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Problema teorico sulle soluzioni dell'eq. di un'onda EM

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[11] Re: Problema teorico sulle soluzioni dell'eq. di un'onda EM

Messaggioda Foto UtenteBStefanoB » 4 feb 2013, 22:28

Ciao a tutti.
Mi associo alle perplessità di Foto UtenteElectroNoob.
Mi pare che il vol.2 di Landau ("Teoria dei campi") aggiunga come ipotesi,
oltre al fatto che di \mathbf{E}^\prime sia irrotazionale, anche che
esso sia indipendente dal tempo. Ma anche così non credo che funzioni.

Attendo qualche risposta illuminante, visto che il quesito posto
mi pare davvero interessante.

Ciao e grazie.
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[12] Re: Problema teorico sulle soluzioni dell'eq. di un'onda EM

Messaggioda Foto UtenteElectroNoob » 4 feb 2013, 22:56

BStefanoB ha scritto:Ciao a tutti.
Mi associo alle perplessità di Foto UtenteElectroNoob.
Mi pare che il vol.2 di Landau ("Teoria dei campi") aggiunga come ipotesi,
oltre al fatto che di \mathbf{E}^\prime sia irrotazionale, anche che
esso sia indipendente dal tempo. Ma anche così non credo che funzioni.

Attendo qualche risposta illuminante, visto che il quesito posto
mi pare davvero interessante.

Ciao e grazie.


In effetti Landau-Lifshitz usa una trattazione più generale con il quadripotenziale, ma ora come ora non saprei dirti, perché la mia preparazione non raggiunge ancora quei livelli. :(
Posso aggiungere, tutt'al più, che se \boldsymbol{E}^\prime è un campo irrotazionale che si annulla all'infinito, allora non può anche essere solenoidale: ciò deriva, in sostanza, dal teorema di Helmholtz.
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[13] Re: Problema teorico sulle soluzioni dell'eq. di un'onda EM

Messaggioda Foto UtenteDirtyDeeds » 4 feb 2013, 23:42

Dunque, finalmente ho avuto tempo di leggere le due (orribili) pagine del Focardi. Riassumo la situazione:

1) Si dimostra che le equazioni di Maxwell implicano le due equazioni d'onda

\begin{align}\nabla^2 \boldsymbol{E} - \epsilon \mu \frac{\partial^2}{\partial t^2} \boldsymbol{E} &= 0 \\
\nabla^2 \boldsymbol{B} - \epsilon \mu \frac{\partial^2}{\partial t^2} \boldsymbol{B} &= 0\end{align}

Ciò significa che se la coppia di campi (\boldsymbol{E},\boldsymbol{B}) è una soluzione delle equazioni di Maxwell, è anche soluzione delle equazioni d'onda.

2) Il viceversa, però, non è vero: se la coppia di campi (\boldsymbol{E},\boldsymbol{B}) è una soluzione delle equazioni d'onda, non è detto che sia anche soluzione delle equazioni di Maxwell. Ciò che vuol fare F. è trovare un controesempio che dimostri che l'implicazione inversa è falsa. Di controesempi se ne possono trovare altri, per esempio si può scegliere una coppia (\boldsymbol{E},\boldsymbol{B}) di onde piane in cui però \boldsymbol{E} e \boldsymbol{B} abbiano pulsazioni diverse.

Allora, vediamo di analizzare meglio il controesempio di F. Come riportato in [1] è stato dimostrato che la (1c) e la (1d) implicano la (4), che qui riscrivo:

\boldsymbol{\nabla} \times \Big[\boldsymbol{\nabla} \times \boldsymbol{E}(\boldsymbol{r},t)\Big] = -\epsilon \mu \frac{\partial^2}{\partial t^2} \boldsymbol{E}(\boldsymbol{r},t)

Ora F. dice: consideriamo un campo che soddisfi la (5) (secondo la numerazione in [1]), sommiamogli un campo \boldsymbol{E}^\prime irrotazionale ma con divergenza non nulla, e sostituiamo il tutto nella (4) :!:

>Zbig< La (4) implica la (5) quando \boldsymbol{\nabla}\cdot\boldsymbol{E} = \text{cost.}; inoltre, la (4) è implicata dalle (1c) e (1d).

Insomma, qui F. fa un triplo salto carpiato senza rete, cadendo (e male). Per due motivi: i) perché per poter sostituire \boldsymbol{E}^\prime nella (4) bisogna essere sicuri che tale equazione sia soddisfatta da \boldsymbol{E}^\prime; e ii) perché dalla (4) ridimostra la (5) per il campo \boldsymbol{E}+\boldsymbol{E}^\prime, ma per poterlo fare bisogna assumere \boldsymbol{\nabla}\cdot\boldsymbol{E} = \text{cost.}, ma lui questo non lo dice. Tant'è che se non si impone questa condizione aggiuntiva, come ho dimostrato in [5], il campo \boldsymbol{E}+\boldsymbol{E}^\prime non soddisfa all'equazione d'onda. La condizione \boldsymbol{\nabla}\cdot\boldsymbol{E} = \text{cost.} non è, però, una condizione molto realistica: corrisponde a una distribuzione di carica uniforme che riempie tutto lo spazio.

Morale della lunga storia: F. fa un controesempio, ma si incasina con le implicazioni ;-)
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[14] Re: Problema teorico sulle soluzioni dell'eq. di un'onda EM

Messaggioda Foto UtenteElectroNoob » 5 feb 2013, 2:01

OK, forse ci sono. Affinché un campo irrotazionale e opportunamente differenziabile \boldsymbol{E}^\prime soddisfi l'equazione delle onde è necessario è sufficiente che:

\begin{equation}
\boldsymbol{\nabla}\Big[\boldsymbol{\nabla} \cdot \boldsymbol{E}^\prime(\boldsymbol{r},t)\Big] - \epsilon \mu \frac{\partial^2}{\partial t^2} \boldsymbol{E}^\prime(\boldsymbol{r},t) = \boldsymbol{0}.
\end{equation}

Per quanto osservato da Foto UtenteDirtyDeeds, se si suppone che \frac{\partial^2}{\partial t^2} \boldsymbol{E}^\prime(\boldsymbol{r},t) = \boldsymbol{0}, allora per il teorema del gradiente nullo si ha:

\begin{equation}
\boldsymbol{\nabla}\Big[\boldsymbol{\nabla} \cdot \boldsymbol{E}^\prime(\boldsymbol{r},t)\Big] = \boldsymbol{0} \implies \boldsymbol{\nabla} \cdot \boldsymbol{E}^\prime(\boldsymbol{r},t) = k, \qquad k \in \mathbb{R},

che è una soluzione fisicamente inaccettabile \forall k \neq 0.

Se si fa cadere l'ipotesi che \frac{\partial^2}{\partial t^2} \boldsymbol{E}^\prime(\boldsymbol{r},t) = \boldsymbol{0}, deve comunque essere \boldsymbol{\nabla} \cdot \boldsymbol{E}^\prime(\boldsymbol{r},t) \neq 0; sebbene, in questo secondo caso, intervenga il \verb!\dbend! di bourbakiana o knuthiana memoria per la determinazione effettiva di \boldsymbol{E}^\prime, immagino che il teorema debba essere riscritto così (facendo riferimento alle numerazioni del primo post):

Teorema.  Se \boldsymbol{E} è una soluzione delle (1), allora esiste un campo irrotazionale e non solenoidale \boldsymbol{E}^\prime tale che il campo \boldsymbol{E} + \boldsymbol{E}^\prime soddisfa la (5).
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[15] Re: Problema teorico sulle soluzioni dell'eq. di un'onda EM

Messaggioda Foto UtenteBStefanoB » 7 feb 2013, 20:46

Ciao a tutti.
DirtyDeeds, cui tra l'altro faccio i miei complimenti per la chiarezza
d'esposizione, ha ampiamente commentato le pagine del "Focardi".
Vorrei spendere giusto due parole su quanto leggo dal "Mencuccini".

Se le implicazioni non mi ingannano, secondo quanto leggo dal Mencuccini,
qualunque campo irrotazionale dovrebbe essere soluzione dell'equazione delle onde.

A questo punto lo sarebbe anche un campo elettrostatico, nelle regioni prive
prive di sorgenti!?
Questa cosa mi lascia alquanto perplesso.

Ciao e grazie.
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