in quanto non è detto che il processo in questione sia fortemente stabilizzabile, ossia ammette come controllore stabilizzante un controllore internamente stabile. Al riguardo, non è neanche chiaro stabilire a priori se vale o no la PIP (parity interlacing propriety - teorema 3 di questo documento), per cui è necessario approfondire la questione.

Th (criterio della differenza di ritorno) - un sistema in retroazione unitaria è stabile sse
1) la differenza di ritorno ha tutte le radici nella regione di stabilità
2) nella funzione di anello non si hanno cancellazioni instabili

La funzione di anello , con la scelta del tuo controllore, è ovviamente



In base al criterio della differenza di ritorno, si capisce per via numerica che il sistema ad anello chiuso è instabile, ossia il trovato non stabilizza . Infatti, non presenta cancellazioni instabili ma la differenza di ritorno in questione, ossia



ha come radici (instabili) e (stabile).
Il sistema comunque non è lontanto dalla stabilità, in quanto alla pulsazione di attraversamento la fase sta sotto i -180° di circa una ventina di gradi.

Il tuo presentimento riguardo l'incorrettezza del risultato si è rivelato corretto.


Sintesi di un "nuovo" controllore

Sostanzialmente, il metodo che utilizzo è una sintesi diretta (non mi riferisco alla sintesi diretta del post precedente!) che si limita a restituire un controllore fisicamente realizzabile (ossia con eccesso poli-zeri nonnegativo) e stabilizzante. Non mi soffermo sui dettagli teorici del metodo (di cui comunque possiamo parlarne più avanti), ma mi limito a mostrarti sommariamente i passaggi pratici per giungere alla soluzione.

Impongo quindi una determinata forma standard alla funzione di sensitività complementare (fdt dal setpoint all'uscita del processo):



dove

• è il polinomio fattorizzato dagli zeri instabili del processo. In questo caso il processo non presenta alcuno zero instabile, pertanto è semplicemente ;
  
• e sono i due gradi di libertà del progetto, da fissare in modo da rendere il controllore che si sta cercando sia fisicamente realizzabile che stabilizzante. Il primo è un polinomio a coefficienti reali, il secondo è un intero;
  
• è un polinomio stabile, la cui scelta è dovuta al fatto che semplifica i calcoli ancora da svolgere.

Algortimo risolutivo

Procedo distinguendo i passi successivi

1. Per prima cosa si fissa la molteplicità del polo in della precedente. La scelta che rende il controllore realizzabile (e che tra l'altro minimizza l'ordine del controllore) è
   
   
   
   dove
   
   • 
   • 
   • 
   
   
2. Adesso si determina il polinomio , il quale è della forma , in quanto deve essere di grado , che in questo caso è uno. I due parametri e si determinano imponendo le condizioni per cui il controllore è stabilizzante.
   Detti rispettivamente e il numeratore e il denominatore di , e e le loro derivate (rispetto ), le condizioni da imporre sono*
   
   
   
   sostituendo a , e le rispettive espressioni, si trova
   
   
   
   pertanto
   
   *nota: la loro giustificazione richiede un po' di tempo, magari ne riparliamo più avanti
   
   
   
3. A questo punto non resta che determinare il controllore in base alla ora nota
   
   
   
   La sensitività è legata alle fdt del controllore e del processo per mezzo della relazione (facilmente ottenibile grazie alla formula di Mason) seguente
   
   
   
   quindi, dopo un po' di semplice algebra, si trova finalmente
   
   

Analisi del "nuovo" controllore

E' immediato constatare che il nuovo controllore è realizzabile, in quanto la sua fdt è bipropria (ossia con eccesso poli-zeri nullo).
Un po' meno immediato è verificare che è anche stabilizzante. Per farlo conviene calcolare il polinomio caratteristico d'anello , il quale deve essere pari al denominatore della sensitività precedentemente fissata.

Detti , i denominatori del processo e del controllore e detti , i numeratori del processo e del controllore, si ha che



i poli ad anello chiuso, come c'era da aspettarsi, sono 3 e tutti in -1, per cui il controllore è stabilizzante.

E' interessante osservare come l'algoritmo abbia restituito come controllore la cascata di un proporzionale e una fdt correttrice di tipo anticipatrice con costante di tempo e fattore di amplificazione :



questo è un controllore stabile, il che dimostra la stabilizzabilità forte del processo. In particolare, il sistema è stabile anche in modo abbastanza robusto, infatti il margine di fase è di oltre 50°

Tutto questo significa che anche con la sintesi per tentativi si può produrre un risultato corretto.



Conclusioni

A questo punto per completare l'esercizio manca l'ultimo passaggio, ossia la discretizzazione del controllore. Io la lascerei fare a te e, a seguire, ti suggerisco di verificare che il sistema di controllo a tempo discreto che ne deriva è effettivamente stabile.

[oiram92]

Grazie mille Gost91 e dimaios per l'aiuto che mi state dando e scusate per il ritardo nella risposta ma ho voluto approfondire/ri-studiare meglio tutta quella parte. Ho capito la logica su come bisogna procedere in questo tipo di esercizi.

Adesso si determina il polinomio , il quale è della forma , in quanto deve essere di grado , che in questo caso è due.

ma non è di primo grado? Forse intendevi che il grado deve essere pari a ?

le condizioni da imporre sono*

Queste condizioni valgono in generale o sono soltanto imposte per questo tipo di sistema? Il metodo che hai proposto mi piace molto potrebbe essere considerato valido negli esercizi in cui viene specificatamente richiesto di utilizzare la sintesi diretta?

Adesso posto il mio procedimento e poi vorrei farti qualche domanda un po' più generica (non legata a questo esercizio) su cui ho qualche dubbio. Dunque:

Per stabilizzare il sistema e fare in modo che significa imporre che la pulsazione di attraversamento della fdT sia :



Per quella pulsazione, modulo e fase valgono :

e

Di conseguenza il margine di fase è nullo. Per stabilizzare il sistema dobbiamo inserire una rete anticipatrice che anticipi la fase di (ad esempio) in modo tale da avere un margine di fase positivo. Tuttavia, condizione necessaria affinchè sia possibile inserire la rete è che :



Per verificare questa disuguaglianza inseriamo in cascata al processo un blocco proporzionale, per cui :

da cui

Scegliamo ed applicando la procedura sistematica per la rete anticipatrice abbiamo :



Discretizzando il controllore con la trasformazione di Tustin si ottiene :



che è stabile in quanto soddisfa . Infine calcolando e la fdT retroazionata :



si vede che tutte le radici hanno modulo minore di 1, quindi è il controllore stabilizzante cercato.


Adesso vorrei farti qualche domanda un po' più generica :

1) Dato un sistema stabilizzato (con determinate specifiche) tramite sintesi per tentativi, calcolare l'uscita a regime ad un disturbo costante nel sistema retroazionato significa assumere che all'ingresso del sistema abbiamo la sovrapposizione di oppure il disturbo agisce (si somma) all'uscita del ramo diretto? Inoltre, se il disturbo , allora no?

2) Se al sistema del punto 1) invece del disturbo agisce un ritardo nell'attuatore pari a ed un ritardo nel sensore pari a significa che in cascata al processo ho un blocco ritardante pari a :



giusto?

3) Per i sistemi a tempo continuo, per verificare la stabilità del sistema (tra i tanti metodi) posso utilizzare il criterio di Routh applicato al denominatore del sistema retroazionato. Invece, per quanto riguarda i sistemi a tempo discreto ci sarebbe il criterio di Jury (analogo discreto del criterio di Routh) che tuttavia viene sconsigliato in favore del classico metodo di verifica .

Quest ultimo metodo va applicato sulla fdT retroazionata e vanno verificati sia i poli sia gli zeri giusto?

Nel caso in cui esistono poli o zeri che non verificano la precedente relazione significa che il sistema ha poli (o zeri) instabili (perché non sono contenuti nella circonferenza di raggio unitario) e di conseguenza va stabilizzato il sistema?

[Gost91]

ma non è di primo grado? Forse intendevi che il grado deve essere pari a ?

Hai ragione, my bad :)

Queste condizioni valgono in generale o sono soltanto imposte per questo tipo di sistema?

Le condizioni da imporre variano da processo a processo (anche perché se fossero sempre le solite l'algoritmo restituirebbe sempre il solito il controllore).

Queste traducono quantitativamente il fatto che, affinché sia valida la seconda ipotesi del criterio della differenza di ritorno, i poli instabili del processo devono essere zeri (instabili e con la stessa molteplicità) della sensitività complementare , la quale ha come numeratore [per intendersi, io chiamo quella che te chiami ].
Nel caso in esame il processo ha un solo polo instabile, doppio e in , quindi per si devono annullare le espressioni e

Più in generale, se un processo mostra un polo instabile in di molteplicità , allora da questo nascono le seguenti condizioni da rispettare

Il metodo che hai proposto potrebbe essere considerato valido negli esercizi in cui viene specificatamente richiesto di utilizzare la sintesi diretta?

Beh questo lo dovresti sapere te. Mi verrebbe da dirti di sì visto che tecnicamente è un metodo di sintesi diretta, dato che si impone una desiderata per poi invertirla rispetto al controllore . Ad ogni modo, se non hai mai visto questo metodo a lezione, credo che la soluzione desiderata debba essere ottenuta per mezzo di altri metodi che, come già detto, ce ne sono a tonnellate. Dovresti sentire il tuo professore.

Per stabilizzare il sistema e fare in modo che significa imporre che la pulsazione di attraversamento della fdT sia :

Non ho capito bene che tipo di relazione utilizzi. Il tempo di campionamento è legato alla frequenza di campionamento e la pulsazione di campionamento, mentre le pulsazioni di attraversamento (ne esistono due! dovresti specificare a quale ti riferisci) sono legate alla fdt del processo.

Comunque qui la faccenda è piuttosto strana perché in genere il tempo di campionamento non è una specifica ma è un parametro da determinare conseguentemente alla banda passante del sistema, in modo che sia soddisfatto robustamente il teorema del campionamento (questo perché nella sintesi indiretta si deve tener conto delle approssimazioni in gioco). Quantitativamente una buona scelta è



Io procederei come hai fatto te, cioè definendo manualmente margine di fase (ad esempio 30°) e banda passante (però utilizzando la relazione qua sopra).

Per quella pulsazione, modulo e fase valgono :

e

Di conseguenza il margine di fase è nullo. Per stabilizzare il sistema dobbiamo inserire una rete anticipatrice che anticipi la fase di (ad esempio) in modo tale da avere un margine di fase positivo. Tuttavia, condizione necessaria affinchè sia possibile inserire la rete è che :


Per verificare questa disuguaglianza inseriamo in cascata al processo un blocco proporzionale, per cui :



da cui



Scegliamo ed applicando la procedura sistematica per la rete anticipatrice abbiamo :

Francamente non conosco il metodo che hai usato, in particolare non comprendo il significato della condizione



Io per sintesi per tentativi intendo il metodo di sintesi che fa uso dei diagrammi di Bode. Comunque, alla fine dei conti il controllore che trovi assegna i poli ad anello chiuso nella regione di stabilità, oltretutto con il margine di fase previsto.

A parte quel paio di ambiguità precedenti, non ho niente da aggiungere quindi

Discretizzando il controllore con la trasformazione di Tustin si ottiene :



che è stabile in quanto soddisfa . Infine calcolando e la fdT retroazionata :


si vede che tutte le radici hanno modulo minore di 1, quindi è il controllore stabilizzante cercato.

Non mi sono messo a fare i calcoli, comunque il procedimento è corretto. Direi quindi che hai risolto l'esercizio, quindi ancora una volta

Dato un sistema stabilizzato (con determinate specifiche) tramite sintesi per tentativi, calcolare l'uscita a regime ad un disturbo costante nel sistema retroazionato significa assumere che all'ingresso del sistema abbiamo la sovrapposizione di oppure il disturbo agisce (si somma) all'uscita del ramo diretto?

Quando ci sono di mezzo fdt razionali fratte (praticamente sempre nei corsi base in controlli automatici, salvo presenza di ritardi) si ha sempre a che fare con sistemi lineari, per cui vale il principio di sovrapposizione degli effetti.
Se vuoi determinare l'uscita del sistema in presenza di un riferimento con trasformata e di un disturbo con trasformata allora puoi

1. determinare l'uscita del sistema in assenza di disturbo (D(s)=0, R(s) quella che è);
2. determinare l'uscita del sistema in assenza di riferimento (R(s)=0, D(s) quella che è);
3. ottenere il risultato come somma dei due precedenti risultati parziali.

Naturalmente il primo risultato dipende dal punto di iniezione del disturbo. Se tale disturbo entra additivamente sulla uscita e la retroazione è unitaria allora sì, l'effetto è quello di sommarsi al riferimento quindi il sistema reagisce al segnale di ingresso R+D. Tuttavia ti merita sempre applicare sovrapposizione degli effetti piuttosto che studiare la risposta al segnale complessivo R+D.

se il disturbo , allora no?

Ad essere pignoli la risposta è no, in quanto in automatica si predilige l'utilizzo della trasformata di Laplace unilatera. Il risultato corretto sarebbe



dove per intendo il gradino unitario. Tuttavia si tende a sottointendere il gradino a moltiplicare, che dovrebbe essere invece sempre presente. Per esempio un altro risultato sarebbe



Quindi, con abuso di linguaggio, la risposta è sì, ossia per "segnale costante" si intende "segnale a gradino".

Se al sistema del punto 1) invece del disturbo agisce un ritardo nell'attuatore pari a ed un ritardo nel sensore pari a significa che in cascata al processo ho un blocco ritardante pari a :



giusto?

se per "attuatore" intendi "controllore" (in realtà sono due oggetti distinti questi), se ho capito bene, lo schema a blocchi che intendi dovrebbe essere questo

Sorgente FidoCadJ | Ingrandisci | Cos'è Fidocad

Per la formula di Mason, la fdt dal riferimento all'uscita è



come vedi, a moltiplicare il processo sia nel numeratore che nel denominatore vi è solo il ritardo tra controllore e processo. Questo significa che solamente il primo ritardo può essere considerato come parte integrante del processo, e quindi spostato a valle del processo. La risposta è dunque no.

Per i sistemi a tempo continuo, per verificare la stabilità del sistema (tra i tanti metodi) posso utilizzare il criterio di Routh applicato al denominatore del sistema retroazionato. Invece, per quanto riguarda i sistemi a tempo discreto ci sarebbe il criterio di Jury (analogo discreto del criterio di Routh) che tuttavia viene sconsigliato in favore del classico metodo di verifica .

Sono d'accordo con te, però devi tener presente che devono essere note le posizioni di tutti i poli. Se hai un denominatore retroazionato di grado elevato e non in forma fattorizzata non puoi altro che rifarti a Routh/Jury (analizzando i poli ad anello chiuso), oppure ai diagrammi di Bode o ancora Nyquist (analizzando la funzione ad anello aperto L(s)/L(z)), dato che non è possibile risolvere analiticamente equazioni algebriche di grado elevato.

Quest ultimo metodo va applicato sulla fdT retroazionata e vanno verificati sia i poli sia gli zeri giusto?

No, devi verificare solamente la posizione dei poli della fdt retroazionata. Solo loro caratterizzano la stabilità del sistema.
Uno zero "instabile" non provoca instabilità nel sistema, l'aggettivo si riferisce solamente alla sua posizione nel piano complesso.

Nel caso in cui esistono poli o zeri che non verificano la precedente relazione significa che il sistema ha poli (o zeri) instabili (perché non sono contenuti nella circonferenza di raggio unitario) e di conseguenza va stabilizzato il sistema?

Se esistono poli ad anello chiuso che non soddisfano il criterio di Routh/Jury allora il sistema è instabile ed occorre stabilizzarlo per mezzo di un opportuno sistema di controllo.