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Cos'è il teorema di Millman

Circuiti e campi elettromagnetici

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[1] Cos'è il teorema di Millman

Messaggioda Foto Utentepiergiuseppe » 17 apr 2010, 20:39

Cos'è il teorema di millman come si utilizza per risolvere un circuito elettrico e quali sono le formule.
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[2] Re: Cos'è il teorema di Millman

Messaggioda Foto Utenteyustel » 17 apr 2010, 21:51

Il teorema di Millman serve a trovare la tensione ai capi dei nodi di una rete bipolare (dove quindi i nodi sono due)
La tensione è uguale alla somma delle correnti di cortocircuito di ogni ramo diviso la somma delle conduttanze (inverso della resistenza equivalente) di ogni ramo nel quale non si trova alcun generatore di corrente.
È molto semplice anche se la formula sembra complessa... l'unica cosa che ti devi ricordare e che al numeratore le correnti possono avere segno negativo, se la corrente va verso il primo nodo è positiva altrimenti è negativa (nel caso tu stia calcolando Vab il primo nodo è A).

Qui ce anche un esempio: http://it.wikipedia.org/wiki/Teorema_di_Millman
Erwin Schrödinger forse è stato qui.
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[3] Re: Cos'è il teorema di Millman

Messaggioda Foto UtenteRenzoDF » 17 apr 2010, 21:56

Il teorema di Millman deriva in sostanza da una generalizzazione del teorema di Mayer-Norton ad una rete binodale e si può enunciare in questo modo:

Data una rete binodale che insiste sui nodi A e B, priva di lati contenenti soli generatori di tensione ideali, la differenza di potenziale fra i due nodi della rete può essere calcolata come rapporto fra la somma algebrica delle correnti di cortocircuito dei singoli rami e la somma delle ammettenze equivalenti degli stessi ... tradotto in formula,

\overline{V}_{AB}=\frac{\sum\limits_{i}{\overline{I}cc_{i}}}{\sum\limits_{i}{\dot{Y}eq_{i}}}

Per il caso particolare di reti in corrente continua all'ammettenza basterà sostituire la conduttanza

V_{AB}=\frac{\sum\limits_{i}{Icc_{i}}}{\sum\limits_{i}{Geq_{i}}}

Nella somma il segno della corrente sarà positivo se la corrente di cortocircuito è diretta da B verso A :!:

BTW in verità Millman lo enuncia in un modo diverso e, con riferimento all'articolo originale sotto riportato in [a], che purtroppo non posso pubblicare integralmente per ragioni di copyright, Millman nel Settembre del 1940 scrive ...
(estraggo a braccio solo qualche passaggio)
*****************************************************************************************************
--------------------A Useful Network Theorem--------------------------------------------

Sommario - Viene sviluppato un teorema per determinare la tensione in regime stazionario
fra due punti O e O' di una rete avente le seguenti caratteristiche.
Un qualsiasi numero di impedenze (lineari bilaterali) collegate insieme in un nodo O',
Le tensioni fra O e l'estremo opposto di queste impedenze sono note....
La teoria è semplice da ricordare e da applicare ... in reti complesse permette un
considerevole risparmio di tempo rispetto al metodo convenzionale con Kirchhoff.


dopo una breve introduzione, Millman scrive ...

Considerata la rete di Fig. 1. Le impedenze
(si noti la curiosa "simbologia resistiva" usata per le impedenze da John Hickey, disegnatore degli schemi )
za.gif
za.gif (24.06 KiB) Osservato 13178 volte

Z1, Z2, e Z3 terminano in una giunzione comune O'.
I terminali opposti di queste impedenze sono numerati 1, 2, e 3; O è un qualsiasi altro punto della rete.
Non è necessario conoscere le connessioni fra la rete e i punti O, 1, 2, e 3.
Il teorema che sarà ora provato è che, la caduta di tensione Voo' fra il punto O e il punto O' è data da


V_{oo^{\prime}}=\frac{V_{01}Y_{1}+V_{02}Y_{2}+V_{03}Y_{3}}{Y_{1}+Y_{2}+Y_{3}}

dove V_{ok}\,(k=1,2,\,\,o\,\,3), è la caduta di tensione dal punto O al terminale k della k-esima impedenza e dove Y_{k}=1/Z_{k} è l'ammettenza corrispondente alla k-esima impedenza.
Nella suddetta equazione tutte le tensioni e impedenze sono numeri complessi.

....

La relazione può essere generalizzata per includere un qualsiasi numero n di impedenze ...

V_{oo^{\prime}}=\frac{\sum\limits_{k=1}^{n}{V_{0k}Y_{k}}}{\sum\limits_{k=1}^{n}{Y_{k}}}
...
Se sono presenti sorgenti di diversa frequenza, allora potrà essere applicato il ben noto principio
della sovrapposizione. Questo significa che il teorema sarà applicato per una frequenza alla volta
(con tutte le sorgenti di diversa frequenza cortocircuitate), e quindi la caduta di tensione fra
O e O' sarà ottenuta sommando le cadute parziali relative.

...
L'articolo prosegue quindi con cinque interessantissimi esempi applicativi ... il primo su una rete a T, il secondo su una rete trifase squilibrata (Y-connected), il terzo su un amplificatore a triodo e il quarto e quinto su due amplificatori a doppio triodo dei quali l'ultimo controreazionato.

Voglio sottolineare che Millman NON intende assolutamente limitare l'impiego del suo teorema all'analisi di SOLE reti BINODALI, anzi i suoi ultimi due esempi evidenziano l'applicabilità "iterata" della relazione.
Per esempio alla rete trinodale relativa al circuito equivalente di figura
Mx.gif
Mx.gif (17.45 KiB) Osservato 13160 volte

lo applica due volte :
una prima per la tensione verso massa della griglia 2

V_{CG_{2}}=\frac{V_{CP}Y_{C}}{Y_{C}+Y_{R_{G}}+Y_{C_{G}}}

una seconda per la tensione anodica del primo triodo

V_{CP}=\frac{V_{CG_{2}}Y_{C}+\mu EY_{P}-EY_{3}}{Y_{C}+Y_{P}+Y_{3}+Y_{2}+Y_{L}}

... in sostanza si tratta di una versione sintetizzata del metodo dei potenziali ai nodi che, permettendo di valutare istantaneamente "il peso" dei parametri, porta a utili semplificazioni ingegneristiche delle relazioni; ad esempio per la
V_{CP} Millman evidenzia come a numeratore l'ammettenza Y_{3} (relativa alla capacità interelettrodica placca-griglia del primo triodo) sia, "within the audio-frequency range .... very small in comparision with \mu Y_{P}=G_{m} ... and the coupling condenser C is about 1000 times as large as the inter-electrode capacitances C_{2} and
C_{3}, and hence Y_{2} and Y_{3} can be neglected in the denominator" ... portando a semplificarla nella

V_{CP}=\frac{V_{CG_{2}}Y_{C}+G_{m}E}{Y_{C}+Y_{P}+Y_{L}}
....
ma il discorso si fa lungo (come al solito) ... e servirebbe un articolo su EP :mrgreen:
============================================================

Per una estensione del teorema a reti trinodali si veda

Teorema di RenzoDF
----->>

---->> http://www.electroportal.net/renzodf/wiki/articolo22
============================================================



Tre riferimenti storici

a) la prima apparizione ufficiale

IRE.gif
IRE.gif (52.47 KiB) Osservato 13363 volte

ora disponibile solo attraverso IEEE
http://ieeexplore.ieee.org/Xplore/login ... ision=-203
-----------------------------------------------------------------------

b) forse le uniche due foto di Jacob Millman recuperabili in rete

Jacob Millman.png
Jacob Millman.png (224.81 KiB) Osservato 6744 volte

JM.gif
JM.gif (114.9 KiB) Osservato 13367 volte


c) e purtroppo anche il triste annuncio del New York Times
NY_JM.gif
NY_JM.gif (50.93 KiB) Osservato 13325 volte


Un ringraziamento particolare a Isidoro =D>

-----------------------------------------------------------------------
Per tre testi di Millman si veda

viewtopic.php?t=46432&p=426975#p426963
"Il circuito ha sempre ragione" (Luigi Malesani)
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[4] Re: Cos'è il teorema di Millman

Messaggioda Foto Utentebrabus » 18 apr 2010, 14:22

Credo sia necessario come minimo un applauso:

=D> =D> =D> =D> =D> =D> =D> =D> =D> =D>

Questo materiale deve finire su un articolo!

Edit RenzoDF ... GRAZIE Alberto ! :D
Alberto.
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[5] Re: Cos'è il teorema di Millman

Messaggioda Foto UtenteTardoFreak » 18 apr 2010, 16:03

Un applauso collettivo e' ancora meglio.

=D> =D> =D>

Edit RenzoDF: Grazie TardoFreak :!:
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