Perfetto. Grande Isidoro. Penso di aver capito cosa succeda.
Per fortuna mia

la trattazione generale resta valida.
Dalle soluzioni trovate bisogna togliere quelle con segno maggiore di zero, nel caso n-esimo.
In generale bisogna togliere le soluzioni che ruotano lafase di un multiplo di

ma cambiano il segno del guadagno.
Il problema è banale se i poli sono "disaccoppiati" dalla presenza di un amplificatore tra un gruppo RC e l'altro.
La formula generale, per il caso n-esimo, è già stata ricavata e vale

bisogna quindi imporre

In altre parole deve essere:

che va messo a sistema con ognuna delle altre due disequazioni trovate:


schematizzando:
E' quindi sufficiente modificare la trattazione eliminando la condizione:

La formula che permette di trovare il numero di soluzioni diventa:

Facendo quindi una tabella del numero di soluzioni in funzione del numero di celle si ha:

Si nota il fatto che due soluzioni distinte compaiono con n=7, che corrisponde con quanto ricavato da Isidoro.
Disaccoppiati i poli, disaccoppiate le soluzioni e sigh... viceversa.
I problemi nascono infatti quando i poli sono parte di una rete unica.
Bisogna imporre, in questo caso, che

Diagonalizzare la matrice T è esattamente quello che non bisogna fare per risolvere il problema, che diventerebbe rapidamente intrattabile.
Conviene approssimare con serie di polinomi.
Riprendendo i miei appunti, trascrivo un po' di polinomi che avevo trovato:

dove, lo ricordo,

.
La formula per ricavare il polinomio in generale è:

E la funzione generatrice G dei coefficienti vale:

Esempio:
Voglio ricavare la funzione con n=9.
La formula diventa:


k va da 0 a 4
con k=0 si ha



: devo prendere il coefficiente di grado 9 dello sviluppo in serie della funzione


cioè 1
con k=1 si ha



: devo prendere il coefficiente di grado 7 dello sviluppo in serie della funzione


cioè 330.
Si continua nello stesso modo fino a scrivere tutti i termini, cinque in questo caso.
Non reputavo che fosse interessante questa analisi perché conviene comunque procedere con il calcolo automatico.
Il polinomio, su
Wolframalpha si può ricavare con il comando:
- Codice: Seleziona tutto
Simplify[Re[{1, 0}.MatrixPower[{{1 - I Re[a], I b}, {-(Re[a]/b), 1}}, 9].{{1}, {0}}]]
Si otterrà direttamente il polinomio e un grafico il quale, ingrandito, permetterà agevolmente di determinare il dominio delle soluzioni negative.
(In questo caso ho considerato nove blocchi, ma si può adattare il comando alle esigenze specifiche).
Nel caso, invece, si vogliano considerare sette celle, si ottiene, dal comando:
- Codice: Seleziona tutto
Solve [-13 a^6+165 a^4-126 a^2+1,a]
(il polinomio l'ho ricavato col codice riportato più sopra, poi l'ho copiato e incollato per formare il nuovo comando)
il dominio in cui la funzione è negativa, che corrisponde a

poiché le soluzioni per

, ricavabili con il comando,
- Codice: Seleziona tutto
Solve[Im[{1, 0}.MatrixPower[{{1-I*Re[a], I*b}, {-Re[a]/b, 1}}, 7].{{1}, {0}}] == 0, a]
sono:

si vede, dal confronto con il dominio, che la soluzione pari ad

non va bene.
E' chiaro che anche la soluzione

non vada bene per ragioni pratiche. Penso che sia impraticabile raggiungere un guadagno pari a -2.55M.
In ultima analisi c'è da dire che avevo considerato solo la parte lineare di un oscillatore.
Chiaramente un oscillatore reale dovrà anche avere un controllo automatico del guadagno non lineare che lo porti e lo mantenga in condizione di oscillare.
poiché l'amplificazione, all'accensione, è più grande di quella a regime, per permettere all'oscillatore di innescare e di far crescere l'ampiezza delle oscillazioni, teoricamente l'oscillatore dovrebbe "agganciare" i poli che lo fanno oscillare con il guadagno più alto. Chiaramente nel caso n=7 poiché l'amplificatore partirà con un guadagno minore di -2.55M il sistema andrà a regime con la frequenza data da

.
Pensavo una cosa che non ho esperienza sufficiente per poter capire, ma che butto lì senza alcuna pretesa di serietà: sarà questo il motivo per il quale i quarzi in overtone tendono sempre ad agganciarsi sulla fondamentale e non sulla terza armonica? Se fosse così sarebbe sufficiente far partire l'amplificatore con un guadagno massimo posto tra il guadagno necessario alla fondamentale e alla terza armonica?
Infine, credo che la ragione per la quale il guadagno dell'amplificatore debba diminuire con l'aumentare del numero di celle sia che ogni cella dovrà introdurre uno sfasamento sempre minore (complessivamente lo sfasamento dovrà essere pari a 360°, quindi più celle uguale meno sfasamento introdotto da ciascuna). Uno sfasamento minore corrisponde ad una attenuazione minore e, come si vede dalla formula ricavata facendo l'equivalente del condensatore alla fine della trattazione, la Req è ottenuta compensando le perdite del circuito tramite l'amplificatore. Esso dovrà quindi amplificare di meno.
Fatemi sapere le vostre riflessioni... ma per ora
buonanotte,
Pietro.
PS: ma che bello che è rootlocus!