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Radici di polinomi con astuzia e sacrificio

Analisi, geometria, algebra, topologia...

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[21] Re: Radici di polinomi con astuzia e sacrificio

Messaggioda Foto UtentePietroBaima » 12 mar 2019, 19:43

:D
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Io capisco le cose per come le scrivete. Per esempio: K sono kelvin e non chilo, h.z è la costante di Planck per zepto o per la zeta di Riemann e l'inverso di una frequenza non si misura in siemens.
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[22] Re: Radici di polinomi con astuzia e sacrificio

Messaggioda Foto Utentexyz » 17 mar 2019, 14:24

Per caso si usa il teorema (ignoro se ha un nome) in termini non rigorosi: data una radice del polinomio, se questa radice divide anche la derivata prima del polinomio (senza resto) allora la radice ha molteplicità uguale o maggiore di due ?
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[23] Re: Radici di polinomi con astuzia e sacrificio

Messaggioda Foto UtenteIanero » 17 mar 2019, 15:04

Sì, anche :-)
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[24] Re: Radici di polinomi con astuzia e sacrificio

Messaggioda Foto UtenteIanero » 25 mar 2019, 9:03

Chiamiamo Q(x) il massimo comun divisore tra P(x) e P’(x):

1. che legame c’è tra gli zeri di Q(x) e quelli di P(x)?
2. e tra quelli di P(x) e quelli di \frac{P(x)}{Q(x)}?

Supponiamo che P(x) sia un polinomio qualsiasi.
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[25] Re: Radici di polinomi con astuzia e sacrificio

Messaggioda Foto Utentexyz » 25 mar 2019, 18:21

Il GCD (Greatest Common Divisor) tra due polinomi è spiegato qui:

https://en.wikipedia.org/wiki/Polynomia ... on_divisor

Se Q(x) = \mbox{gcd}(P(x), P'(x)) significa che posso fattorizzare P(x) in questo modo:

P(x) = Q(x) \cdot  R(x)  \qquad\qquad\qquad (I)

dove R(x)\, è un fattore polinomiale di P(x) ma non di P'(x). Se Q(x) = 1 allora P(x) e P'(x) sono coprimi.

Ianero ha scritto:1. che legame c’è tra gli zeri di Q(x) e quelli di P(x)?

Se z_i è uno zero di Q(x) allora è anche uno zero di P(x), non vale il viceversa.

2. e tra quelli di P(x) e quelli di \frac{P(x)}{Q(x)}?


Dalla (I) posso scrivere R(x) = \frac{P(x)}{Q(x)}\,.

se z_l è uno zero di R(x)\, è uno zero di P(x) ma non di Q(x).
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[26] Re: Radici di polinomi con astuzia e sacrificio

Messaggioda Foto UtenteIanero » 25 mar 2019, 22:05

Tutto giusto.
Dunque, cosa importante, abbiamo appena detto che Q(x) può avere come zeri solo un sottoinsieme di quelli di P(x) e non altri diversi.
Che possiamo dire ora riguardo alla molteplicità degli zeri di Q(x) rispetto a quella degli zeri di P(x)?
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[27] Re: Radici di polinomi con astuzia e sacrificio

Messaggioda Foto Utentexyz » 27 mar 2019, 15:12

Ianero ha scritto:Che possiamo dire ora riguardo alla molteplicità degli zeri di Q(x) rispetto a quella degli zeri di P(x)?

Se z_i è una zero di molteplicità m di Q(x) allora è uno zero anche di P(x) con almeno molteplicità m.
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[28] Re: Radici di polinomi con astuzia e sacrificio

Messaggioda Foto UtenteIanero » 28 mar 2019, 9:06

Non ‘almeno’, la sai la molteplicità, perché sai che Q(x) divide anche P’(x).
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[29] Re: Radici di polinomi con astuzia e sacrificio

Messaggioda Foto Utentexyz » 28 mar 2019, 14:12

Ianero ha scritto:perché sai che Q(x) divide anche P’(x).

Già vero, pensavo ad almeno uno zero di R(x) ma Q(x) divide anche P’(x) quindi gli zeri hanno la stessa molteplicità. In aggiunta ho anche scritto prima che gli zeri di R(x) non sono gli zeri di Q(x).
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[30] Re: Radici di polinomi con astuzia e sacrificio

Messaggioda Foto UtenteIanero » 29 mar 2019, 9:11

Dunque Q(x) ha tutti gli zeri di P(x) ma con molteplicità scalata di 1, giusto?
E allora chi sono gli zeri di P(x)/Q(x)? Se P(x) ha zeri a molteplicità alta, abbiamo abbassato di parecchio il grado del polinomio e quindi la complessità nel trovare gli zeri che ci interessano, no?
Tornando al problema iniziale, quali step seguiamo per risolverlo?
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