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Una questione di simmetria

Problemi curiosi e quiz vari.

Moderatore: Foto Utentecarlomariamanenti

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[11] Re: Una questione di simmetria

Messaggioda Foto UtenteDirtyDeeds » 9 feb 2012, 9:33

cronos80 ha scritto:Si aggira facilmente il problema.


Mica tanto ;-)

Nelle scale logaritmiche, è la distanza ad essere uguale al logaritmo della variabile, non viceversa.
It's a sin to write sin instead of \sin (Anonimo).
...'cos you know that cos ain't \cos, right?
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[12] Re: Una questione di simmetria

Messaggioda Foto Utentecronos80 » 9 feb 2012, 9:44

C'è qualcosa che mi sfugge :-| . Ammetto che la scala logaritmica la conosco poco, però quello che non capisco è: se sulle ascisse leggo logx e sulle ordinate leggo f(x), allora il grafico è il luogo dei punti del piano che associa logx a f(x) e se è vero questo la dimostrazione è comunque giusta.
Il grafico che hai postato esprime esattamente questo, però come ho scritto non conosco benissimo la scala logaritmica e quindi posso essermi perso qualcosa.
Mi dai spiegazioni o riferimenti dove poter chiarire?
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[13] Re: Una questione di simmetria

Messaggioda Foto UtenteDirtyDeeds » 9 feb 2012, 11:06

Cosa intendi tu per x?

In [8] e [10], x è la distanza (metrica) dall'origine, relativa a una lunghezza di riferimento (p.es. la distanza corrispondente alle tacche 1 e 10). La scala logaritmica mappa questa distanza in valori di \alpha, secondo la legge

\alpha = a^x

dove a dipende dalla lunghezza di riferimento scelta.

Considerando il piano con le normali coordinate metriche, si deve quindi fare il grafico della funzione F(x) = f(a^x).

Nell'esempio di [1], verrebbe

F(x) = \frac{a^x}{(1+a^x)^2}

Prova a fare il grafico di questa funzione in coordinate lineari per x che va da -2 a +2 con a = 10 ;-)

Nota che:

\begin{align}
F(-x) &= \frac{a^{-x}}{(1+a^{-x})^2} \\
&=\frac{1/a^{x}}{(1+1/a^{x})^2} \\
&= \frac{a^{2x}/a^{x}}{(a^{x}+1)^2} \\
&= \frac{a^x}{(1+a^x)^2} = F(x)
\end{align}
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[14] Re: Una questione di simmetria

Messaggioda Foto Utentecronos80 » 9 feb 2012, 13:08

DirtyDeeds ha scritto:Cosa intendi tu per x?

Una generica incognita. Sono un po' pigro e non ho voluto usare Latex :lol:

Per quanto riguarda il resto diciamo entrambi la stessa cosa (o almeno credo :-P ), a meno di un cambio di variabile.
Genericamente parlando una funzione f:x\Rightarrow f(x) \forall x > 0 viene rappresentata da uno ed un solo grafico nel piano x-f(x).
Volendo passare ad un piano diverso si esegue un cambio di variabile, nel caso logaritmico si definisce x=a^{y}, e data la dipendenza di x da y la f diventa funzione di y, si ha quindi un'altra rappresentazione univoca nel piano y-f(x).
Il grafico diventa fuorviante perché sebbene si stia disegnando con varibile y, si rappresentano sulle ascisse i valori di x, quindi, tornando all'argomento del topic, nel grafico non è rappresentato \alpha sulle ascisse, bensì la x della soluzione, mentre i label descrivono \alpha.

In pratica la differenza sta nel fatto che io ho fatto \beta=log\alpha, mentre tu hai fatto \alpha=a^{x}, e siccome logaritmo ed esponenziale sono l'uno l'inverso dell'altro abbiamo raggiunto la stessa soluzione.
Infatti se sostituiamo la tua nella mia otteniamo \beta=log(a^{x}), ed essendo a proprio la base del logaritmo (come dicevi la lunghezza di riferimento scelta) otteniamo \beta=x.

E questa è giusta! (Forse :-P )
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[15] Re: Una questione di simmetria

Messaggioda Foto Utentepalliit » 9 feb 2012, 15:55

cronos80 ha scritto:Ma: \frac{1}{\beta}= \frac{1}{log\alpha }=(log\alpha)^{-1}=-log\alpha=-\beta


in realtà, se posso, c'è un errore, è: log\left ( \alpha ^{-1} \right )=-log\alpha; quello che hai scritto è vero soltanto quando:
\frac{1}{\beta }=-\beta \Rightarrow \beta ^{2}=-1 , cioè (se \beta è reale) mai.
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[16] Re: Una questione di simmetria

Messaggioda Foto Utentecronos80 » 9 feb 2012, 16:02

Certo che puoi! :D
Ed hai anche ragione. Sono stato un po' troppo frettoloso e mi sono fatto fregare. Meno male che non vivo di dimostrazioni :lol:
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