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integrale con Laplace

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[1] integrale con Laplace

Messaggioda Foto Utenteale76xxx » 20 mag 2013, 13:24

Salve,qualcuno mi spiegherebbe come fare qs integrale con il metodo di Laplace?
il mio problema viene da quel t,davanti al seno...
grazie

\int_{0}^{\infty}t\,\sin (t)\, e^{-2t} \text{d}t
Ultima modifica di Foto Utenteadmin il 20 mag 2013, 16:43, modificato 4 volte in totale.
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[2] Re: integrale con Laplace

Messaggioda Foto Utentemichelephoenix » 20 mag 2013, 14:22

La trasformata di laplace di:

tsin(\omega t)

é:

\frac{2\omega s}{(s^2+\omega ^2)^2}

ricordandoti della traslazione alla fine come risultato dovresti avere:

\frac{4}{25}

se ho fatto bene i conti....
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[3] Re: integrale con Laplace

Messaggioda Foto Utenterusty » 20 mag 2013, 14:25

Foto Utenteale76xxx il parametro s dove sta'?

Se la funzione che vuoi trasformare è:

f(t) = t \sin(t)

la trasformata è da impostare cosi':

\mathfrak{L}[f(t)] =F(s) =\int_{0}^{\infty}t\,\sin (t)\, e^{-st} \text{d}t


Se invece la funzione nel tempo è:

f(t) = t \sin(t)\,e^{-2t}

allora la trasformata sara':

\mathfrak{L}[f(t)] = F(s) =\int_{0}^{\infty}t\,\sin (t)\, e^{-2t}\,e^{-st} \text{d}t


\mathfrak{L}[t\,\sin(t)] =\int_{0}^{\infty}t\,\sin (t)\,\,e^{-st} \text{d}t = \frac{2\,s}{(s^2+1)^2}

Tutto traslato di 2 per via dell'esponenziale -2t iniziale diventa:

F(s) = \frac{2\,(s+2)}{((s+2)^2+1)^2} = \frac{2\,(s+2)}{(s^2+2\,s+5)}
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[4] Re: integrale con Laplace

Messaggioda Foto Utentemichelephoenix » 20 mag 2013, 14:59

Nell'integrale postato da Foto Utenteale76xxx si considera:

e^{-st}

con S=0 che quindi vale 1, dunque calcolare questo integrale corrisponde a calcolare la trasformata della quantità nell'integrale e valutarla per S=0.

PS: Almeno io così ricordo ma sono passati 3 anni da quando ho sostenuto questo esame......
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[5] Re: integrale con Laplace

Messaggioda Foto Utenterusty » 20 mag 2013, 15:19

michelephoenix ha scritto:con S=0 che quindi vale 1, dunque calcolare questo integrale corrisponde a calcolare la trasformata della quantità nell'integrale e valutarla per S=0.


Perdonami, ma s=0 vuol dire di fatto non trasformare un bel niente, visto che dal domino del tempo rimani nel dominio del tempo.
Le trasformate hanno senso di fatto per passare ad un dominio trasformato, che sia campionando la f(t) con sinusoidi (Fourier) o con esponenziali (Laplace).

Prova ad antitrasformare quello che hai ottenuto e vedi se torni alla funzione originale ;-)
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[6] Re: integrale con Laplace

Messaggioda Foto Utentemichelephoenix » 20 mag 2013, 15:24

Questi sono integrali da fare utilizzando la trasformata di laplace, alla fine l'integrale è proprio la definizione della Trasformata di Laplace monolatera per S=0.

PS: Alla fine il risultato dell'esercizio deve essere un numero ;-) ed in questo caso se ho fatto bene i conti viene 4/25, tra poco controllo anche con derive e ti faccio sapere...
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[7] Re: integrale con Laplace

Messaggioda Foto Utentemichelephoenix » 20 mag 2013, 15:44

Ho controllato anche con Derive ed il programma mi conferma 4/25, adesso ti allego un PDF (se riesco a farlo) con decine di esercizi simili....

Foto Utenterusty Foto Utenteale76xxx
Allegati
Esercizi_Prof_Manzo_Trasformate_Laplace.pdf
(77.4 KiB) Scaricato 46 volte
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[8] Re: integrale con Laplace

Messaggioda Foto Utenterusty » 20 mag 2013, 15:48

Io ho fatto la trasformata di Laplace della funzione data, te stai facendo un integrale definito.
Cosa ci azzecca Laplace con s=0?
La trasformata di Laplace di quella funzione da' un numero? ma che scherziamo...

Aspetto magari Foto UtenteDirtyDeeds o Foto UtenteIsidoroKZ,magari loro sapranno spiegarsi meglio.
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[9] Re: integrale con Laplace

Messaggioda Foto Utentemichelephoenix » 20 mag 2013, 15:51

L'esercizio chiede di determinare quell'integrale usando la trasformata di Laplace, che quindi è solo un mezzo per arrivare al risultato finale dell'esercizio, nel PDF che ti ho allegato, ci sono decine di esercizi simili che feci anni fa.
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[10] Re: integrale con Laplace

Messaggioda Foto UtenteRenzoDF » 20 mag 2013, 15:59

Si sfrutta semplicemente il fatto che essendo presente quell'esponenziale, possiamo usare la trasformata di Laplace di t\sin (t)


F(s)=\int\limits_{0}^{\infty }{t\sin (t){{e}^{-st}}\text{d}t}

per trovare un integrale funzione di s che andrà valutato per s=2, ovvero

F(s)=\frac{2s}{{{(1+s)}^{2}}}\quad \to \quad F(2)=\frac{4}{25}
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