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Una questione di simmetria

Problemi curiosi e quiz vari.

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[1] Una questione di simmetria

Messaggioda Foto UtenteDirtyDeeds » 8 feb 2012, 14:58

Ecco un quiz semplice semplice per gli "analisti" di ElectroYou :-)

Nell'articolo di Foto Utentedaccio76 sul ponte di Wheatstone c'è un grafico della funzione

f(\alpha) = \frac{\alpha}{(1+\alpha)^2}

Questa funzione possiede un'interessante proprietà: se ad \alpha sostituiamo 1/\alpha riotteniamo la stessa funzione, ovvero

f(\alpha) = f(1/\alpha)\quad\quad (1)

Ecco allora il quiz: assumendo \alpha > 0, dimostrare che il grafico di una qualunque funzione f(\alpha) che goda della proprietà (1), quando la scala di \alpha è logaritmica, è simmetrico rispetto all'asse \alpha = 1.

Nel caso specifico, il grafico viene così:

curva.jpg
curva.jpg (13.85 KiB) Osservato 1456 volte


Nota: è più lunga l'esposizione del problema della sua soluzione ;-)
It's a sin to write sin instead of \sin (Anonimo).
...'cos you know that cos ain't \cos, right?
You won't get a sexy tan if you write tan in lieu of \tan.
Take a log for a fireplace, but don't take log for \logarithm.
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[2] Re: Una questione di simmetria

Messaggioda Foto Utentecronos80 » 8 feb 2012, 15:09

Eh si è facile :D
Volendo rappresentare la funzione con \alpha logaritmico la (1) diventa

f\left ( log\alpha \right )=f\left ( log\frac{1}{\alpha }\right )

ma per le proprietà dei logaritmi:

log\frac{1}{\alpha}=-log\alpha

quindi

f\left ( log\alpha \right )=f\left ( -log\alpha)

che esprime la simmetria rispetto all'asse 1 in scala logaritmica.
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[3] Re: Una questione di simmetria

Messaggioda Foto UtenteDirtyDeeds » 8 feb 2012, 15:12

Sbagliato ;-)
It's a sin to write sin instead of \sin (Anonimo).
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[4] Re: Una questione di simmetria

Messaggioda Foto Utentecronos80 » 8 feb 2012, 15:16

perché? :?:
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[5] Re: Una questione di simmetria

Messaggioda Foto UtenteDirtyDeeds » 8 feb 2012, 22:14

Perché se

f(\alpha) = f(1/\alpha)

NON è vero che

cronos80 ha scritto:f\left ( log\alpha \right )=f\left ( log\frac{1}{\alpha }\right )


Verificalo sulla funzione data ;-)
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[6] Re: Una questione di simmetria

Messaggioda Foto Utentexyz » 8 feb 2012, 23:09

Per valori reali una funzione è pari (simmetrica rispetto all'asse delle ordinate) se:

f(x) = f(-x)

dalla proprietà data:

f(\alpha) = f(1/\alpha)

con le ascisse logaritmiche \alpha > 0:

f(\log(\alpha)) = f(\log(1/\alpha))
f(\log(\alpha)) = f(\log(1) - \log(\alpha))
f(\log(\alpha)) = f(-\log(\alpha))

con la sostituzione x = \log(\alpha)

f(x) = f(-x)

c.v.d.
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[7] Re: Una questione di simmetria

Messaggioda Foto UtenteDirtyDeeds » 8 feb 2012, 23:19

Come in [2], ci sono passaggi giusti e passaggi sbagliati ;-)

Come ho scritto in [5]

xyz ha scritto:dalla proprietà data:

f(\alpha) = f(1/\alpha)


non si può dedurre

xyz ha scritto:f(\log(\alpha)) = f(-\log(\alpha))


Per esempio:

f(\alpha) = \frac{\alpha}{(1+\alpha)^2}

f(\log\alpha) è la funzione che si ottiene sostituendo nell'argomento di f il termine \log\alpha ad \alpha, quindi

f(\log\alpha) = \frac{\log\alpha}{(1+\log\alpha)^2}

e

f(\log(1/\alpha)) = f(-\log\alpha) = \frac{-\log\alpha}{(1-\log\alpha)^2}

Quindi

f(\log\alpha)\neq f(\log(1/\alpha))
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[8] Re: Una questione di simmetria

Messaggioda Foto Utentepalliit » 9 feb 2012, 7:54

Mi verrebbe da rispondere così:

se \alpha =10^{x }, allora f(\alpha ) è una funzione composta del tipo f(g(x)) con g(x)=10^{x};

siccome g(-x)=\frac{1}{g(x)}, se vale la (1) è:

f(g(-x))=f\left ( \frac{1}{g(x)} \right )=f(g(x)),

cioè f(g(x)) è pari, cioè simmetrica rispetto ad x=0 che corrisponde ad \alpha =10^{0}=1.

Può funzionare?
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[9] Re: Una questione di simmetria

Messaggioda Foto Utentecronos80 » 9 feb 2012, 9:28

DirtyDeeds ha scritto:NON è vero che
cronos80 ha scritto:f\left ( log\alpha \right )=f\left ( log\frac{1}{\alpha }\right )


Ok giusto. Si aggira facilmente il problema.
Se effettuiamo un cambio di variabile \beta= log\alpha allora siccome \beta>0 possiamo dire di nuovo che:
f\left ( \beta \right )=f\left ( \frac{1}{\beta}\right )
Ma: \frac{1}{\beta}= \frac{1}{log\alpha }=(log\alpha)^{-1}=-log\alpha=-\beta

Si torna quindi alla condizione di simmetria:
f\left ( \beta \right )=f\left ( -\beta} )

Giusto?
Ultima modifica di Foto Utentecronos80 il 9 feb 2012, 9:30, modificato 1 volta in totale.
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[10] Re: Una questione di simmetria

Messaggioda Foto UtenteDirtyDeeds » 9 feb 2012, 9:28

palliit ha scritto:Può funzionare?


quod2.jpg
quod2.jpg (37.73 KiB) Osservato 1340 volte


Oltre che da Foto Utentepalliit, la soluzione corretta mi è arrivata anche da Foto Utentecarloc, via MP.
=D> =D> =D>

Più in generale, in scala logaritmica, si ha

\alpha = a^x

dove x è la distanza dall'origine e a è il parametro che fissa le proporzioni della scala.
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