Definizione condizione di risonanza rete RLC

[cianfa72]

Se il circuito è sempre lo stesso, i poli non possono variare con i riferimenti perché "guardando" dal punto di vista dell'elemento reattivo in esame (ad esempio nel metodo delle costanti di tempo o nel caso più generico dell'nEET) io vedo sempre lo stesso circuito e quindi lo stesso contributo di impedenza, quindi ogni fdt dello stesso circuito avrà sempre gli stessi poli. Gli zeri invece mi rappresentano una fdt che cambia a secondo di dove mi posiziono sia per iniettare il segnale che per leggerlo, quindi cambieranno per ogni punto di ingresso/uscita.

Scusami, cosa intendi con nEET ?

Ti consiglio questo

Si grazie, ho visto il link. I grafici del modulo e fase della FDT dovrebbero esser i diagrammi di Bode dove (sull'asse delle ordinate del modulo compare il del modulo della FDT). In effetti si ritrova che la pulsazione di ringing (o naturale) del circuito RLC serie e' proprio quella che avevo riportato. La pulsazione di risonanza e' invece il "modulo" del vettore che congiunge l'origine del piano complesso della variabile con il punto che rappresenta il polo c.c.

Altra cosa: sempre dal link postato, la pulsazione di picco della FDT (cioe' del fattore di discrepanza D nel link) e' diversa dalla pulsazione di risonanza di cui sopra. Nel caso del circuito RLC serie c'e' pero' un ulteriore zero in nella FDT impedenza. Per cui nel caso del circuito RLC serie in pratica per la FDT impedenza coincide con .

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[cianfa72]

Tra l'altro rileggendo quel link non ho ben capito da dove esce fuori per la pulsazione a cui il fattore di discrepanza D di un sistema del secondo ordine ha un picco (con ). Quando poi parla di polo nell'altro semipiano che contribuisce ad alzare il guadagno in modo asimmetrico, a quale polo si riferisce ?

Grazie.

[EcoTan]

La mia modesta conclusione sarebbe che la frequenza di risonanza si attribuisce essenzialmente a un oscillatore armonico.

[cianfa72]

Tra l'altro rileggendo quel link non ho ben capito da dove esce fuori per la pulsazione a cui il fattore di discrepanza D di un sistema del secondo ordine ha un picco (con ). Quando poi parla di polo nell'altro semipiano che contribuisce ad alzare il guadagno in modo asimmetrico, a quale polo si riferisce ?

Comunque si, rileggendolo meglio, il polo nell'altro semipiano e' l'altro polo della coppia complessa coniugata (c.c.). In effetti calcolando la derivata del modulo del fattore di discrepanza D e ponendola uguale a zero, si trova che per quel valore di in effetti per si ha un massimo del modulo.

[gill90]

Scusami, cosa intendi con nEET ?

L'estensione dell'Extra Element Theorem (EET) per n elementi al posto di uno. In pratica "aggiungi" gli elementi reattivi uno alla volta e studi il contributo di ciascuno di loro considerando anche l'interdipendenza reciproca. Puoi trovare il paper originale di Middlebrook e Vorperian qui sul sito dell'IEEE (se hai modo di accedervi) oppure in giro per la rete, ad esempio questo summary.

Comunque si, rileggendolo meglio, il polo nell'altro semipiano e' l'altro polo della coppia complessa coniugata (c.c.). In effetti calcolando la derivata del modulo del fattore di discrepanza D e ponendola uguale a zero, si trova che per quel valore di in effetti per si ha un massimo del modulo.

Corretto. A essere sincero nemmeno io mi sono mai posto il dubbio prima di leggere questo articolo, ho sempre pensato erroneamente che la frequenza di massima ampiezza coincidesse con quella di ringing di risposta all'impulso.

Nel caso del circuito RLC serie c'e' pero' un ulteriore zero in nella FDT impedenza. Per cui nel caso del circuito RLC serie in pratica per la FDT impedenza coincide con .

Intendi un polo? Comunque no, anche in questo caso la pulsazione di picco varia rispetto a quella naturale.

[cianfa72]

Intendi un polo? Comunque no, anche in questo caso la pulsazione di picco varia rispetto a quella naturale.

Si scusa, un polo in per la FDT impedenza, ovvero uno zero per la FDT ammettenza. Quello che volevo dire e' che per la FDT ammettenza nel suo complesso, il massimo del modulo si ha per e non per che e' invece la pulsazione di massimo considerando il solo denominatore della FDT ammettenza.

[gill90]

Scusa, non avevo capito. Esatto

[cianfa72]

Scusami se ritorno sul tema: se ho ben capito, assegnato un circuito, se scegliamo ordinatamente come input e output per diverse FDT gli stessi tipi di grandezze (es input corrente ed output tensione) allora i poli delle FDT sono sempre gli stessi.

Se e' corretto, dove posso trovarne una dimostrazione ?

[gill90]

Come dicevo una paio di post sopra, non ho mai trovato una dimostrazione rigorosa su questo tema, però io me la sono immaginata in questo modo: supponiamo per semplicità di considerare una rete con un solo elemento reattivo, e quindi un solo polo.
Salvo casi degeneri, a questa rete possiamo applicare l'EET e considerare questo elemento reattivo come componente "aggiunto".
Scrivendo in formule:



Dove è il guadagno senza elemento, è l'impedenza dell'elemento e , sono le impedenze viste dai suoi terminali in particolari condizioni.
Da notare che è puramente proporzionale, non ci sono altre reattanze coinvolte.
A questo punto puoi notare come (che corrisponde al "null output") cambi a seconda di cosa consideri come uscita: pertante vedrai una diversa impedenza a seconda di dove ti poni.
invece corrisponde all'impedenza vista quando spegni l'ingresso: di fatto questa espressione sarà sempre identica e non dipenderà più dall'ingresso (che ora è spento).
Con un elemento reattivo quindi il polo sarà dettato da una espressione di impedenza estrapolata da una rete in cui non compaiono né ingressi né uscite (lo zero invece dipenderà da queste), per cui possiamo associare il polo a questa particolare rete.

Se ora aggiungiamo ancora altri elementi reattivi, possiamo applicare iterativamente l'EET (oppure più in generale l'nEET, che sarebbe l'estensione "matriciale" dell'EET) associandolo anche in questo caso a una rete che non dipende da ingressi/uscite. Sarà sicuramente più complessa perché prevede coefficienti di interazione tra i vari elementi, ma il ragionamento alla base rimane lo stesso di prima.

Non so quanto questo possa valere come dimostrazione, ma a me sembra filare.

[cianfa72]

Si il ragionamento mi torna (non sapevo proprio di questo teorema EET/nEET). Ovviamente l'esempio che facevi di FDT si estende a tutti i 4 tipi di FDT (corrente/corrente, corrente/tensione, tensione/corrente e tensione/tensione). In effetti fissato il tipo di input il denominatore (e quindi i poli della corrispondente FDT) e' invariante al variare dell'output considerato (in pratica il denominatore e' funzione dell'impedenza "vista" di Thevenin)

Per casi degeneri penso intendi maglie formate da soli generatori di tensione e/o condensatori oppure tagli formati da generatori di corrente e/o induttori.

Volevo aggiungere una cosa: normalmente la FDT fa riferimento ad un input rappresentato da un generatore indipendente di tensione o corrente. Se consideriamo invece come input ad es la corrente attraverso una resistenza di un dato circuito allora questa non e' piu' una variabile indipendente. Tuttavia penso possiamo comunque ragionare in termini del teorema di sostituzione, ovvero sostituire alla resistenza per es un generatore di corrente e calcolare la FDT relativa ad un certo output. Dopodiche' l'applicazione della FDT calcolata si limita di fatto a quel particolare valore/funzione di input che e' soluzione del circuito di partenza.

E' corretto?