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Re: Bartlett & Barkhausen

Problemi curiosi e quiz vari.

Moderatore: Foto Utentecarlomariamanenti

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[91] Re: L'angolo di Barkhausen

Messaggioda Foto Utentemir » 10 ott 2009, 14:03

:-k ..mmh, mi sembra piu' una domanda da forum di scienze matematiche ........ :mrgreen:
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[92] Re: L'angolo di Barkhausen

Messaggioda Foto UtenteRenzoDF » 10 ott 2009, 14:26

mir, non fare tanto il difficile :!: ... per uno come te, che è riuscito a installare "felicemente" Ubuntu, questo sarà un gioco da ragazzi :mrgreen:
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[93] Re: L'angolo di Barkhausen

Messaggioda Foto UtenteEdmondDantes » 10 ott 2009, 14:29

Dovrebbero essere x=1476 e y=41
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Se non studio un giorno, me ne accorgo io. Se non studio due giorni, se ne accorge il pubblico.

Io devo studiare sodo e preparare me stesso perché prima o poi verrà il mio momento.
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[94] Re: L'angolo di Barkhausen

Messaggioda Foto UtenteRenzoDF » 10 ott 2009, 14:32

Bravo :!: ... ma io voglio tutte le coppie :!:
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[95] Re: L'angolo di Barkhausen

Messaggioda Foto UtenteEdmondDantes » 10 ott 2009, 14:34

Già! Vero...mi sono concentrato sulla soluzione che non ho fatto caso a quel plurale...
Ultima modifica di Foto UtenteEdmondDantes il 10 ott 2009, 14:35, modificato 1 volta in totale.
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[96] Re: L'angolo di Barkhausen

Messaggioda Foto Utentemir » 10 ott 2009, 14:35

RenzoDF ha scritto:mir, non fare tanto il difficile :!: ... per uno come te, che è riuscito a installare "felicemente" Ubuntu, questo sarà un gioco da ragazzi :mrgreen:

dai, Renzo, sai benissimo che Ubuntu si installa/configura da solo con una semplicità unica, per questo ci sono riuscito... :mrgreen: :mrgreen:
PS, di la verità, te l'ha suggerita la spalla admin,eh...
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[97] Re: L'angolo di Barkhausen

Messaggioda Foto UtenteEdmondDantes » 10 ott 2009, 14:46

Si possono escludere tutte le coppie x,y il cui prodotto xy non sia un quadrato perfetto...tanto per iniziare.
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[98] Re: L'angolo di Barkhausen

Messaggioda Foto UtenteEdmondDantes » 11 ott 2009, 15:30

Poco fa ho ripreso il problema.
Ho trovato le seguenti coppie:
x=41 e y= 1476;
x= 164 e y=1025;
x=369 e y=656;

Se poi vogliamo includere anche lo zero abbiamo:
x=0 e y=2009;

Spero di aver risolto il problema 8)
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[99] Re: L'angolo di Barkhausen

Messaggioda Foto UtenteRenzoDF » 11 ott 2009, 17:12

EdmondDantes ha scritto:Poco fa ho ripreso il problema.
Spero di aver risolto il problema 8)


Bravissimo, ma non devi cercarle casualmente (o forse ... sequenzialmente ;) ), dovresti trovare (e spiegare) un metodo per metterle in fila tutte !

Come ? :D
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[100] Re: L'angolo di Barkhausen

Messaggioda Foto Utentedidimo » 11 ott 2009, 19:15

Spero che possa andar bene. :mrgreen: :mrgreen: :mrgreen:



イズミの数学
■数学好きのイズミが始めた、高校数学、大学数学を紹介するサイト。
TOP>大学入試数学演習>不定方程式の応用 [2009 横浜国大・工(後)]
不定方程式の応用
問題
 次の問いに答えよ。
(1) x2 - y2 = 2009 をみたす正の整数 x , y の組をすべて求めよ。
(2) x2 + y2 = 41 をみたす正の整数 x , y の組をすべて求めよ。
(3) 式 ( ac - bd )2 + ( ad + bc )2 を因数分解せよ。
(4) n を正の整数とする。 x2 + y2 = 2009n をみたす正の整数 x , y が存在することを示せ。
イズミの解答への道
 不定方程式の総合問題。(1)は因数分解型、(2)は範囲を絞る。(3)の恒等式を使って(4)に挑みます。(4)はかならず正の整数となるようにうまく調整したり、一般性を失わない範囲で大小関係を勝手に決めたりと、やや高度です。
 なお、 2009 = 72 × 41 です。一通り不定方程式の解法を身につけたらチャレンジし
解答
(1) 左辺を因数分解すると、
   ( x + y ) ( x - y ) = 72 × 41
である。いま、 x + y > x - y だから、
x + y 72 × 41 7 × 41 72
x - y 1 7 41
の3通り。それぞれ x , y についての連立方程式として解いて、
   ( x , y ) = ( 1004 , 1003 ) , ( 147 , 140 ) , ( 45 , 4 )

(2)
   x2 = 41 - y2 > 0 ……(a)
であるから、 y は6以下の整数。同様に x も6以下の整数。
(a)式に y = 1 , 2 , 3 , 6 を代入すると、 x は正の整数にならないので解とはならない。
y = 4 のとき、 x = 5 , y = 5 のとき x = 4 は式を満たす。よって求める答えは、
   ( x , y ) = ( 4 , 5 ) , ( 5 , 4 )

(3)
   ( ac - bd )2 + ( ad + bc )2
   = a2c2 - 2abcd + b2d2 + a2d2 + 2abcd + b2c2
   = a2 ( c2 + d2 ) + b2 ( c2 + d2 )
   =( a2 + b2 ) ( c2 + d2 )

(4) すべての n に対して、「x2 + y2 = 2009n をみたす正の整数 x , y が存在する……(※)」ことを、数学的帰納法によって証明する。
(i) n = 1 のとき
 (2)の結果である
   52 + 42 = 41  ……(a)
の両辺に 72 をかけて、
   352 + 282 = 2009  ……(b)
より(※)は成立。
(ii) n = k のとき(※)の成立を仮定すると、
   X2 + Y2 = 2009k  ……(c)
を満たす正の整数 X , Y が存在する。
 n = k + 1 のとき
   2009k+1 = 2009 × 2009k
ここで、(a)、(b)を代入して、
         = ( 352 + 282 ) × ( X2 + Y2 )
さらに(3)で得た恒等式より、 a = 35 , b = 28 , c = X , d = Y とみれば、
         = ( 35X - 28Y )2 + ( 35Y + 28X )2  ……(d)
となる。ここで、(c)において、 X > Y としても一般性を失わない。このとき、(d)式の第1項、第2項はどちらも正の整数である。
 以上、(i)、(ii)より、すべての n に対して(※)は満たされることが示された。
研究
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ho indovinato? :mrgreen:

saluti :-"

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