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Calcolo dei residui nell'anti trasformata di Laplace

Analisi, geometria, algebra, topologia...

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[1] Calcolo dei residui nell'anti trasformata di Laplace

Messaggioda Foto UtenteVibia » 11 giu 2013, 16:01

Salve a tutti
Sto riscontrando dei problemi quando devo calcolare i residui nell' anti-trasformata di Laplace

Sostanzialmente il problema è dovuto al fatto che quando ho un polinomio con molte radici mi risulta difficoltoso calcolarne il residuo.

Scrivo un esercizio di esempio per poter spiegare meglio la difficoltà

F(s)=\frac{1}{s^4-s^2+1}

Ovviamente come mio solito calcolo le soluzioni che annullano il denominatore
\left\{\begin{matrix}
s_0=e^{\pi/3}\\ 
s_1=e^{7/6\pi}\\ 
s_3=e^{11/6\pi}\\
s_4=e^{5/6\pi} 

\end{matrix}\right.

\frac{1}{(s-s_0)(s-s_1)(s-s_2)(s-s_3)}=\frac{A}{(s-s_0)}+\frac{B}{(s-s_1)}+\frac{C}{(s-s_2)}+\frac{D}{(s-s_3)}

Adesso devo determinare A,B,C,D e qui viene la mia domanda :D

Il coefficiente A lo calcolo come
A=\lim_{s->s_0} \frac{s-s_0}{(s-s_0)(s-s_1)(s-s_2)(s-s_3)}=\frac{1}{(s_0-s_1)(s_0-s_2)(s_0-s_3)}

Ovviamente come procedura dovrebbe essere corretta ma è molto lunga che può portare a errori di calcolo

Però ho visto invece su degli appunti che un mio amico li svolge derivando il denominatore ed usando la forma esponenziale della soluzione

A=\lim_{s->s_0} \frac{1}{4s^3-2s}=\frac{1}{4s_0^3-2s_0}

Solo che se provo a fare in tutti e due i modi il risultato è diverso...

Grazie in anticipo per l'aiuto!!
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[2] Re: Calcolo dei residui nell'anti trasformata di Laplace

Messaggioda Foto Utentedimaios » 11 giu 2013, 22:29

Non avendo pubblicato l'esercizio del tuo amico non posso che fare una ipotesi. Ha applicato la formula di De l'Hôpital perché le ipotesi di applicabilitá erano soddisfatte.
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[3] Re: Calcolo dei residui nell'anti trasformata di Laplace

Messaggioda Foto UtenteVibia » 12 giu 2013, 11:12

L'esercizio è quello che ho scritto solo che nello svolgere i calcoli ad esempio per il coefficiente A mi trovo due risultati diversi

Procedimento che conosco io
Res(F(s),s_0)=\frac{1}{(s_0-s_1)(s_0-s_2)(s_0-s_3)}
=\frac{1}{(\sqrt3/2+j/2+\sqrt3/2+j/2)(\sqrt3/2+j/2-\sqrt3/2+j/2)(\sqrt3/2+j/2+\sqrt3/2-j/2)}
\frac{1}{(j\sqrt3)(\sqrt3/2+j)}
=-\frac{\sqrt3/2+3j}{12}

Mentre con il procedimento dell' Hopital ho

Res(F(s),s_0)=\frac{1}{4s_0^3-2s}=\frac{1}{4e^{\pi/2}-2e^{\pi/6}}=\frac{1}{4j-\sqrt3-j}=\frac{1}{3j-\sqrt3}

Vabe come non detto mi sono dato la risposta da solo...mi trovo allo stesso modo :D

Il problema è nato dal fatto che vedevo risultati diversi e sono andato in panico :D

Purtroppo non so proprio dove poter esercitarmi perché come materiale mi sono state date solo tracce passate del professore senza risultati e quindi per me è andare alla cieca con il rischio di non imparare mai :(

comunque grazie per l'aiuto :D
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[4] Re: Calcolo dei residui nell'anti trasformata di Laplace

Messaggioda Foto Utentedimaios » 12 giu 2013, 12:22

Vibia ha scritto:Procedimento che conosco io
[unparseable or potentially dangerous latex formula]


Per cortesia inserisci la formula correttamente.
Se non riesci a modificare il post inseriscila in un post nuovo, te la correggo io successivamente.
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[5] Re: Calcolo dei residui nell'anti trasformata di Laplace

Messaggioda Foto UtenteVibia » 12 giu 2013, 13:23

Scusami non me ne ero accorto :D

Res(F(s),s_0)=\frac{1}{(s_0-s_1)(s_0-s_2)(s_0-s_3)}=

=\frac{1}{(\sqrt3/2+j/2+\sqrt3/2+j/2)(\sqrt3/2+j/2-\sqrt3/2+j/2)(\sqrt3/2+j/2+\sqrt3/2-j/2)}=

=\frac{1}{(j\sqrt3)(\sqrt3/2+j)}=-\frac{\sqrt3/2+3j}{12}


Comunque alla fine mi sono reso conto che sbagliavo dei calcoli e di conseguenza sono andato nel panico...

Grazie ancora per il supporto!!
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[6] Re: Calcolo dei residui nell'anti trasformata di Laplace

Messaggioda Foto UtenteVibia » 13 giu 2013, 18:29

Foto Utentedimaios scusami se insito con le domande ma sono arrivato ad un altro intoppo con un esercizio :
Tutto è nato da questo

\left\{\begin{matrix}
y''-2y'+y=f(t)\\ 
y(0)=y'(0)=1
\end{matrix}\right.

con f(t)

\left\{\begin{matrix}
e^t & 0\leq t\leq1 \\ 
 e & 1\leq t\leq +\infty
\end{matrix}\right.

Mi sono calcolato la trasformata di Laplace ed ho ottenuto

X(s)=-\frac{e^{1-s}}{(s-1)^3} +\frac{1}{(s-1)^2}+\frac{e^{1-s}}{s(s-1)^2}

Adesso devo anti-trasformare e qui viene il mio dubbio
Posso vedere la trasformata in questo modo:

\mathcal{L}^{-1}[X(s)]=-e\mathcal{L}^{-1}\begin{bmatrix}
\frac{1}{(s-1)^3}
\end{bmatrix}_{(t-1)} 
+
\mathcal{L}^-1
\begin{bmatrix}
\frac{1}{(s-1)^2}
\end{bmatrix}
+
e\mathcal{L}^{-1}
\begin{bmatrix}
\frac{1}{s(s-1)^2}
\end{bmatrix}_{(t-1)}

Facendo in questo modo si semplifica tantissimo l'esercizio :D
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[7] Re: Calcolo dei residui nell'anti trasformata di Laplace

Messaggioda Foto Utentedimaios » 13 giu 2013, 20:47

Prima di tutto vorrei capire come sei arrivato all'espressione finale.

y''-2y'+y=f(t)

Ha come corrispondente nel dominio della Laplace trasformata :

s^2 \cdot \mathcal{L}\{y(t)\} - s  \cdot y(0^+) - y^{'}(0^+) - 2 \cdot \left[   s  \cdot \mathcal{L}\{y(t)\} - y(0^+)   \right] +\mathcal{L}\{y(t)\} =  \mathcal{L}\{f(t)\}

Per cortesia illustra il procedimento per vedere se i calcoli sono giusti.
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[8] Re: Calcolo dei residui nell'anti trasformata di Laplace

Messaggioda Foto UtenteVibia » 14 giu 2013, 10:10

Certo :D

Allora ho fatto esattamente in questo modo

\mathcal{L}[y'']-2\mathcal{L}[y']+\mathcal{L}[y]=\mathcal{L}[f(t)]

quindi

\mathcal{L}[y'']-2\mathcal{L}[y']+\mathcal{L}[y]=\mathcal{L}[f(t)]

s^2X(s)-2X(s)+X(s)=\mathcal{L}[f(t)]

La trasformata di f(t) invece l'ho risolta in questo modo

\mathcal{L}[f(t)]=\int_{0}^{1}e^t e^{-st}dt+e\int_{1}^{+\infty}e^{-st}=-\frac{e^{1-s}}{s-1}+\frac{1}{s-1}+\frac{e^{1-s}}{s}

X(s)(s^2-1)^2=-\frac{e^{1-s}}{s-1}+\frac{1}{s-1}+\frac{e^{1-s}}{s}

Ottenendo

X(s)=-\frac{e^{1-s}}{(s-1)^3}+\frac{1}{(s-1)^2}+\frac{e^{1-s}}{s(s^2-1)^2}

è corretto il procedimento??
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[9] Re: Calcolo dei residui nell'anti trasformata di Laplace

Messaggioda Foto Utentedimaios » 14 giu 2013, 10:36

Le condizioni iniziali dove sono finite ?

Questa
s^2Y(s)-2Y(s)+Y(s)=\mathcal{L}[f(t)]

e' diversa da questa

s^2 \cdot \mathcal{L}\{y(t)\} - s \cdot y(0^+) - y^{'}(0^+) - 2 \cdot \left[ s \cdot \mathcal{L}\{y(t)\} - y(0^+) \right] +\mathcal{L}\{y(t)\} = \mathcal{L}\{f(t)\}

Non stai operando con condizioni iniziali nulle.
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[10] Re: Calcolo dei residui nell'anti trasformata di Laplace

Messaggioda Foto UtenteVibia » 14 giu 2013, 11:05

e' vero ho proprio trascurato questa cosa!!

Quindi dovrei trovarmi

s^2X(s)-s+1-2sX(s)+X(s)==-\frac{e^{1-s}}{(s-1)^3}+\frac{1}{(s-1)^2}+\frac{e^{1-s}}{s(s^2-1)^2}

Ottenendo

X(s)=-\frac{e^{1-s}}{(s-1)^3}+\frac{1}{(s-1)^2}+\frac{e^{1-s}}{s(s^2-1)^2}+\frac{1}{(s-1)}
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