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Logaritmi, di nuovo!

Problemi curiosi e quiz vari.

Moderatore: Foto Utentecarlomariamanenti

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[1] Logaritmi, di nuovo!

Messaggioda Foto UtenteDirtyDeeds » 17 feb 2012, 1:43

Beh, questo nuovo "quiz" è in qualche modo imparentato con quello che avevo da poco proposto qui.

Nel suo pluripremiato articolo sulle sensitivity, Foto UtenteIsidoroKZ a un certo punto definisce i coefficienti di sensibilità relativi. Per una funzione y = f(x), il coefficiente di sensibilità relativo nel generico punto x si può definire come

S^y_x = \frac{\text{d}y/y}{\text{d}x/x}

In questo paragrafo viene anche detto che, per i matematici incalliti, si avrebbe

S^y_x =  \frac{\text{d}y/y}{\text{d}x/x} = \frac{\text{d}\ln y}{\text{d}\ln x}\qquad\qquad (1)

Una dimostrazione un po' handwaving di questo fatto può essere fatta in questo modo:

Poiché

\text{d}\ln y = \frac{\text{d}\ln y}{\text{d} y}\text{d} y = \frac{1}{y}\text{d} y

e

\text{d}\ln x = \frac{\text{d}\ln x}{\text{d} x}\text{d} x = \frac{1}{x}\text{d} x

facendone il rapporto si ottiene la (1).

Sapreste trovare una dimostrazione della (1) meno acrobatica?

PS: sarò via qualche giorno e dichiarerò il vincitore martedì, quindi pensateci con calma ;-)
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[2] Re: Logaritmi, di nuovo!

Messaggioda Foto Utentecarloc » 22 feb 2012, 22:53

Beh intanto direi che credo che cose tipo "algebra degli infinitesimi"

\text{d}\ln y = \frac{\text{d}\ln y}{\text{d} y}\text{d} y = \frac{1}{y}\text{d} y

per quanto "funzionino" e si usino correntemente siano matematicamente non proprio corrette.

Il fatto che ci frega è che vediamo il simbolo del rapporto e quindi trattiamo il tutto come un rapporto. Ma una derivata è il limite di un rapporto.

Infatti la stessa cosa si potrebbe anche indicare con l'operatore derivata \text{D}\left(\ln y \right) o anche con il simbolo \prime e -una volta fissata la variabile indipendente- vorrebbe dire esattamente la stessa cosa ma senza assomigliare ad un rapporto....
Se ti serve il valore di beta: hai sbagliato il progetto!
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[3] Re: Logaritmi, di nuovo!

Messaggioda Foto Utentepalliit » 25 feb 2012, 16:25

Tenderei a concordare con il punto di vista di Foto Utentecarloc, per cui proporrei una procedura alternativa:

se si pone x=e^{z} \Leftrightarrow  z=\ln x, il calcolo diventa semplicemente quello di una derivata di funzione composta:

\frac{\mathrm{d} \ln y}{\mathrm{d}\ln x}=\frac{\mathrm{d}\ln y[x(z)]}{\mathrm{d}z}=\frac{1}{y[x(z)]}\frac{\mathrm{d}y(x)}{\mathrm{d}x}\frac{\mathrm{d}x(z)}{\mathrm{d}z}=\frac{1}{y} \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} e^{z}=\frac{1}{y}\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}x=\frac{x}{y}\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}.

Non so se sia meno acrobatica come dimostrazione, ma mi sembra che eviti notazioni che qualcuno può trovare discutibili.
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[4] Re: Logaritmi, di nuovo!

Messaggioda Foto UtenteDirtyDeeds » 25 feb 2012, 18:28

Proprio così! Bravo Foto Utentepalliit :ok:
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[5] Re: Logaritmi, di nuovo!

Messaggioda Foto Utentepalliit » 25 feb 2012, 18:50

^_^
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