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Operazionale e ...troppa roba in mezzo!!

Elettronica lineare e digitale: didattica ed applicazioni

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[1] Operazionale e ...troppa roba in mezzo!!

Messaggioda Foto Utentecaesar753 » 18 apr 2012, 0:39

Salve, ancora problemi con gli operazionali, il circuito è questo



e il testo mi chiede: "sapendo i valori di R, C_1 = C_2  = C \omega = \frac{2}{RC} trovare il rapporto di amplificazione tra il valore efficace della tensione di output V_{out} e quello della tensione di input V_s e l'impedenza d'ingresso del circuito vista dal generatore di tensione"
Probabilmente c'è un modo molto semplice di vedere questo circuito, io non lo trovo, ho scritto le maglie e, ovviamente, non ne vengo fuori! le equazioni che ho scritto sono queste:

\left\{\begin{array}{l}
\hat V\ -\ R_1 \hat I\ - R_2\ \hat I\ -\ \frac{\hat I_2}{j \omega C_2}\ =\ 0\\
\hat V\ -\ R_1 \hat I_1\ -\ \frac{\hat I_3}{j \omega C_1}\ =\ 0\\
\hat V\ -\ R_1 \hat I_1\ -\ R_2 \hat I_2\ =\ V_{+}\ ;\ \frac{\hat I_2}{j \omega C}\ =\ V_{+}\\
V_+\ -\ V_-\ =\ 0\\
\hat V\ -\ R_1 \hat I_1\ -\ \frac{\hat I_3}{j \omega C_1}\ =\ \hat V_{out}\\
\hat I_1\ =\ \hat I_2\ +\ \hat I_3\\
\end{array}\right.

dopodicchè boh... ogni volta che provo a risolvere questo sistema mi si incorciano gli occhi.
Ma almeno è giusto o sto facendo un conto a vuoto? e soprattutto: c'è un modo di risolvere questo sistema di 6 equazioni??
Grazie mille ...

P.S.: ovviamente il funzionamento è lineare e l'operazionale non va mai in saturazione!
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[2] Re: Operazionale e ...troppa roba in mezzo!!

Messaggioda Foto UtenteRenzoDF » 18 apr 2012, 10:04

Per il controllo bisognerebbe indicare le correnti sullo schema, ad ogni modo la prima e' di sicuro errata in quanto in R1 ed R2 non scorre la stessa corrente ;-) , e cosi' pure la seconda in quanto la maglia non si chiude a massa ... e che, se fosse corretta, e confrontata con la quinta, porterebbe a risolvere il problema con una Vout nulla ... ecc. ecc. ... quando si scrive un sistema bisogna controllarlo per bene, utilizzando il minor numero di incognite possibili :!:

Ad ogni modo direi che per "risolvere" basta sostanzialmente una unica KCL al nodo centrale, associata ad un partitore di tensione.

BTW come puo' poi essere che C_{1}=C_{2}=C\omega =\frac{2}{RC} :?: ;-) ... a volte dubito che siate "online" quando postate. :-k

BTW2 ... "interessante" quella specificazione sull'uso dei valori efficaci.
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[3] Re: Operazionale e ...troppa roba in mezzo!!

Messaggioda Foto UtenteDirtyDeeds » 18 apr 2012, 10:40

Foto Utentecaesar753 non c'è bisogno di mettere tutti quei cappucci, in elettronica non si usa ;-)

In genere le grandezze dipendenti dal tempo vengono denotate con lettere minuscole (e.g. v(t), i(t)), mentre i corrispondenti fasori, trasformate ecc. vengono denotate con lettere maiuscole V, I, V(s), I(s)
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[4] Re: Operazionale e ...troppa roba in mezzo!!

Messaggioda Foto Utentecaesar753 » 18 apr 2012, 11:41

RenzoDF ha scritto:
BTW come puo' poi essere che C_{1}=C_{2}=C\omega =\frac{2}{RC} :?: ;-) ... a volte dubito che siate "online" quando postate. :-k


Mi è saltato uno spazio: C_{1}=C_{2}=C\ ,\ \omega =\frac{2}{RC}
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[5] Re: Operazionale e ...troppa roba in mezzo!!

Messaggioda Foto UtenteRenzoDF » 18 apr 2012, 11:51

Questa era l'unica precisazione non necessaria ! ... della serie "l'avevamo capito" :-)
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[6] Re: Operazionale e ...troppa roba in mezzo!!

Messaggioda Foto UtenteIsidoroKZ » 18 apr 2012, 11:54

A parte qualche segno = di troppo quando dici C1=C2=Cw=... l'analisi non e` neanche troppo complicata.

L'operazionale e` a tutti gli effetti ideale, e quindi Vout=V_out e inoltre Vout e` una partizione fissa di V1.



A questo punto basta scrivere una sola equazione al nodo V1, trovando il potenziale di V1. La seconda equazione per trovare Vout puo` anche non essere messa, perche' basta scrivere al posto di Vout e V_out (che sono uguali) V1*(1/(1+s R2C2)).

Con V1 poi calcoli Vout e quindi hai la tensione di uscita.

Per l'impedenza di ingresso devi trovare quanta corrente esce da Vs, che vale (Vs-V1)/R1.

Guarda anche questo articolo, che dovrebbe introdurti ai misteri complicati di questo circuito
Per usare proficuamente un simulatore, bisogna sapere molta più elettronica di lui
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[7] Re: Operazionale e ...troppa roba in mezzo!!

Messaggioda Foto UtenteTardoFreak » 18 apr 2012, 12:15

Scusate l' intromissione.
Questo circuito è un filtro passa basso di secondo ordine con implementazione Sallen Key?
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[8] Re: Operazionale e ...troppa roba in mezzo!!

Messaggioda Foto Utenteangelsanct » 18 apr 2012, 12:20

Sì. Sto leggendo l'articolo di Foto UtenteIsidoroKZ, veramente ben fatto! :ok:
Alla fine per progettarlo basta usare le formule per Q e la frequenza di taglio e imporre i valori rimasti fuori (esempio progettarlo a componenti uguali), però vedere tutto quello studio che c'è dietro è affascinante.
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[9] Re: Operazionale e ...troppa roba in mezzo!!

Messaggioda Foto Utentecaesar753 » 23 apr 2012, 23:09

Ringrazio infinitamente Foto UtenteIsidoroKZ che con i suoi post è sempre illuminante, purtroppo non abbiamo fatto trasformate di Laplace e quindi, dopo aver meditato giorni e giorni su altri esercizi più semplici, mi sono arrabbattato con le maglie scrivendo le seguenti

\left\{\begin{array}{l}
V_s\ -\ RI_1\ -\ \frac{I_2}{j \omega C}\ =\ V_{out}\\
V_{out}\ =\ V_{-}\\
V_s\ -\ RI_1\ -\ R I_3\ -\ \frac{I_3}{j\omega C}\ =\ 0\\
V_{s}\ -\ RI_1\ -\ R I_3\ =\ V_{+}\\
V_+\ -\ V_{-}\ =\ 0\\
I_1\ =\ I_2\ +\ I_3\\
\end{array}\right.
Dopo un'infinità di calcoli ho trovato che

\begin{array}{l}
V_{out}\ =\ \frac{j I_3}{\omega C}\\
I_1\ =\ \frac{V_s}{R}\ -\ I_3\ (1\ +\ \frac{j}{\omega RC})\\
I_2\ =\ I_1\ -\ I_3\\
I_3\ =\ V_s\ \frac{\omega C}{2\omega RC\ +\ j(1\ -\ \omega^2 R^2 C^2)}\\
\end{array}

e quindi che

\begin{array}{l}
V_{out}\ =\ \frac{j\ V_s}{2\omega RC\ +\ j (1\ -\ \omega^2R^2C^2)}\\
A\ =\ \frac{j}{2\omega RC\ +\ j (1\ -\ \omega^2R^2C^2)}
\end{array}

e inserendo i valori numerici ho

A\ =\ \frac{j}{4\ +\ 3j}

Grazie a tutti!!
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[10] Re: Operazionale e ...troppa roba in mezzo!!

Messaggioda Foto UtenteIsidoroKZ » 23 apr 2012, 23:58

Uso la notazione in s, al posto di \text{j}\omega uso s cosi` ad esempio l'impedenza di un condensatore viene \frac{1}{sC}.

Basta fare una equazione al nodo V1. Le equazioni ai nodi usano le tensioni come incognite (una buona cosa visto che cerchi anche delle tensioni) e sommano le correnti nei nodi. Al nodo V1, che e` a potenziale V1 si ha:

\frac{V_s-V_1}{R_1}+\frac{V_{out}-V_1}{1/(sC_1)}=\frac{V_1}{R_2+\frac{1}{s C_2}}

In pratica ho scritto che la corrente che arriva da Vs piu` quella che arriva da Vout se ne va tutta attraverso la serie di R2 e C2.

Adesso ci sono due incognite ma una la facciamo fuori subito. L'operazionale e` in configurazione voltage follower, quindi Vout=V_out. E questa tensione e` semplicemente V1 ripartita da R2 e C2

V_{out}=V_1\frac{\frac{1}{sC_2}}{R_2+\frac{1}{sC_2}}=V_1\frac{1}{s C_2 R_2+1}

Se si ricava Vout dalla seconda equazione e lo si sostituisce nella prima equazione si ricava V1, e poi dalla seconda si trova Vout in funzione di Vs, e quindi la funzione di trasferimento.

Il rapporto \frac{V_s-V_1}{R1}=I_1 da` la corrente di ingresso, che e` solo funzione di Vs, dato che Vout e` funzione di Vs. E dati Vs e I1, l'impedenza di ingresso vale Vs/I1: la corrente I1 e` funzione di Vs e Vs si semplifica.
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