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Linearizzare sistema secondo ordine

Analisi, geometria, algebra, topologia...

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[1] Linearizzare sistema secondo ordine

Messaggioda Foto Utentedursino » 25 mag 2013, 19:07

Salve, dato un sistema discreto del tipo:
x(k+1) =a\cdot x(k) + \sqrt{x(k-1)}

Quindi non lineare e del secondo ordine, per linearizzare intorno ad un punto come posso procedere?

Grazie
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[2] Re: Linearizzare sistema secondo ordine

Messaggioda Foto UtenteDirtyDeeds » 25 mag 2013, 20:45

Se x_0 è un punto fisso del sistema, definisci x(k) = x_0+y(k). Sostituendo

x_0+y(k+1) = ax_0+ay(k)+\sqrt{x_0+y(k-1)}

da cui

x_0+y(k+1) = ax_0+ay(k)+\sqrt{x_0\left[1+\frac{y(k-1)}{x_0}\right]}

Nell'ipotesi che y(k)\ll x_0 si ha

x_0+y(k+1)\approx ax_0+ay(k)+\sqrt{x_0}\left[1+\frac{1}{2}\frac{y(k-1)}{x_0}\right]

o

x_0+y(k+1)\approx ax_0+ay(k)+\sqrt{x_0}+\frac{1}{2\sqrt{x_0}}y(k-1)\right]

e poiché x_0 è un punto fisso

x_0 = ax_0+\sqrt{x_0}

e il sistema linearizzato risulta

y(k+1) = ay(k)+\frac{1}{2\sqrt{x_0}}y(k-1)\right]

I punti fissi del sistema originale sono due (per 0\le a < 1):

\begin{align}x_{0,1} &= 0 \\ x_{0,2} &= \frac{1}{(1-a)^2}\end{align}

Intorno al primo non si può linearizzare perché la radice quadrata non è derivabile. Per il secondo si ha

y(k+1) = ay(k)+\frac{1-a}{2}y(k-1)\right]
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[3] Re: Linearizzare sistema secondo ordine

Messaggioda Foto Utentedursino » 26 mag 2013, 10:42

Wow, vista la risposta esauriente, vorrei spendere due righe in più anche io.

Sono partito dal seguente libro:
http://www.amazon.com/Feedback-Control- ... 047126637X

Esso descrive sistemi informatici modellati e controllati con tecniche tipiche dell 'automazione.
Personalmente sono interessato a descrivere un server HTTP apache.

In particolare, voglio legare l'utilizzo della cpu con il parametri KeepAlive, quest'ultimo indica per quanto tempo lasciare attiva la connessione TCP fra il server ed un generico Client.

Il mio modello è:
cpu(k) = x(k); keepAlive(k) = u(k)
x(k +1) = a \cdot x(k) + b \cdot x(k-1) + c \cdot 1/ \sqrt{(u(k))}
quindi la cpu al passo k +1 dipende dai due instanti precedenti , e dal valore di keepAlive al passo prima, in particolare quando keepAlive cresce il valore della cpu diminuisce .

Sto ipotizzando io un modello matematico poiché quello del libro a detta del prof è troppo banale, infatti la funzione di trasferimento viene del primo ordine ed è lineare il modello originario.

Tornando alla linearizzazione , nel nuovo modello devo porre:
u(k) = u_0 + y(k) e procedere come ha fatto prima Foto UtenteDirtyDeeds?

Vi ringrazio
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[4] Re: Linearizzare sistema secondo ordine

Messaggioda Foto Utentedimaios » 26 mag 2013, 16:02

Nel secondo caso non serve.
Infatti se guardi l'equazione che hai scritto vedi che con una semplice sostituzione dell'ingresso il tutto rientra nei sistemi LTI.

x(k +1) = a \cdot x(k) + b \cdot x(k-1) + c \cdot 1/ \sqrt{(u(k))}

ponendo :

u_{1}(k) =  c \cdot 1/ \sqrt{(u(k))}

Si ha :

x(k +1) = a \cdot x(k) + b \cdot x(k-1) + u_{1}(k)

Ovvero un modello ARX.
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[5] Re: Linearizzare sistema secondo ordine

Messaggioda Foto Utentedursino » 26 mag 2013, 16:40

Grazie mille.

Dunque la necessità di linearizzare avviene solo qualora il termine non lineare sia in x(k).
Confermate?

Scusate, le domande banali ma sinceramente mi son ritrovato a fare un esame di controlli, dopo 3 anni dall' ultimo esame inerente.
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[6] Re: Linearizzare sistema secondo ordine

Messaggioda Foto Utentedimaios » 26 mag 2013, 16:44

No. Anche se l'ingresso si combina in modo non lineare alla variabile di stato x avresti la necessità di linearizzare.

x(k+1) = f( x(k), u(k))

Potrebbe per esempio essere :

x(k+1) = x(k) \cdot u(k)
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[7] Re: Linearizzare sistema secondo ordine

Messaggioda Foto Utentedursino » 26 mag 2013, 17:29

Grazie delle delucidazioni.


Un' altra cosa, per stimare i parametri a,b,c conoscendo le x(k) e u(k) che strumento potrei usare?

La regressione multipla?


Grazie O_/
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[8] Re: Linearizzare sistema secondo ordine

Messaggioda Foto Utentedimaios » 26 mag 2013, 18:12

Inizia con i minimi quadrati, è semplice veloce e funziona praticamente sempre.
Vi sono anche metodi spinti conoscendo la statistica del rumore che corrompe la serie di dati ma come primo tentativo utilizza i minimi quadrati.
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[9] Re: Linearizzare sistema secondo ordine

Messaggioda Foto Utentedursino » 27 mag 2013, 22:15

Grazie.

Per il momento ritengo il problema risolto.

O_/
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