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Radici di polinomi con astuzia e sacrificio

Analisi, geometria, algebra, topologia...

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[11] Re: Radici di polinomi con astuzia e sacrificio

Messaggioda Foto UtenteEcoTan » 10 mar 2019, 9:07

Non è assolutamente il mio campo e non mi cimento. Solo mi viene una domanda: non è che questo metodo va bene soltanto per trovare le radici intere?
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[12] Re: Radici di polinomi con astuzia e sacrificio

Messaggioda Foto UtenteIanero » 10 mar 2019, 9:52

Neanche il mio tranquillo, comunque no, è più generale e va bene anche per radici complesse.
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[13] Re: Radici di polinomi con astuzia e sacrificio

Messaggioda Foto Utentexyz » 10 mar 2019, 9:56

EcoTan ha scritto:.. questo metodo va bene soltanto per trovare le radici intere?

Si chiamano equazione diofantee:

https://it.wikipedia.org/wiki/Equazione_diofantea

questo polinomio a posteriori, conoscendo tutte le radici, solo alcune sono intere in ℝ, invece sono tutte intere in ℂ.

La successione delle derivate del polinomio è la seguente:

7\,x^6+18\,x^5+25\,x^4+28\,x^3+21\,x^2+10\,x+3
42\,x^5+90\,x^4+100\,x^3+84\,x^2+42\,x+10
210\,x^4+360\,x^3+300\,x^2+168\,x+42
840\,x^3+1080\,x^2+600\,x+168
2520\,x^2+2160\,x+600
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[14] Re: Radici di polinomi con astuzia e sacrificio

Messaggioda Foto UtentePietroBaima » 11 mar 2019, 12:12

xyz ha scritto:La successione delle derivate del polinomio è la seguente:

7\,x^6+18\,x^5+25\,x^4+28\,x^3+21\,x^2+10\,x+3
42\,x^5+90\,x^4+100\,x^3+84\,x^2+42\,x+10
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5040\,x+2160
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non solo, la funzione continua ad essere derivabile per sempre:

7\,x^6+18\,x^5+25\,x^4+28\,x^3+21\,x^2+10\,x+3
42\,x^5+90\,x^4+100\,x^3+84\,x^2+42\,x+10
210\,x^4+360\,x^3+300\,x^2+168\,x+42
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[15] Re: Radici di polinomi con astuzia e sacrificio

Messaggioda Foto UtentePietroBaima » 12 mar 2019, 19:00

Io darei una rimpolpatina al thread, il metodo di Foto UtenteIanero è carino e vale la pena di essere conosciuto (anche se non può che essere un metodo numerico)

Io osserverei questa cosa curiosa e mi chiederei se sia un caso

Codice: Seleziona tutto
f[x_] := (x - x0) (x - x1) (x - x2) (x - x3) (x - x4) (x - x5) (x - x6)
x /. Solve[D[f[x], {x, 6}] == 0, x]
{1/7 (x0 + x1 + x2 + x3 + x4 + x5 + x6)}


In pratica se faccio la derivata sesta di un polinomio di settimo grado e la pongo uguale a zero ottengo la media delle sette soluzioni (reali o complesse che siano).
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[16] Re: Radici di polinomi con astuzia e sacrificio

Messaggioda Foto UtenteIanero » 12 mar 2019, 19:31

Nella parola 'numerico' rientrano anche delle semplici operazioni di derivazione e divisione tra polinomi esatte?
Non lo so, ma nel caso allora sì, è un metodo numerico :-)
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[17] Re: Radici di polinomi con astuzia e sacrificio

Messaggioda Foto UtentePietroBaima » 12 mar 2019, 19:32

Puoi farlo in modo simbolico o devi avere dei numeri nell'equazione?
Altrimenti avresti trovato la formula per risolvere una equazione polinomiale di grado n :-)
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[18] Re: Radici di polinomi con astuzia e sacrificio

Messaggioda Foto UtenteIanero » 12 mar 2019, 19:38

Non è una formula, ma è un algoritmo che vale indipendentemente dai numeri.
Non conduce a trovare gli zeri in maniera diretta, ma mi fornisce un polinomio che ha tutti gli zeri che sto cercando, ma a molteplicità unitaria.
Di conseguenza, se il polinomio iniziale è composto da zeri con grandi molteplicità, allora questo metodo praticamente risolve il problema. Se invece il polinomio è di alto grado e con tanti zeri a molteplicità basse, questo metodo è pressoché inutile.
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[19] Re: Radici di polinomi con astuzia e sacrificio

Messaggioda Foto UtentePietroBaima » 12 mar 2019, 19:41

Cioè è un metodo numerico.
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[20] Re: Radici di polinomi con astuzia e sacrificio

Messaggioda Foto UtenteIanero » 12 mar 2019, 19:42

Ok :mrgreen:
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