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Strani risultati da un filtro crossover

Elettronica lineare e digitale: didattica ed applicazioni

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[1] Strani risultati da un filtro crossover

Messaggioda Foto Utenteekardnam » 11 mag 2020, 11:22

Ciao!

Sto facendo una relazione di laboratorio per l'uni il cui scopo è analizzare dei dati relativi a un filtro crossover.
Ma c'è una cosa che non riesco a capire se prendo in considerazione le resistenze parassite dei componenti.

Lo schema è questo:


FGEN è un generatore di funzioni, ha una resistenza d'uscita di 50\Omega che ho trascurato. RL è la resistenza parassita dell'induttore, R3 è stata aggiunta per bilanciare la resistenza RL e R1 R2 sono i carichi.

Chiamando v_t l'output del tweeter, v_w l'output del woofer e v_{fgen} l'input del generatore di funzioni. Facendo i calcoli con i fasori trovo (ho usato le tilde per denotare i fasori):
|\tilde{v_t}| = \frac{R_2|\tilde{v}_{fgen}|}{\sqrt{(R_2 + R_3)^2 + (\omega C)^{-2}}}
|\tilde{v}_w| = \frac{ R_1 |\tilde{v}_{fgen}|}{\sqrt{(R_1 + R_L) ^ 2 + (\omega L)^2}}

E uguagliando le ampiezze trovo l'equazione per la frequenza di crossover:
(R_2 L)^2 (2 \pi f_c) ^ 4 + \left(R_2^2(R_1 + R_L)^2 - R_1^2(R_2 + R_3)^2\right)(2 \pi f_c) ^ 2 -\left(\frac{R_1}{C}\right)^2 = 0

A questo punto considerando che abbiamo scelto R_1 = R_2 e R_L = R_3 viene che il coefficiente del termine quadratico si annulla. Chiamiamo questo coefficiente B = \left(R_2^2(R_1 + R_L)^2 - R_1^2(R_2 + R_3)^2\right).

Risolvendo considerando B = 0 viene f_c = \frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{1}{LC}}.

Visto che i resitori sono stati scelti in modo tale che R_1 \approx R_2 e R_L \approx R_3 mi sarei aspettato che B fosse piccolo e ho trovato la correzione al primo ordine alla freqeunza angolare ottenendo
\omega_{c,corrected} = \omega_{c,0} - \frac{B}{4(R_2 L)^2 \omega_{c,0}}
in cui \omega_{c,0} è il termine di grado 0 (cioè \sqrt{\frac{1}{LC}}).

La correzione viene anche piuttosto piccola in effetti, ma B viene dell'ordine di 7 \times 10^9 \Omega^4.

A questo punto ho iniziato a non capirci più niente, perché il risultato della frequenza di crossover viene compatibile con \frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{1}{LC}} ma la soluzione è stata ottenuta considerando B nullo quindi non capisco. La soluzione esatta dell'equazione (perché alla fine non serve perturbarla visto che è un'equazione facile, e in ogni caso non è possibile visto che il parametro B non è piccolo) viene invece completamente diversa dai risultati sperimentali: viene una frequenza di crossover fra i 3.4 e i 3.6 kHz.

I valori misurati sono i seguenti: R_1 = (997 \pm 1)\Omega, R_2 = (999\pm 1)\Omega, R_3 = (200.8\pm 0.1)\Omega, R_L = (203.5\pm 0.2)\Omega, C = (44.0 \pm 0.4)nF, L = (47.6 \pm 0.5)mH.
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[2] Re: Strani risultati da un filtro crossover

Messaggioda Foto Utenteg.schgor » 18 mag 2020, 12:01

La simulazione conferma il calcolo della frequenza d'incrocio
fra i due diagrammi di Bode: fc=3478Hz
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[3] Re: Strani risultati da un filtro crossover

Messaggioda Foto UtenteIsidoroKZ » 18 mag 2020, 23:06

Era da un po' che volevo rispondere, ma in questi giorni di puro ozio intenso lavoro non avevo ancora trovato il tempo... In realta` cercavo di capire quale fosse il tuo dubbio.

Ho provato a rifare i conti, risolvendo l'equazione di secondo grado che hai scritto nel messaggio. Al posto di usare la variabile \omega ho usato \omega q=\omega^2, in modo da non incasinarmi con troppe radici quadrate.

Mi sembra che i tuoi conti siano giusti, mi pare che la perplessita` derivi dal termine B che e` enorme. In realta` e` solo un problema di normalizzazione.

Sono partito dall'equazione A\, \omega q^2+B\, \omega q -C=0 (sfortunatamente C e` sia il termine noto sia la capacita`). La soluzione la sanno tutti, e ho calcolato la derivata della soluzione rispetto al coefficiente B. la derivata valutata in B=0 vale

\left. \frac{\partial \omega q}{\partial B}\right |_{B=0}=-\frac{1}{2A}

In pratica ho calcolato la sensibilita` assoluta della frequenza rispetto al coefficiente B. Quindi la pulsazione al quadrato corretta viene

\omega q_{corr}\approx\omega q _{nom}-\frac{B}{2A}

Se si guarda solo al termine B, sembra enorme, ma bisogna considerare tutta l'espressione. Il termine correttivo vale

-\frac{7.423 \times 10^9 \Omega^4}{2(47.6\text{mH}\times 997 \Omega)^2}=-1.648\times 10^6 (\text{rad/s})^2

che e` sempre un numerone grande. Ma deve essere ulteriormente confrontato con \omega q che vale circa \omega q=477 \times 10^6\,(\text{rad/s})^2, molto maggiore della correzione.

Se si vuole ricavare la tua formula si ha

\omega_{corr}=\sqrt{\omega q _{nom}-\frac{B}{2A}}=\sqrt{\omega q_{nom}\left ( 1-\frac{B}{2A\omega q_{nom}}\right )}=

=\sqrt{\omega^2_{nom}\left ( 1-\frac{B}{2A\omega^2_{nom}}\right )}\approx\omega_{nom}\left( 1-\frac{B}{4 A \omega_{nom}^2} \right )

Quindi mi sembra che i tuoi conti siano giusti, complimenti! La differenza che si trova usando il formulone originale oppure quest'ultima approssimata sono dovute al fatto che queste derivano da sviluppi in serie troncati al primo termine.

Edit: avevo dimenticato un quadrato nell'ultimo termine, mentre ho corretto ho anche aggiunto qualche passaggio in piu`
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[4] Re: Strani risultati da un filtro crossover

Messaggioda Foto Utenteekardnam » 20 mag 2020, 9:50

IsidoroKZ ha scritto:Se si guarda solo al termine B, sembra enorme, ma bisogna considerare tutta l'espressione. Il termine correttivo vale

-\frac{7.423 \times 10^9 \Omega^4}{2(47.6\text{mH}\times 997 \Omega)^2}=-1.648\times 10^6 (\text{rad/s})^2

che e` sempre un numerone grande. Ma deve essere ulteriormente confrontato con \omega q che vale circa \omega q=477 \times 10^6\,(\text{rad/s})^2, molto maggiore della correzione.


Alla fine avevo finito per darmi questa spiegazione anche io.

Altra cosa particolare è che le misure in laboratorio sono abbastanza in disaccordo sia con \omega_{c,0} che aggiungendo la correzione e anche con la soluzione esatta dell'equazione.
Considerate le incertezze non sono terribilmente distanti i valori, il valore misurato è di f_c = (3417 \pm 7) \mathrm{Hz} mentre quello atteso (è la soluzione esatta, non quella correttà al primo ordine) (3470 \pm 37) \mathrm{Hz}. Forse l'incertezza su entrambe può essere un po' aumentata, ma rimangono comunque abbastanza distanti fra loro.
Putroppo causa virus in laboratorio ci sono andati i professori quindi capire perché le misure siano così non è immediato. L'unica cosa che ho pensato è se, visto che il circuito è fatto su breadboard, le capacità parassite possono avere degli effetti. Mi verebbe da dire che non sono effetti così significativi sui 3kHz, ma proverò a fare una simulazione.
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[5] Re: Strani risultati da un filtro crossover

Messaggioda Foto UtenteMarcoD » 20 mag 2020, 10:56

Instillo dubbi sulle misure dei componenti:
L = (47.6 \pm 0.5)mH.

La induttanza è stata misurata a una frequenza vicina a quella di crossover ?
L'induttanza è in aria o su un nucleo magnetico?
Come variano le perdite per "effetto pelle" al variare della frequenza? O_/
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[6] Re: Strani risultati da un filtro crossover

Messaggioda Foto Utenteekardnam » 20 mag 2020, 11:47

MarcoD ha scritto:Instillo dubbi sulle misure dei componenti:
L = (47.6 \pm 0.5)mH.

La induttanza è stata misurata a una frequenza vicina a quella di crossover ?
L'induttanza è in aria o su un nucleo magnetico?
Come variano le perdite per "effetto pelle" al variare della frequenza? O_/


Allora, premesso che i dati ci sono stati dati e non li abbiamo acquisiti noi, dalle specifiche della board elvis ii che è stata usata risulta una frequenza di 1kHz per la misura dell'induttanza e un'incertezza del 1%.

L'induttanza dalla foto che ci hanno dato è una di quelle che sembra un resistore, quindi credo abbia un nucleo ma non so di cosa.

L'effetto pelle nemmeno lo conoscevo (non per quando riguarda la corrente almeno), però non credo di avere dati per stimarne gli effetti.

Ho solo alcune analisi in frequenza e ad alcune frequenze fissate il comportamento a regime nel dominio del tempo.
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[7] Re: Strani risultati da un filtro crossover

Messaggioda Foto Utenteekardnam » 23 mag 2020, 14:24

Porto notizie.
A quanto pare avevo sbagliato a calcolare le incertezze sui resistori. Ora tornano i valori:
(3.42 \pm 0.01) \ \mathrm{kHz} valore misurato
(3.47 \pm 0.05) \ \mathrm{kHz} valore atteso

Direi che tornano compatibili (li ho messi in kilo Hertz così vedendo l'errore alla seconda cifra decimale uno pensa siano più vicini :roll: )
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