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Resistenza e induttanza con effetto pelle

Circuiti, campi elettromagnetici e teoria delle linee di trasmissione e distribuzione dell’energia elettrica

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[1] Resistenza e induttanza con effetto pelle

Messaggioda Foto UtenteLoki88 » 12 feb 2012, 18:44

Salve a tutti, sto scrivendo perché ho un dubbio.
Come è comprensibile dal titolo sto studiando l'effetto pelle di Lord Kelvin e ho capito come derivare l'espressione della densità di corrente in un conduttore cilindrico.
Il problema è che mi sono trovato di fronte alle funzioni di Bessel, che non conoscevo prima; ho tentato di integrare, arrivando anche alla comprensione delle loro espressioni in serie; tuttavia non sono in grado di ricavarne le espressioni "approssimate" di resistenza e induttanza per unità di lunghezza del conduttore.
Sono riuscito a definirle come rapporto dei moduli delle funzioni di Bessel:

R \acute{} = R_{0} \acute{} \frac{k r_{0}}{2} \cdot \frac{M_{1} \left( k r_{0} \right)}{ M_{0} \left( k r_{0} \right)} \cdot \cos \left(\psi \left( kr_{0} \right) \right)
L \acute{} = R_{0} \acute{} \frac{k r_{0}}{2} \cdot \frac{M_{1} \left( k r_{0} \right)}{ M_{0} \left( k r_{0} \right)} \cdot \sin \left(\psi \left( kr_{0} \right) \right)

dove r_{0} è il raggio della base, R_{0}\acute{}=  \rho \frac{1}{\pi r_{0}^{2}} la resistenza nel caso di corrente continua e k = \sqrt{\omega\mu\gamma}.

Per fare questo ho espresso J_{0}\left( k r_{0} j^{\frac{3}{2}} \right) = M_{o}\left( k r_{0} \right) e^{j \theta \left( k r_{0} \right)} e analogamente la funzione di prima specie.

Ho scritto così: E_{r0} = R_{0}\acute{} \frac{k r_{0}}{2} I \frac{ M_{1}\left( k r_{0} \right)}{ M_{o}\left( k r_{0} \right)} e^{j\psi \left( k r_{0} \right)} il campo elettrico sulla superficie del conduttore.

Il libro di testo dice che è possibile esprimere le espressioni di R ed L in forma approssimata ma non spiega come farlo e io non riesco ad andare avanti...potreste darmi una mano? Ringrazio in anticipo.
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[2] Re: Resistenza e induttanza con effetto pelle

Messaggioda Foto Utentedimaios » 12 feb 2012, 21:40

L'espressione della resistenza e dell'induttanza in un conduttore cilindrico nel quale si misura la tensione fra due punti della superficie e si considera la corrente inclusa nel mezzo risulta essere :

R(\omega) = \frac{1}{R} \left (\frac{\mu f}{2\pi\sigma}\right )^{\frac{1}{2}} \left [ \frac{ ber(u)bei^{I}(u) - bei(u)ber^{I}(u) }{ ber^{I}(u)^{2} + bei^{I}(u)^{2} }\right]

\omega L_{in}(\omega) = \frac{1}{R} \left (\frac{\mu f}{2\pi\sigma}\right )^{\frac{1}{2}} \left [ \frac{ ber(u)bei^{I}(u) - bei(u)ber^{I}(u) }{ ber^{I}(u)^{2} + bei^{I}(u)^{2} }\right]

R : Raggio del conduttore
\omega : Pulsazione
\mu : Permeabilità magnetica del mezzo
\sigma : Conducibilità elettrica del mezzo
f : Frequenza

L'argomento è così definito :

u = \frac{R\sqrt{2}}{\delta}

Dove lo spessore di penetrazione \delta è definito come segue :

\delta = \left( \frac{1}{\pi f \mu \sigma}    \right)^{\frac{1}{2}}

A questo punto si può considerare una approssimazione delle funzioni Ber e Bei troncando la serie che le descrive dall' n-esimo termine in poi.

Le serie di Bei e Ber le trovi anche su Wikipedia
http://en.wikipedia.org/wiki/Kelvin_functions

Per quanto riguarda il resto trovi tutto nel seguente libro di testo :

Abramowitz and Stegun: Handbook of Mathematical Functions

Come riferimenti ti indico il seguente articolo :

Frequency-dependent skin-effect formulation for resistance and internal inductance of a solid cylindrical conductor.
O.M.O Gatous and J. Pissolato
IEE Proc.-Microw. Antennas Propag., Vol. 151, No. 3, June 2004

E come libro :

Conduction and induction heating
John Davies
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[3] Re: Resistenza e induttanza con effetto pelle

Messaggioda Foto UtenteLoki88 » 13 feb 2012, 19:14

Grazie infinite, sei stato gentilissimo :D
Non credo di riuscire a reperire qualcuno di quei libri in tempo, ho l'esame mercoledì, ma penso che quanto mi hai detto basti. Grazie ancora. :ok:
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