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Pallina matta

Problemi curiosi e quiz vari.

Moderatore: Foto Utentecarlomariamanenti

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[1] Pallina matta

Messaggioda Foto Utentecarloc » 9 gen 2012, 23:06

Chi non ci ha mai giocato....

la nostra viene lasciata cadere da un'altezza h_0 e, a causa di urti non perfettamente elastici, ogni rimbalzo successivo raggiunge un'altezza k volte quella di partenza, con k<1 ovviamente.

h_1=k\,h_0\quad h_2=k\,h_1 e così via, k non varia è sempre costante.

Per chiarezza nel disegno è anche rappresentata una componente orizzontale della velocità ma supporremo che quest'ultima non influisca sul moto lungo l'asse verticale, non la consideriamo proprio.

La domanda è... ma la pallina smetterà mai di rimbalzare? e se sì quando?

P.S. tutti i dati che vi servono sono noti
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[2] Re: Pallina matta

Messaggioda Foto UtenteDirtyDeeds » 10 gen 2012, 1:00

Si fermerà per stanchezza? :mrgreen:
E quanto sarà lo spazio totale percorso verticalmente? ;-)
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[3] Re: Pallina matta

Messaggioda Foto UtenteCandy » 10 gen 2012, 1:02

Una pallina teorica, puntiforme, non smetterebbe mai di rimbalzare.
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[4] Re: Pallina matta

Messaggioda Foto Utenteangus » 10 gen 2012, 2:03

Si ferma... all'infinito però.

Spero di non scrivere castronerie, perché sono assai arrugginito, faccio un ragionamento terra terra:

L'altezza h_{n} raggiunta dopo un certo numero n di rimbalzi è:

h_{1}=h_{0}k
h_{2}=h_{1}k=h_{0}kk=h_{0}k^{2}
h_{3}=h_{2}k=h_{0}kkk=h_{0}k^{3}
...
h_{n}=h_{n-1}k=h_{0}k^{n}

perciò dopo tanti (infiniti) rimbalzi...

\lim_{n \to \infty } h_{0}k^{n}=0

per 0<k<1

e, sempre se non la sparo troppo grossa, lo spazio in verticale "percorso" dovrebbe essere:

\sum_{n=0}^{\infty }h_{0}k^{n} = \frac{h_{0}}{1-k}

(non me ne vogliano i matematici veri e vi prego di correggere dove è il caso)
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[5] Re: Pallina matta

Messaggioda Foto Utentepalliit » 10 gen 2012, 13:52

angus ha scritto:e, sempre se non la sparo troppo grossa, lo spazio in verticale "percorso" dovrebbe essere:

\sum_{n=0}^{\infty }h_{0}k^{n} = \frac{h_{0}}{1-k}



In realtà credo che lo spazio complessivamente percorso dovrebbe essere il doppio (ogni dislivello h_{k} viene percorso due volte, una in salita e una in discesa) diminuito del primo, che viene percorso una sola volta se la pallina viene lasciata cadere dall'altezza h_{0}, quindi: 2 \frac{h_{0}}{1-k}-h_{0}
....o no?
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[6] Re: Pallina matta

Messaggioda Foto Utenteangus » 10 gen 2012, 13:54

Si, hai perfettamente ragione.
Io avevo solo contato i "segmenti" percorsi, ma il tuo ragionamento è corretto.
Sul resto sei d'accordo?

Grazie
:ok:
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[7] Re: Pallina matta

Messaggioda Foto Utentepalliit » 10 gen 2012, 13:55

Assolutamente sì
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[8] Re: Pallina matta

Messaggioda Foto Utentecarloc » 10 gen 2012, 22:20

Direi che sono d'accordo.... :ok:

il fatto poi che la pallina sia puntiforme o meno credo faccia poca differenza una volta detto che la componente orizzontale del moto non ha effetti, come dire niente rotolamenti, coppie durante gli urti o effetti giroscopici rimane solo il raggio della pallina che "sposterebbe" la quota del centro di massa, naturalmente niente cambierebbe, solo h-r al posto di h...

...invece ho aggirato il problema "spostando" anche il riferimento delle altezze come nel primo post, per semplificare le formule.

Resta solo da rispondere alla prima domanda.... "ma la pallina smetterà mai di rimbalzare ?" :?: :?:
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[9] Re: Pallina matta

Messaggioda Foto Utentepalliit » 10 gen 2012, 22:26

Teoricamente no, nel senso che l'altezza dei rimbalzi, tendendo a zero, diventerà sicuramente minore della sensibilità di qualsiasi strumento si usi per misurarla per cui ci si dovrà rassegnare a dire che ha smesso di rimbalzare, ma da un punto di vista matematico non diventerà mai rigorosamente zero (in tempi finiti). Se avesse un rimbalzo con altezza nulla sarebbe nullo anche il precedente e così via a ritroso, fino a concludere che non ha mai rimbalzato.
Almeno credo.
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[10] Re: Pallina matta

Messaggioda Foto UtenteDirtyDeeds » 10 gen 2012, 22:30

palliit ha scritto:non diventerà mai rigorosamente zero (in tempi finiti).


Chissà? Io per esserne sicuro calcolerei la somma dei tempi necessari alla pallina per compiere ogni zompo ;-)
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