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sommare temperature: trova l'errore

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[1] sommare temperature: trova l'errore

Messaggioda Foto Utentedadduni » 6 feb 2023, 10:41

Salve a tutti,
Ho un dubbio stupido di carattere matematico, in questo momento non mi interessa l'interpretazione fisica della grandezza temperatura, e' solo il procedimento che mi lascia perplesso e ci dovrebbe essere qualche errore, ma non so dove.

0 ^\circ C = 32 ^\circ F
0 ^\circ C + 0 ^\circ C = 64 ^\circ F
0 ^\circ C = 64 ^\circ F
0 ^\circ C = 18^\circ C

E si arriva ad una contraddizione.

Approssimo la relazione tra Fahrenheit e Celsius per non scrivere frazioni, la sostanza non cambia.
^\circ F = ^\circ C \cdot 2 + 32

La domanda e': dov'e' l'errore?
Intendo dire a livello algebrico e di unita' di misura, qui non stiamo parlando di mescolare sostanze o del senso fisico di sommare due temperature. Se le unita' di misura sono scalari le ho sempre pensate additive, e visto che si possono calcolare temperature medie (si passa per una somma) e si possono calcolare tutti i \Delta T (somma algebrica) non vedo perche' la somma di temperature non dovrebbe potersi fare.
L'internet dice un sacco di fesserie e non mi hanno convinto per niente. Il fatto che non abbia senso fisico non significa che l'oprazione matematica non sia ben definita, tra l'altro la temperatura e' energia cinetica e quella e' sommabile senza problemi...



Chiaramente il tutto ha problemi anche in Kelvin:
0 ^\circ C = 273^\circ K
0 ^\circ C + 0 ^\circ C = 546^\circ F
0 ^\circ C = 546^\circ F
0 ^\circ C = 273^\circ C
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[2] Re: sommare temperature: trova l'errore

Messaggioda Foto Utentebrabus » 6 feb 2023, 10:46

La contraddizione nasce dal fatto che la prima equazione non ha senso matematico: le grandezze a sinistra e a destra del simbolo di uguaglianza hanno unità di misura diverse.

La formula corretta è questa:

(T1 \cdot 2 + 32) = T2

con T1 in °C e T2 in °F.

A zero gradi otteniamo:

(0 ^\circ C \cdot 2 + 32) = 32 ^\circ F
Alberto.
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[3] Re: sommare temperature: trova l'errore

Messaggioda Foto Utentedadduni » 6 feb 2023, 10:59

Sono assolutamente d'accordo con te sulla insensatezza delle espressioni che hanno un uguale in mezzo e due unita' di misure diverse a destra e sinistra se queste sono non lineari tra loro.

Y_{^\circ F} = X_{^ \circ C} \cdot 2_{\frac{^ \circ F}{^\circ C}} + 32_{\circ F}

Questa relazione dovrebbe essere piuttosto corretta. Tutto il problema sta in quello scalare a sommare, se ci fosse solo una scalatura pesata andrebbe tutto bene, ma quella somma rompe tutto o quasi tutto mi sembra.
(perdonate l'uso scorretto del grado centigrado con C ma il LaTeX e' scomodissimo mettere il circoletto ogni volta)
Mi pare corretto dire che
10C + 10C = 20C
o gia' qui ci sono problemi?

Se questa e' corretta allora le temperature sono semplicemente sommabili e ho solo enormi problemi di conversione. Significherebbe che se ho due temperature una in C e una in K non ho modo di sommarle tra di loro e tutte le conversioni sarebbero sbagliate
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[4] Re: sommare temperature: trova l'errore

Messaggioda Foto UtenteGioArca67 » 6 feb 2023, 17:06

La temperatura è una proprietà fisica intensiva, non ha quindi nessun senso fisico la somma che stai tentando di fare ed il risultato che ottieni.
Per cui seppure ti risulta algebricamente corretto non per questo deve essere fattibile, perché poi devi dare una interpretazione fisica.
Al più puoi sommare ad una temperatura una differenza di temperature, la quale sarà congruente in entrambe le rappresentazioni.
Quindi ha senso fare T1+∆T.
Es.
T1=0°C=32°F;
∆T°C=5°C-5°C=0°C;
∆T°F=41°F-41°F=0°F
0°C+0°C=0°C => 32°F+0°F=32°F

T1=10°C=50°F;
∆T°C=5°C-5°C=0°C;
∆T°F=41°F-41°F=0°F
10°C+0°C=10°C => 50°F+0°F=50°F

T1=30°C=86°F;
∆T°C=20°C-5°C=15°C;
∆T°F=68°F-41°F=27°F
30°C+15°C=45°C => 86°F+27°F=113°F
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[5] Re: sommare temperature: trova l'errore

Messaggioda Foto Utentedadduni » 7 feb 2023, 0:14

grazie ad entrambi per le risposte!
Onestamente non sono convinto dalla risposta di Foto UtenteGioArca67.
Chiaramente i miei sono solo ragionamenti ad alta voce e posso tranquillamente avere torto, altrimenti non starei qui a chiedere.
Ma ho alcune osservazioni:

- le unita' intensive ed estensive descrivono solo il comportamento di quella misura in funzione dell'oggetto a cui la misura e' applicata: le estensive variano al variare della "quantita' di materia" invece le intensive no. Non sono sicuro se algebricamente ci siano modi diversi di trattare le une e le altre.

- Perche' la somma non e' ben definita e la differenza si? Mi vien da dire che e' un risultato strano

- Se la differenza di due temperatura fa \Delta T ed e' ancora una temperatura, se poi sommo T_{finale} = T_{iniziale} + \Delta T siamo tornati al problema della somma di temperature.

- Se ti scrivo solamente una espressione tipo T_{2} = T_{1} + T_{0} come fai a sapere se la somma e' ben definita o meno? Da questa espressione come fai a stabilire se T1 o T2 sono temperature o "differenze di temperatura"?

- Se la sottrazione e' ben definita (perche' puoi calcolare i delta) allora T2 = T1 - T0 e' ben definita. Ma rigirando l'equazione T2 + T0 = T1 non e' piu' definita?
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[6] Re: sommare temperature: trova l'errore

Messaggioda Foto UtenteGioArca67 » 7 feb 2023, 10:00

Va bene.
Allora 10°C è il doppio di 5°C (10/5=2) e 1°C è infinitamente più grande di 0°C...
Ma 50°F (10°C) è 1,2195 volte 41°F (5°C)

Proviamo a fare un altro esempio:
Hai 2 pentole uguali riempite entrambe per metà con acqua a 50°C, versi il contenuto di una nell'altra, cosa ottieni?
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[7] Re: sommare temperature: trova l'errore

Messaggioda Foto UtentePietroBaima » 7 feb 2023, 10:45

Premesso che concordo con Gio, essendo C e F scale graduate ha senso sommare (o sottrarre) solo differenze di temperature e non ha senso alcuna altra operazione (sì, dire "oggi c'è una temperatura in °C doppia rispetto a ieri" non ha alcun senso).
L'unica cosa che si può fare è sommare temperature assolute, infatti la scala Kelvin non è una scala graduata (ed è questo il motivo per il quale è errato scrivere °K, ma si deve scrivere K).

Fatta questa premessa, pensa a quello che ti ha detto Brabus: non ha senso scrivere equazioni non corrette dimensionalmente.
Devi applicare una funzione di conversione fra le due temperature. Chiamiamola f e supponiamo che con 0°C tu intenda già un delta T.

Questa scrittura
dadduni ha scritto:0 ^\circ C = 32 ^\circ F
0 ^\circ C + 0 ^\circ C = 64 ^\circ F
0 ^\circ C = 64 ^\circ F
0 ^\circ C = 18^\circ C


diventa
f(0 ^\circ C) = 32 ^\circ F
f(0 ^\circ C + 0 ^\circ C) = f(0 ^\circ C)= 32 ^\circ F
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[8] Re: sommare temperature: trova l'errore

Messaggioda Foto UtenteGioArca67 » 7 feb 2023, 12:05

Comunque, a prescindere dagli aspetti formali di scale graduate e non (che sono ovviamente essenziali), che senso fisico ha la somma di due temperature?
Si fa (ad eccezione di trovare una temperatura media, che torna comunque con qualsiasi scala)?
Es.
in °F (50+41)/2=45,5
in °C (10+5)/2=7,5
in K (283,15+278,15)/2=280,65
che esprimono tutte la stessa temperatura
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[9] Re: sommare temperature: trova l'errore

Messaggioda Foto UtenteGioArca67 » 7 feb 2023, 13:25

PietroBaima ha scritto:diventa
f(0 ^\circ C) = 32 ^\circ F
f(0 ^\circ C + 0 ^\circ C) = f(0 ^\circ C)= 32 ^\circ F

Ma, se non ho capito male, l'OP intende altro, metto numeri differenti, altrimenti con l'elemento neutro rispetto alla somma "falsiamo" le cose:
f(10 ^\circ C) = 50 ^\circ F
f(10 ^\circ C + 10 ^\circ C) = f(20 ^\circ C)= 68 ^\circ F \neq 100 ^\circ F = 50 ^\circ F + 50 ^\circ F
oppure
f(10 ^\circ C) = 50 ^\circ F
f(5 ^\circ C) = 41 ^\circ F
f(10 ^\circ C + 5 ^\circ C) = f(15 ^\circ C)= 59 ^\circ F \neq 91 ^\circ F = 50 ^\circ F + 41 ^\circ F

La domanda forse allora è:
Perché se faccio la somma di due temperature espresse in una scala e poi faccio la somma delle stesse due temperature ma espresse in un'altra scala ottengo risultati diversi?
Se però sommo
2km + 3km = 5km e
1,2427mi + 1,8641mi = 3,1068mi
ottengo sempre la stessa quantità, anche se espressa in modi diversi (5km=3,1068mi)

La questione sembra essere puramente matematica.
La formula di trasformazione da °C a °F è:
T°F=T°C*1,8+32
Bene.
Allora tu hai T1°C e T2°C, le sommiamo ed otteniamo
T3°C=(T1+T2)°C
queste Tx°C le mettiamo nella formula di conversione per avere le Tx°F:
T1°F=T1°C*1,8+32
T2°F=T2°C*1,8+32
sommiamo membro a membro
T1°F+T2°F=T1°C*1,8+32 + T2°C*1,8+32
applichiamo la proprietà distributiva della somma rispetto alla moltiplicazione:
T1°F+T2°F=(T1°C+T2°C)*1,8+32+32
che puoi scrivere
(T1+T2)°F=(T1+T2)°C*1,8+32+32
che purtroppo è ben diverso da
T3°F=T3°C*1,8+32
a causa del +32 in eccesso, che è proprio la differenza sui valori che trovi sopra: 100-68=32, 91-59=32
Che poi altro non è che quello che dicevano Foto UtentePietroBaima e Foto Utentebrabus poiché in generale f(A+B) \neq f(A)+f(B) anche se f(x) è una retta.
Poiché nel caso della trasformazione fra scale di temperatura questa trasformazione non è una applicazione lineare in quanto non manda lo zero di uno spazio nello zero dell'altro non puoi applicare la proprietà di additività f(A+B) = f(A)+f(B).
Invece nel caso delle lunghezze hai un'applicazione lineare (la relazione è del tipo y=m*x, manca il termine costante che rompe le scatole) e quindi f(l_1+l_2) = f(l_1)+f(l_2)
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[10] Re: sommare temperature: trova l'errore

Messaggioda Foto UtenteGioArca67 » 7 feb 2023, 13:32

dadduni ha scritto:- Perche' la somma non e' ben definita e la differenza si? Mi vien da dire che e' un risultato strano

Perché con la sottrazione ti togli di mezzo "l'intruso":
T°F=T°C*1,8+32
Se fai T1°F-T2°F:
(T1°C*1,8+32) - (T2°C*1,8+32) = T1°C*1,8 - T2°C*1,8 +32-32 = (T1 - T2)°C*1,8
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