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Calcolo dei residui nell'anti trasformata di Laplace

Analisi, geometria, algebra, topologia...

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[11] Re: Calcolo dei residui nell'anti trasformata di Laplace

Messaggioda Foto Utentedimaios » 14 giu 2013, 11:27

Sicuro di aver sviluppato bene i calcoli ?
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[12] Re: Calcolo dei residui nell'anti trasformata di Laplace

Messaggioda Foto UtenteVibia » 14 giu 2013, 11:48

Allora ci riprovo :D

\mathcal{L}[y'']-2\mathcal{L}[y']+\mathcal{L}[y]=

=s^2X(s)-sy(0)-y'(0)-2(sX(s)-y(0))+X(s)=X(s)(s^2-2s+1)-s+1=

=X(s)(s-1)^2-(s-1)

Su f(t)

\mathcal{L}[f(t)]= - \frac{e^{-(1-s)}}{s-1}+\frac{1}{s-1}+\frac{e^{-(1-s)}}{s}

In questo modo ottengo

X(s)(s-1)^2-(s-1)= - \frac{e^{-(1-s)}}{s-1}+\frac{1}{s-1}+\frac{e^{-(1-s)}}{s}

Da cui

X(s)(s-1)^2=(s-1) - \frac{e^{-(1-s)}}{s-1}+\frac{1}{s-1}+\frac{e^{-(1-s)}}{s}

Ed infine

X(s)=\frac{1}{s-1} - \frac{e^{-(1-s)}}{(s-1)^3}+\frac{1}{(s-1)^3}+\frac{e^{-(1-s)}}{s(s-1)^2}

Adesso se ho fatto bene tutto dovrei anti-trasformare xD
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[13] Re: Calcolo dei residui nell'anti trasformata di Laplace

Messaggioda Foto Utentedimaios » 14 giu 2013, 12:05

Si. Prova anche a risolverlo senza le trasformate di Laplace per verifica.
Comunque inizia con l'antitrasformata di Y(s) e prova a sostituirla nell'equazione differenziale originale per vedere se la soluzione e' corretta.
Inoltre controlla che le condizioni iniziali sulla y(t) siano verificate.
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[14] Re: Calcolo dei residui nell'anti trasformata di Laplace

Messaggioda Foto UtenteVibia » 17 giu 2013, 10:45

Prima di effettuale l'anti trasformazione di ogni frazione scomponendo con i fratti semplici, posso vedere questa parte di antitrasformata in questo modo?

\mathcal{L}^{-1}[X(s)]=-\mathcal{L}^{-1}[\frac{e^{1-s}}{(s-1)^3}]=-e\mathcal{L}^{-1}[\frac{e^{-s}}{(s-1)^3}]=-\mathcal{L}^{-1}[\frac{1}{(s-1)^3}]_{s-1}


Cioè in sostanza vorrei chiederti se posso spezzare l'esponente della mia funzione da anti trasformare
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[15] Re: Calcolo dei residui nell'anti trasformata di Laplace

Messaggioda Foto Utentedimaios » 17 giu 2013, 19:18

Sinceramente non capisco quale proprieta' tu stia applicando.

\mathcal{L}^{-1}[\frac{1}{(s-1)^3}]_{s-1}

Questa notazione non l'ho mai vista.
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[16] Re: Calcolo dei residui nell'anti trasformata di Laplace

Messaggioda Foto UtenteVibia » 20 giu 2013, 10:55

Foto Utentedimaios scusami se non ti ho risposto più, ma ho pensato di esercitarmi meglio e migliorare le mie abilità prima di svolgere questi esercizi più articolati...

Ho provato a risolvere l'esercizio

Avevo da antitrasformare
X(s)=\frac{1}{s-1} - \frac{e^{-(1-s)}}{(s-1)^3}+\frac{1}{(s-1)^3}+\frac{e^{-(1-s)}}{s(s-1)^2}

Questi primi due li trasformo subito

x(t)=\mathcal{L}^{-1}[X(s)]=\mathcal{L}^{-1}[\frac{1}{s-1}] +\mathcal{L}^{-1}[\frac{1}{(s-1)^3}]= e^tu(t)+\frac{1}{2}t^2 (e^t)  u(t)

Mi rimangono

X(s)=\mathcal{L}^{-1}[- \frac{e^{-(1-s)}}{(s-1)^3}]+\mathcal{L}^{-1}[\frac{e^{-(1-s)}}{s(s-1)^2}]

Che ho scritto come

X(s)=e^t\mathcal{L}^{-1}[\frac{1}{s^3}]_{(t-1)}+e^t\mathcal{L}^{-1}[\frac{1}{(s+1)s^2}]_{(t-1)}


da cui poi ottengo

e^tu(t-1)(\frac{t-1}{2}+1+e^{-(t-1)})


In conclusione l'antitrasformata mi viene
e^tu(t)+\frac{1}{2}t^2 (e^t)  u(t)+e^tu(t-1)(\frac{t-1}{2}+1+e^{-(t-1)})

Grazie ancora per il supporto :D
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[17] Re: Calcolo dei residui nell'anti trasformata di Laplace

Messaggioda Foto Utentedimaios » 20 giu 2013, 11:08

Non rimane che la verifica finale .... sostituire il risultato nell'equazione differenziale iniziale ( a meno che tu non abbia gia' il risultato ).
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[18] Re: Calcolo dei residui nell'anti trasformata di Laplace

Messaggioda Foto UtenteVibia » 28 giu 2013, 20:05

Ciao, scusami se non ti ho risposto ma ho avuto problemi con la connessione ad internet #-o

Io il risultato non ce l'ho però ho visto che con wolfram mi trovo :D
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[19] Re: Calcolo dei residui nell'anti trasformata di Laplace

Messaggioda Foto Utentedimaios » 28 giu 2013, 22:51

Ok ma durante un esame dubito che potresti impiegarlo per la verifica per cui ti consiglio il metodo primario che deriva dalla definizione del problema.
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[20] Re: Calcolo dei residui nell'anti trasformata di Laplace

Messaggioda Foto UtenteVibia » 29 giu 2013, 13:46

Su questo hai perfettamente ragione e sono interessato a apprendere tale procedura che dovrebbe essere simile se non erro alla verifica che facevo quando risolvevo il problema di Cauchy in analisi II (alla fine quello che ho risolto con la trasformata è un problema di Cauchy :D ).
Il mio dubbio però nasce sulle derivate del gradino che ovviamente, quando derivo, diventano delle delta di Dirac e successivamente sfrutto il teorema del campionamento ed elimino eventuali prodotti che si annullano(Un po come faccio quando calcolo la trasformata di Fourier).

(In sede di esame purtroppo le tracce sono molto più complesse di questi esercizi e, siccome si hanno solo 2 ore, molto spesso è impossibile riuscire a controllare.L'ultimo esame lo provai a svolgere ma dopo un ora non avevo fatto nemmeno un esercizio perché sbagliavo sempre i calcoli, errori aritmetici dovuti all'ansia :( )
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