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Questione curiosa sui trasformatori

Circuiti, campi elettromagnetici e teoria delle linee di trasmissione e distribuzione dell’energia elettrica

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[31] Re: Questione curiosa sui trasformatori

Messaggioda Foto Utenteadmin » 26 nov 2009, 20:25

Il campo magnetico assiale del primario è variabile, quindi genera un campo elettrico ad esso perpendicolare pure variabile. Si ha pertanto un'onda elettromagnetica che si propaga in una direzione perpendicolare al piano individuato dal campo magnetico e dal campo elettrico, e che attraversa lo spazio che separa il primario dal secondario che la riceve.
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[32] Re: Questione curiosa sui trasformatori

Messaggioda Foto UtenteRenzoDF » 26 nov 2009, 21:03

admin ha scritto:Il campo magnetico assiale del primario è variabile, quindi genera un campo elettrico ad esso perpendicolare pure variabile. Si ha pertanto un'onda elettromagnetica che si propaga in una direzione perpendicolare al piano individuato dal campo magnetico e dal campo elettrico, e che attraversa lo spazio che separa il primario dal secondario che la riceve.


Bingooooooo :!: ... il vecchio Poynting ha colpito ancora :!: ... BRAVO admin :!: =D> =D> =D>

BTW l'amico di H è E .... e di conseguenza la potenza fluisce nella finestra interna con densità \vec{\wp }=\vec{E}\times \vec{H}\,\,\,\,({W}/{m^{2})}\;
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[33] Re: Questione curiosa sui trasformatori

Messaggioda Foto UtenteBStefanoB » 26 nov 2009, 22:02

Alla luce di questa rivelazione mi sorgono due domande, forse stupide, ma le faccio ugualmente :
1) quindi il funzionamento del trasformatore implica la presenza di fenomeni di propagazione?
2) mi sono chiari i casi di trasformatore ideale (riluttanza del nucleo nulla), e di trasformatore reale (riluttanza del nucleo non nulla e presenza di flussi dispersi); e nel caso di riluttanza del nucleo non nulla ed assenza di flussi dispersi (cioè di accoppiamento mutuo perfetto)?
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[34] Re: Questione curiosa sui trasformatori

Messaggioda Foto UtenteIsidoroKZ » 27 nov 2009, 0:58

BStefanoB ha scritto:Alla luce di questa rivelazione mi sorgono due domande, forse stupide, ma le faccio ugualmente :
1) quindi il funzionamento del trasformatore implica la presenza di fenomeni di propagazione?

Direi di si`
BStefanoB ha scritto:2) mi sono chiari i casi di trasformatore ideale (riluttanza del nucleo nulla), e di trasformatore reale (riluttanza del nucleo non nulla e presenza di flussi dispersi); e nel caso di riluttanza del nucleo non nulla ed assenza di flussi dispersi (cioè di accoppiamento mutuo perfetto)?


Nel caso di trasformatore ideale, c'e` comunque la induttanza dispersa. L'induttanza dispersa, che ci sia il nucleo o che non ci sia, praticamente non cambia (nucleo ad E con avvolgimenti tutti sulla gamba centrale). Questa affermazione sembra paradossale, ma in realta` e` quasi apodittica :).

Se si toglie il nucleo di un trasformatore cambia l'induttanza di magnetizzazione, ma praticamente resta invariata quella dispersa, sempre per trasformatori con avvolgimenti sovrapposti. Chissa` dove l'avevo imparata questa, e` saltata fuori dopo anni che latitava :)

Non e` possibile fare un trasformatore senza induttanza dispersa perche' bisognerebbe fare un trasformatore con primario e secondario nella stessa zona, cosa evidentemente non possibile: dove c'e` una spira del primario, nello stesso spazio non puo` esserci anche una spira di secondario. Se le si mettono solo vicine c'e` dispersa!
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[35] Re: Questione curiosa sui trasformatori

Messaggioda Foto UtenteIsidoroKZ » 27 nov 2009, 1:07

admin ha scritto:Il campo magnetico assiale del primario è variabile, quindi genera un campo elettrico ad esso perpendicolare pure variabile. Si ha pertanto un'onda elettromagnetica che si propaga in una direzione perpendicolare al piano individuato dal campo magnetico e dal campo elettrico, e che attraversa lo spazio che separa il primario dal secondario che la riceve.


E bravo admin che ha fatto centro! Non per nulla e` admin :) Chi lo avrebbe mai detto che il nucleo di un trasformatore funziona da guida per l'energia che va da ingresso e uscita sotto forma propagativa fuori dal nucleo.

Lo stesso si puo` dire delle linee elettriche che portano potenza in casa: le si puo` studiare come portatrici di tensione e corrente, oppure come guide d'onda (modo TEM) di un campo magnetico e uno elettrico il cui vettore di Poynting e` quello che porta l'energia.

Nel caso di linea elettrica si possono usare entrambi gli approcci, nel caso di linea "magnetica", non essendoci cariche libere l'analisi con il vettore di Poynting e` l'unica possibile.

Potrebbe esserci anche il caso duale, con trasformatore dielettrico, ma non mi sembra abbia applicazioni pratiche. Avevo provato a pensarci un po' ma non ricordo cosa avessi tirato fuori (nulla di buono suppongo, altrimenti me lo ricorderei)

Devo dire che fpalone ci era andato molto vicino!

Sto preparando una spiegazione con qualche conto, chissa` se riesco a finirla prima di andare a mangiare il tacchino :)
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[36] Re: Questione curiosa sui trasformatori

Messaggioda Foto UtenteIsidoroKZ » 28 nov 2009, 9:25

Avevo cominciato ieri una risposta, ma e` andata perduta :( Adesso ci riprovo. Se dico troppe castronerie fatemele notare: di macchine elettriche non ne so una cippa! Appunto per questo motivo quando avevo cercato di capire come funzionasse davvero un trasformatore avevo usato quel pochino di strumenti che conosco, un po' di elettromagnetismo di base.

Come osservazione generale vorrei osservare che per trasportare potenza servono sempre due grandezze, una intensiva e l'altra estensiva. Ad esempio tensione e corrente, forza e velocita`, coppia e velocita` angolare, componenti di campo elettrico e magnetico in un'onda elettromagnetica...

Se si ha solo uno dei due termini ad esempio campo E oppure campo H, velocita` oppure spostamento, tensione oppure corrente, si puo` immagazzinare energia, ma non propagare potenza. L'immagazzinamento puo` essere sotto forma di campo elettrostatico, magnetostatico, energia cinetica, energia elastica, energia in un condensatore o in induttore...

Una osservazione che mi ha sempre affascinato e` che per avere una propagazione per onde e` necessario avere una equazione differenziale alle derivate parziali di tipo iperbolico, contenente la derivata seconda di una grandezza rispetto al tempo. Usando solo una equazione di rotore delle equazioni di Maxwell, oppure solo L o solo C, o solo una massa o una molla, si ha solo una derivata del primo ordine rispetto al tempo e non c'e` verso di ottenere una equazione d'onda.

Da notare che quando si ha un circuito elettrico tradizionale (ad esempio la rete elettrica che porta potenza nelle nostre case), si possono fare i conti con tensione e corrente, oppure si puo` considerare la linea come una struttura guidante un modo TEM che porta fuori dai conduttori un'onda elettromagnetica, e calcolando il vettore di Poynting, prodotto vettoriale fra campo elettrico e campo magnetico, si ottiene la potenza trasportata dalla linea.

Torniamo al trasformatore. La potenza non puo` passare nel nucleo per il motivo che avevo gia` esposto in un post, basato sull'osservazione che un secondo secondario non da` tensioni diverse se il primo secondario cambia la potenza erogata. Ci sono pero` altre ragioni per convincersi di quello: ad esempio nel nucleo i vettori magnetici sono disposti "per il lungo" del percorso magnetico, mentre il vettore di Poynting e` in mezzi normali e` perpendicolare alla direzione dei campi. Inoltre nel nucleo potrebbe non esserci E (e addirittura neanche H) e con un solo campo non si porta potenza.

Il nucleo del trasformatore funziona da guida dell'energia elettromagnetica che fluisce fra primario e secondario, analogamente ai conduttori che portano la rete in casa. La differenza e` che nel caso dei conduttori di rete ci sono cariche elettriche, e quindi si possono fare i conti con tensione e corrente al posto che con i campi, nel caso del trasformatore non ci sono cariche magnetiche, e l'unica via di analisi e` attraverso i campi.

Quando avevo analizzato questo problema una decina di anni fa, avevo anche pensato al caso duale del trasformatore magnetico, un trasformatore dielettrico, ma non ero riuscito a trovare nessuna buona idea ne' di principio ne' tantomeno pratica.

Torniamo al trasformatore, in versione a doppia colonna perche' e` piu` facile visualizzare e fare i conti. Avevo gia` fatto vedere che fra i due gioghi c'e` un campo magnetico verticale H di notevole intensita`.

Riprendo la figura che avevo gia` usato:

T2sm.gif
Fig 1 - Percorso per l'applicazione del teorema della circuitazione
T2sm.gif (20.3 KiB) Osservato 4391 volte

Supponiamo che il trasformatore abbia Np spire di primario a cui e` applicata una tensione Vp e circoli una corrente Ip, e analogamente Vs, Ns e Is sono le grandezze di secondario. Per trovare l'intensita` (e l'esistenza del campo H fra i due gioghi) si usa il teorema della circuitazione \oint \vec{H}\cdot\text{d}\vec{l}=N\,I. Seguendo il percorso giallo della figura, si ha che per tre lati l'integrazione avviene nel nucleo, dove H e` piccolissimo (oppure nullo se si suppone permeabilita` infinita). Dato che il percorso intercetta una forza magnetomotrice Np*Ip, nell'ultimo lato ci deve essere campo H, il cui valore e` H=\frac{N\,I}{d} dove d e` la distanza fra le due parti orizzontali.

Bisogna ricordare che l'integrale di circuitazione e` miope, come quasi tutta l'elettronica. Non "sa" da dove arriva la corrente che concatena il percorso di integrazione, tutta la corrente di primario entra nel risultato dell'integrale. Puo` essere solo la corrente di magnetizzazione, se il trasfo e` a vuoto, oppure tutta la corrente di primario. Se il trasfo e` ideale, la corrente di primario e` solo tutta quella che porta potenza per il carico.

Mi era stato fatto osservare che se \mu\to\infty allora c'e` un cortocircuito nella riluttanza e non puo` esserci campo H nel buco del trasformatore. Il modello elettrico del circuito magnetico non mi piace molto, essenzialmente perche' non modella la potenza, ma se lo si applica bisogna applicarlo bene :). Le regole di trasformazione fra mondo magnetico e mondo elettronic sono:

\begin{matrix}
\text{Magnetico} &  & \text{Elettrico}\\
\\
\Phi & \leftrightarrow & I \\
\vec{B} & \leftrightarrow & \vec{J} \\
mmf & \leftrightarrow & V \\
\mathcal{R} & \leftrightarrow & R \\
\mu & \leftrightarrow & \sigma \\
\vec{H} & \leftrightarrow & \vec{E} \\
\end{matrix}

Da notare l'ultima relazione: il campo magnetico e` rappresentato dal campo elettrico. In un sistema di conduttori ideali si puo` avere un campo elettrico, e dualmente in un mondo di materiali a riluttanza nulla si possono avere campi magnetici. Basta considerare questo circuito elettrico:

Rilutt.gif
Fig 2 - Equivalente elettrico del nucleo con riluttanza nulla e riluttanza >0
Rilutt.gif (6.9 KiB) Osservato 4391 volte


dove le batterie rappresentano la forza magnetomotrice di primario e secondario.

Se i conduttori sono ideali c'e` campo elettrico perpendicolare ai conduttori e costante lungo tutto il percorso. Se invece i conduttori hanno una resistenza c'e` caduta di tensione e il campo diminuisce mentre ci si sposta verso il secondario (a destra), e a fare i pignoli non e` neanche perpendicolare ai conduttori.

La tensione di secondario e` minore di quella di primario, cioe` la forza magnetomotrice (gli ampere spira) del secondario e` minore. Ma questo non perche' c'e` campo H fuori dal nucleo, quello c'e` sempre, bensi` perche' il nucleo ha riluttanza non nulla.

Nello spazio fra i due avvolgimenti e` anche presente un campo elettrico, che si puo` ricavare dalle equazioni di Maxwell. In questo caso pero` il conto e` decisamente difficile perche' la legge di Faraday che dice \oint_{\partial S}\vec{E}\cdot\text{d}\vec{l}=-\frac{\text{d}}{\text{d}t}\int_S \vec{B}\cdot\hat{n}\,\text{d}s=-\frac{\text{d}\Phi_S}{\text{d}t}
La derivata del flusso e` facile da calcolare, ma si ha solo una conoscenza complessiva del campo lungo tutto una spira. La struttura non e` assialsimmetrica, e quindi il campo E fra i gioghi non puo` essere stimato facilmente.
La situazione dei campi e` mostrata in questa figura:
trasfo.jpg
Fig 3 - Campi nel trasformatore e dimensioni di riferimento
trasfo.jpg (26.67 KiB) Osservato 4466 volte

Il campo magnetico verticale e` praticamente costante lungo tutto lo spazio, ed e` ragionevolmente facile da calcolare. Il campo elettrico E orizzontale e` molto piu` difficile da calcolare. E ed H insieme portano una densita` di potenza, descritta dal vettore di Poynting \vec{S}=\vec{E}\times\vec{H}.

Proviamo a fare un po' di conti. Supponiamo di avere un trasformatore da 100VA, con tensione di primario di 100V, nucleo fatto lavorare a 1T. Mettiamo sul secondario un carico resistivo che assorba 100W e ovviamente in questa situazione la corrente di primario e` di 1A.

Assumiamo \mu tendente a infinito. Per un trasformatore di quella potenza il nucleo ha una sezione di circa 10\,\text{cm}^2. Le dimensioni meccaniche di un trasformatore, in modo piu` o meno nascosto, sono determinate dalla necessita` di dissipare la potenza persa nel trasformatore. La sezione del nucleo dipende da considerazioni termiche, non elettomagnetiche :)

Per fare i conti semplici, ho indicato sul disegno le dimensioni di riferimento: sezione del nucleo 3cmx3cm, altezza del buco 4 cm, larghezza del buco 5 cm, profondita` del buco 3 cm. Non ho disegnato gli avvolgimenti, aspetto qualche anima buona che lo faccia, io non sono capace :) ho solo indicato con Prim e Sec dove dovrebbero essere messi. Usando le espressioni date da mir si trova che il primario deve avere 500 spire (0.2 V/spira).

Facciamo l'ipotesi che non ci siano effetti di bordo (non e` vero, ma se si rimane coerenti nelle scelte, i risultati tornano abbastanza bene). Per fare i conti corretti si dovrebbe usare un simulatore FEM tridimensionale. Con un nucleo a tazza probabilmente si riesce a fare anche con FEMM (admin e` per te! :) ).

Calcoliamo il campo H fra i due conduttori magnetici. La forza magnetomotrice e` data da 1A*500spire=500A (spira). Se si segue il percorso della prima figura, si vede che questa forza magnetomotrice deve "cadere" lungo una distanza di 4 cm, e il campo H ha quindi il valore H=\frac{500\text{A}}{4\text{cm}}=12500\,^\text{A}/_\text{m}=12.5\,\frac{\text{kA}}{\text{m}} (non male!).

Questo campo immagazzina una densita` di energia (occhio sto parlando di energia e di immagazzinarla) pari a \mathcal{E}_m=\frac{B\,H}{2}=\frac{\mu\,H^2}{2}=98\frac{\text{J}}{\text{m}^3}. Il volume occupato da questa densita` di energia (stiamo trascurando gli effetti di bordo), e` dato dal volume del buco: Vol=3\,\text{cm}\times 4\,\text{cm}\times 5\,\text{cm}=60\,\text{cm}^3. L'energia accumulata in questo campo vale \mathcal{E}_m\cdot Vol=5.9\text{mJ} e questo e` l'effetto dell'induttanza dispersa. Dire che l'induttanza dispersa vale 11.8mH mi pare un po' azzardato, viste le ipotesi fatte sulla disposizione del campo.

Per ridurre l'induttanza di leakage bisogna ridurre la distanza fra gli avvolgimenti, eventualmente con avvolgimenti interlacciati, e anche aumentare "l'altezza" degli avvolgimenti. Se si aumentano i 4 cm dell'esempio, il campo scende in modo inversamente proporzionale all'altezza, il volume aumenta con l'altezza, ma l'energia e` legata al quadrato del campo e quindi ad esempio con una altezza di 8 cm l'induttanza di leakage si dimezza.

Il conto del campo elettrico, come dicevo prima, e` abbastanza complicato, o meglio non so farlo in modo semplice :). Facendo un giro intorno all'avvolgimento primario (cioe` in pratica una spira virtuale") si trova una tensione complessiva di 0.2V. Supponendo che non ci siano effetti di bordo, si puo` assumere che il campo elettrico sia presente solo nella zona fra i due gioghi. In questo modo il campo E (freccia rossa della figura 3) vale E=\frac{.2\,\text{V}}{3\,\text{cm}}=6.7 \,\text{V/m}.

Nel trasformatore passa una "onda elettromagnetica" con un forte campo magnetico un debole campo elettrico, ma sono entrambi indispensabili per il trasporto della potenza. L'impedenza d'onda vale Z_\text{w}=\frac{E}{H}=530\,\mu\Omega ! Praticamente solo campo magnetico, ma c'e` anche E: niente E niente potenza :)

Il vettore di Poynting e` dato dal prodotto vettoriale di E per H, e il suo valore e` S=E\,H=6.7\text{V/m}\cdot 12.5\,\text{kV/m}=83.3 \frac{\text{kW}}{\text{m}^2}. La superficie attraverso cui passa questa densita` di potenza e` data dalla sezione del buco: A=3\,\text{cm}\times 4\,\text{cm}=12\text{cm}^2. La potenza che transita descritta dal vettore di Poynting vale S\cdot A=83.3 \frac{\text{kW}}{\text{m}^2}\cdot 12\text{cm}^2=100W Check!

La prossima volta che vi raccontano che la potenza passa nel nucleo, vi stanno raccontando palle :), probabilmente in modo involontario.

Questo articolo e` stato il primo che ho trovato dopo che avevo calcolato il mio modello, e analizza anche le geometrie piu` complicate.
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[37] Re: Questione curiosa sui trasformatori

Messaggioda Foto UtenteRenzoDF » 28 nov 2009, 11:38

Un GRAZIE a Isidoro per questo INCREDIBILE post :!:
=D> =D> =D>

... che speriamo si possa presto trasformare in un articolo di Electroportal :wink:

BTW riguardo alla tabella di Isidoro sul parallelismo Magnetico ---> Elettrico vorrei solo far notare che mmf è la versione americana della nostra fmm, NOI, qui in California, in genere le formule le usiamo "rispecchiate" ....anche la legge di Ohm per es. la scriviamo alla rovescia V = I R ... o P= I V ... per non parlare della conduttanza per la quale continuiamo a usare in mho, in barba a tutte le regole IEC ISO e SI :mrgreen:

Altri 2 PDF sull'argomento:
http://www.physikdidaktik.uni-karlsruhe ... former.pdf
http://www.leonardo-energy.org/webfm_send/1306
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[38] Re: Questione curiosa sui trasformatori

Messaggioda Foto Utenteadmin » 28 nov 2009, 18:14

RenzoDF ha scritto:Un GRAZIE a Isidoro[..]

Mi associo :D : una bellissima ed affascinante analisi teorica! E' un post che è già un articolo!
Mi impegnerò a fare il possibile per verificare il tutto con FEMM! Spero di riuscirci. A mia volta invito comunque rini a cimentarsi in questo lavoro.
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[39] Re: Questione curiosa sui trasformatori

Messaggioda Foto UtenteBStefanoB » 30 nov 2009, 0:26

Gentili utenti del forum e membri dello staff,
ho seguito con grande attenzione questo thread che, nato come una sorta di arzigogolo, mi ha offerto l'opportunità di ripensare a concetti che oramai ritenevo "archiviati", dandomi la possibilità di riguardarli da un altro punto di vista e di riscoprirne il fascino.
Agli elogi provenienti dall' "alto" (quelli di RenzoDF e dell'ing. Martini), vorrei associare quelli provenienti dal "basso" (i miei).
Mi complimento quindi con Isidoro per questo eccezionale post, e lo ringrazio per aver condiviso con noi le sue elucubrazioni, che non possono far altro che arricchire l'intelletto e stimolare nuove idee.
Spero che presto tutto ciò possa trasformarsi in un articolo ricco di esempi, considerazioni, commenti e, naturalmente, simulazioni dell'Ing. Martini.
Grazie dell'attenzione.

p.s. sarei proprio curioso di conoscere il curriculum di Isidoro.
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[40] Re: Questione curiosa sui trasformatori

Messaggioda Foto UtenteRenzoDF » 30 nov 2009, 18:38

Con una configurazione a simmetria cilindrica per la struttura del trasformatore (nucleo a olla), che poi è quella utilizzata nel documento di Todeschini & Emanuel linkato [1], il calcolo del vettore di Poynting e la sua successiva integrazione diventano veramente elementari; i due avvolgimenti cilindrici primario e secondario si suppongono concentrati in due tubi di spessore radiale trascurabile con la struttura di figura (dove anche il circuito magnetico, ma solo per ragioni grafiche, è stato semplicemente accennato)

trasf1d.gif
Trasformatore IDEALE a simmetria assiale.
trasf1d.gif (14.09 KiB) Osservato 4147 volte

potremo considerare tre livelli crescenti di complessità per lo studio del flusso di potenza :
1° =================
Considerando un trasformatore ideale, con corrente di magnetizzazione nulla (permeabilità infinita), e carico puramente resistivo, potremo calcolare H, E e S nel punto P come
\begin{align}
  & \oint\limits_{L}{\overrightarrow{H}}\cdot \overrightarrow{dl}=N_{P}I_{P}\,\,\,\,\,\to \,\,\,\,\,H_{z}=-\frac{N_{P}I_{P}}{h}\,\,\,\,\,\,\, \\ 
 & \oint\limits_{L}{\overrightarrow{E}}\cdot \overrightarrow{dl}=-\frac{d\Phi _{B}}{dt}\,\,\,\to \,\,\,\,E_{\varphi }=-\frac{V_{P}}{N_{P}}\cdot \frac{1}{2\pi a} \\ 
\end{align}

\overrightarrow{S}=\overrightarrow{E}\times \overrightarrow{H}=\frac{N_{P}I_{P}}{h}\cdot \frac{V_{P}}{N_{P}}\cdot \frac{1}{2\pi a}\overrightarrow{u}_{r}\,\,\,\,\to S_{r}=\frac{V_{P}I_{P}}{2\pi ah}\,\,\,\,\left( \frac{W}{m^{2}} \right)

\mathop{{\int\!\!\!\!\!\int}\mkern-21mu \bigcirc}\nolimits_S \overrightarrow{S}\cdot \overrightarrow{dS}=S \cdot \left( 2\pi ah \right)=V_{P}I_{P}\,\,\,\left( W \right)

Chiaramente muovendosi dal punto P, verso il punto Q, in prossimità del secondario, mentre il campo H mantiene lo stesso valore iniziale, il campo E e di conseguenza il vettore di Poynting S, vengono a ridursi in proporzione inversa al raggio r (riducendosi a E* e S* in Q); l'integrale di superficie di S rimane comunque SEMPRE pari alla potenza trasformata in quanto la riduzione di S è esarttamente compensata dall'aumento della superficie :!:
2°==================
Togliendo al trasformatore ideale la restrizione di permeabilità nulla, ma mantenendo l'assenza di effetti dissipativi nel ferro, il campo H avrà anche una componente radiale ed il vettore di Poynting piegandosi verso l'esterno di un angolo \alpha presenterà quindi una componente assiale.

Si dovrà considerare un flusso del vettore di Poynting in senso assiale; supponendo però la presenza della sola componente magnetizzante (che si somma a quella di reazione), questo flusso risulterà pari a zero in quanto la componente Hp risulta "temporalmente", e non solo "spazialmente", "in quadratura" a Vp e quindi a E :!:

trasf1ya.gif
Trasformatore a permeabilità NON nulla
trasf1ya.gif (17.95 KiB) Osservato 4123 volte


3°==================
Togliendo anche la condizione di perdite nel ferro nulle, il discorso diventa complesso, e pur considerando cicli di isteresi essenziali, la trattazione matematica diventa "pesante" . :mrgreen:

Per ulteriori approfondimenti si rimanda a
1 http://www.leonardo-energy.org/webfm_send/1306
2 http://ntrs.nasa.gov/archive/nasa/casi.ntrs.nasa.gov/19660001049_1966001049.pdf
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