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Errori a regime nei sistemi in retroazione

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[1] Errori a regime nei sistemi in retroazione

Messaggioda Foto Utenteellosma » 4 lug 2013, 19:43

Avendo per esempio E(s) = \frac{(\frac{R_0}{s^{2}})}{1 + G(s)} non riesco a capire come calcolare \frac{R_0}{s^2}. So che , dalla teoria, e' la trasformata della rampa di pendenza R_0 ma non riesco a capire come calcolarlo praticamente negli esercizi.
Per esempio , avendo un sistema di tipo 0 e dovendo trovare il valore di k che assicuri un errore in risposta al gradino di set point < del 5%, allora devo svolgere il limite di s che tende a 0 di
s[E(s)] , data la funzione di trasferimento completa \frac{k\cdot G(s)}{1 + k\cdot G(s)} essendo G(s) uguale a \frac{s+2}{(s+3)\cdot(s+4)\cdot(s^{2} + 2s + 2)}.
Quello che non capisco in questo caso e' per quale motivo il numeratore di E(s) risulta essere s

Grazie mille in anticipo a chi avrà la pazienza di aiutarmi !
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[2] Re: Errori a regime nei sistemi in retroazione

Messaggioda Foto UtenteDoeM » 4 lug 2013, 20:02

Sarò io, ma sinceramente non ho capito molto di quello che hai scritto. Hai citato due esempi, tra cui non capisco che relazione ci sia.
Spiega chiaramente, un solo caso per volta: quali sono i dati iniziali? Qual è l'ingresso, quale la funzione di trasferimento del sistema, quale quella del controllore? Cosa devi trovare?
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[3] Re: Errori a regime nei sistemi in retroazione

Messaggioda Foto Utentedimaios » 4 lug 2013, 20:08

Ti invito ad essere più chiara quando esprimi un concetto, nel post ci sono diverse informazioni scorrelate ; in particolare alcune dipendono dalla teoria ed altre sono riferite ad un esercizio.

ellosma ha scritto:un errore in risposta al gradino di set point


Se scrivi questo il segnale di riferimento per il test è \frac{A}{s} ove A è una costante.
Non capisco la correlazione con il segnale a rampa, sono due test diversi.
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[4] Re: Errori a regime nei sistemi in retroazione

Messaggioda Foto Utenteellosma » 4 lug 2013, 20:41

Allora, provo a spiegarmi nuovamente senza mescolare le due cose.. Ho la funzione di trasferimento di questo grafico

image.jpg
image.jpg (18.3 KiB) Osservato 2914 volte


da quest'ultimo ho ricavato la funzione di trasferimento completa G(s) che ho riportato sopra. Il testo dell'esercizio lo riporto qui

image.jpg
image.jpg (46.16 KiB) Osservato 2914 volte


Sotto il testo ho riscritto anche la soluzione , con procedimento , della richiesta. Quello che non capisco e" come e' stata ricavata E(s), il numeratore precismente.
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[5] Re: Errori a regime nei sistemi in retroazione

Messaggioda Foto Utentedimaios » 4 lug 2013, 20:51

Segnale di test gradino U(s)=\frac{1}{s}
La funzione di trasferimento da ingresso ad errore a regime per il tempo che tende ad infinito :

e(\infty)=\lim_{s \to 0} s \cdot U(s) \cdot \frac{1}{1+k \cdot G(s)}

Da cui l'asserto.
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[6] Re: Errori a regime nei sistemi in retroazione

Messaggioda Foto Utentemichper1 » 4 lug 2013, 21:13

Se vuoi una spiegazione un po' diversa ti posso dare questa.
Il segnale errore è praticamente la differenza tra l'uscita che vorresti, che chiameremo y_{des} (il gradino che supporremo unitario) e l'uscita che ottieni, y_{ott} (la funzione di trasferimento moltiplicata per l'ingresso) a regime permanente. Scriviamo dunque che (avendo già trasformato):

E(s) = Y_{des}(s) - Y_{ott}(s) = \frac{1}{s} - \frac{k G(s)}{1+k G(s)} \cdot \frac{1}{s}

Raccogliendo \frac{1}{s} e facendo minimo comun denominatore si ottiene

E(s) = \frac{1}{1+k G(s)} \cdot \frac{1}{s}

Adesso usiamo il teorema del valore finale per ottenere l'errore in regime permanente:

e(\infty) = \lim_{s\rightarrow 0} s \cdot E(s) = \lim_{s\rightarrow 0} s \cdot \frac{1}{1+k G(s)} \cdot \frac{1}{s}
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[7] Re: Errori a regime nei sistemi in retroazione

Messaggioda Foto Utenteellosma » 5 lug 2013, 22:24

Scusate #-o probabilmente ho delle lacune io , ma ancora non riesco a capire. Il mio problema e' che , avendo una funzione di trasferimento di un altro tipo, per risolvere la richiesta svilupperei il limite ma non saprei come trovare U(s) (o Ydes(s) ) ?

Qui applico per esempio

\lim s\cdot E(s) = \lim s\cdot[\frac{ \frac{R_0}{s^{2}}}{1 + G(s)}]

Il denominatore non è un problema , avendo la funzione di trasferimento, ma non capisco come trovare \frac{R_0}{s^{2}} = U(s) = Ydes(s)} , che in questo caso risulta essere 1/s
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[8] Re: Errori a regime nei sistemi in retroazione

Messaggioda Foto UtenteDirtyDeeds » 5 lug 2013, 22:43

Foto Utenteellosma per i limiti usa il comando

Codice: Seleziona tutto
\lim


o, meglio, per specificare anche il valore a cui tende la variabile di interesse:

Codice: Seleziona tutto
\lim_{s\rightarrow 0}


che dà

\lim_{s\rightarrow 0}
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[9] Re: Errori a regime nei sistemi in retroazione

Messaggioda Foto Utenteellosma » 6 lug 2013, 1:27

Risolto ! Scusate se vi ho fatto perdere tempo :oops:
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[10] Re: Errori a regime nei sistemi in retroazione

Messaggioda Foto Utentedimaios » 6 lug 2013, 9:08

Oggettivamente non capisco il dubbio visto che trattasi della trasformata di Laplace del segnale di test che poni in ingresso al sistema.
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