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Radici di polinomi con astuzia e sacrificio

Analisi, geometria, algebra, topologia...

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[1] Radici di polinomi con astuzia e sacrificio

Messaggioda Foto UtenteIanero » 9 mar 2019, 17:01

Il titolo è ovviamente scherzoso, ma non troppo.
Mi sono trovato di fronte a un problema che mi ha fornito un metodo incredibilmente potente. Ci ho messo un po' per mettere tutti i pezzettini insieme, ma ne è valsa la pena.
Lo propongo anche a voi di seguito, vediamo se non incuriosiva solo me. :-)

Trovare in forma esatta e senza metodi approssimati tutte le radici del polinomio P(x)=x^7+3x^6+5x^5+7x^4+7x^3+5x^2+3x+1

Non sono ammesse radici trovate 'a tentativi' :mrgreen:

O_/
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[2] Re: Radici di polinomi con astuzia e sacrificio

Messaggioda Foto Utentebrabus » 9 mar 2019, 17:56

Rompiamo il ghiaccio con la strada canonica:
Notando che il numero intero -1 è una delle 7 soluzioni del polinomio, posso affermare che esso è divisibile per (x+1). Divido il polinomio, ottengo il quoto e procedo da lì. Un occhio più allenato del mio potrà individuare un polinomio notevole già scomposto.

Avverto tuttavia che Foto UtenteIanero si riferisce a un metodo di gran lunga più brillante, che sono bramoso di vedere. :-)
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[3] Re: Radici di polinomi con astuzia e sacrificio

Messaggioda Foto UtenteIanero » 9 mar 2019, 17:58

E' una radice trovata a tentativo :-P
Vabbè una te la passo dai, e come continuiamo però? Non possiamo trovarle tutte così, soprattutto se il polinomio diventa più complicato di questo. :-)

...che sono bramoso di vedere. :-)

Se vuoi vederlo tutto ti mando un MP, se invece vuoi giocarci un po' continuiamo qui :-)
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[4] Re: Radici di polinomi con astuzia e sacrificio

Messaggioda Foto Utente6367 » 9 mar 2019, 18:05

Vagamente mi ricordo che questo caso si studiava.
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[5] Re: Radici di polinomi con astuzia e sacrificio

Messaggioda Foto UtenteIanero » 9 mar 2019, 18:09

Bello, a me non l'hanno mai fatto vedere, l'ho scoperto giorni fa ma c'è voluto un po' per schiarirmi tutta la strada, sono coinvolte un po' di cose nel percorso.
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[6] Re: Radici di polinomi con astuzia e sacrificio

Messaggioda Foto Utentewruggeri » 9 mar 2019, 19:11

Farlo per un'equazione di settimo grado è un po' lungo, quindi magari provo più tardi... ma intanto sparo la mia proposta cretina: e se usassimo le formule di Viète? :mrgreen:
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[7] Re: Radici di polinomi con astuzia e sacrificio

Messaggioda Foto Utentexyz » 9 mar 2019, 19:29

Io vedo una costruzione di un triangolo e so' quanto vale il prodotto delle radici e la somma, non sono ancora riuscito a legare queste informazioni per individuare tutte le radici.
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[8] Re: Radici di polinomi con astuzia e sacrificio

Messaggioda Foto UtenteIanero » 9 mar 2019, 19:36

wruggeri ha scritto: ma intanto sparo la mia proposta cretina: e se usassimo le formule di Viète? :mrgreen:

Non ti so rispondere, ma ad occhio mi sembra molto problematico.
Però mai dire mai, fammi sapere se funziona :-)
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[9] Re: Radici di polinomi con astuzia e sacrificio

Messaggioda Foto Utentewruggeri » 9 mar 2019, 19:49

L'idea è di scrivere tutte le formule e procedere per sostituzione... per capirci, partendo dalle due equazioni:

x_1x_2x_3x_4x_5x_6x_7 = -1
x_1(x_2x_3x_4x_5x_6 + x_3x_4x_5x_6x_7) + x_2x_3x_4x_5x_6x_7 = 3

Si può ottenere, per esempio, un'espressione di x_1 rispetto alle altre variabili... il principale limite evidente di questo approccio è che le espressioni rischiano di diventare davvero complesse, per cui probabilmente la risoluzione con carta e penna non è praticabile :-k
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[10] Re: Radici di polinomi con astuzia e sacrificio

Messaggioda Foto UtenteIanero » 10 mar 2019, 0:51

Suggerimento: considerare le relazioni che possono sussistere, in generale, tra gli zeri di un polinomio e quelli della sua derivata.
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