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Molteplicità degli zeri in un integrale in campo complesso

Analisi, geometria, algebra, topologia...

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[1] Molteplicità degli zeri in un integrale in campo complesso

Messaggioda Foto UtenteVibia » 5 lug 2013, 19:06

Salve a tutti,

Mi sono imbattuto in questo integrale

\int_C \frac{\sin^2(z\pi)}{z^3(z^3-1)(e^{j\pi z}+1)}\mathrm{d}z

dove C è una circonferenza di centro 1/2 e raggio 1

Non sono sicuro di esser riuscito ad individuare le molteplicità degli zeri

Ho cominciato con l'individuare gli zeri del numeratore
z=2k Molteplicità 2
Per il denominatore
z=0 Molteplicità 3
z=1 Molteplicità 3
z=1+2k Molteplicità 1

Adesso per calcolare l'integrale con il teorema dei residui e calcolare i residui devo individuare le molteplicità effettive

Ho pensato se k=0
z=0 ha molteplicità 1
z=1 ha molteplicità 4
se k=1/2
z=0 ha molteplicità 3
z=1 ha molteplicità 2

E' giusto fare così o ci sono strade meno contorte??

Grazie in anticipo per l'aiuto :D

EDIT DarwinNE: ho messo un po' a posto la formula
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[2] Re: Molteplicità degli zeri in un integrale indefinito

Messaggioda Foto UtenteDarwinNE » 6 lug 2013, 0:14

Vibia ha scritto:z=1 Molteplicità 3
z=1+2k Molteplicità 1


:shock: sicuro sicuro??? Utilizzando la formula di de Moivre, quali sono gli zeri di (z^3-1), secondo te?
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[3] Re: Molteplicità degli zeri in un integrale indefinito

Messaggioda Foto UtenteVibia » 6 lug 2013, 12:22

Hai ragione scusami ho fatto una sciocchezza.

Il numeratore si annulla per
z=2k

Il Denominatore si annulla per
\left\{\begin{matrix}
z_0=1\\ 
z_1=e^{j2/3\pi}=-1/2+j\sqrt3/2\\ 
z_2=e^{j4/3\pi}=-1/2-j\sqrt3/2
\end{matrix}\right.
z=0
z=1+2k

Allora da quanto posso intuire gli zeri che ho fissi ("Cioè che non variano con k )sono
z=0
z=1

i "k" che mi interessano sono
k=0
k=1/2

Quando ho k=0
z=0 Polo semplice (sopra al quadrato e sotto al cubo)
z=1 Polo Doppio (l'esponenziale e lo zero di z^3-1)
z=-1/2+\sqrt3/2 Polo semplice

Scusate ho anche dimenticato che questo integrale è su un dominio che è una circoferenza di centro 1/2 e raggio 1
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[4] Re: Molteplicità degli zeri in un integrale indefinito

Messaggioda Foto UtenteDarwinNE » 6 lug 2013, 17:15

Vibia ha scritto:
cut

z=1 Polo Doppio (l'esponenziale e lo zero di z^3-1)
z=-1/2+\sqrt3/2 Polo semplice

Scusate ho anche dimenticato che questo integrale è su un dominio che è una circoferenza di centro 1/2 e raggio 1


L'esponenziale??? Ah, forse ho capito. Ti ho corretto la formula nel primo messaggio, guarda un po' se va meglio. Ho messo a posto anche il titolo perché era fuorviante (non è un integrale indefinito!).
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[5] Re: Molteplicità degli zeri in un integrale in campo comples

Messaggioda Foto UtenteVibia » 6 lug 2013, 17:53

Si ti rignrazio va benissimo così....a volte con il tex mi perdo le cose perché ci sono molte cose da scrivere :D

comunque questi integrali non sono molto difficili...però non riesco ad avere un approccio convinto quando si presentano zeri che variano al variare di k.
Molto spesso mi capitano esercizi dove poli che sono apparentemente di molteplicità assurde si riducono a poli semplici se affrontati in un certo modo ... :?
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[6] Re: Molteplicità degli zeri in un integrale in campo comples

Messaggioda Foto UtenteVibia » 7 lug 2013, 14:13

Ci ho pensato un po su....

Per prima cosa k è un numero intero quindi il caso k=1/2 non lo devo proprio guardare...

Inoltre ho pensato che sia possibile vedere l'integrale in questo modo

\int_{C} \frac{\frac{1-cos(2 \pi z)}{2}}{z^3(z^3-1)(e^{j\pi}+1)}

E successivamente scrivere

\frac{1}{2}\int _C \frac{1}{z^3(z^3-1)(e^{j\pi}+1)}-\frac{1}{2}\int _C \frac{cos(2\pi z)}{z^3(z^3-1)(e^{j\pi}+1)}

riducendomi a calcolare due integrali

\frac{1}{2}\int _C \frac{1}{z^3(z^3-1)(e^{j\pi}+1)}-
Re\left \{  \frac{1}{2}\int _C \frac{e^{2\pi jz}}{z^3(z^3-1)(e^{j\pi}+1)} \right \}

Poi siccome il coseno a 2\pi fa 1 posso scrivere

\frac{1}{2}\int _C \frac{1}{z^3(z^3-1)(e^{j\pi}+1)}-Re\left \{\frac{1}{2}\int _C \frac{1}{z^3(z^3-1)(e^{j\pi}+1)}\right \}


Spero di non aver scritto idiozie e di non aver fatto errori con il tex :D
Alla fine ho sfruttato la formula di bisezione del seno e la periodicità del coseno :D
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[7] Re: Molteplicità degli zeri in un integrale in campo comples

Messaggioda Foto UtenteDarwinNE » 7 lug 2013, 20:04

Io non ho provato a fare i conti, ma ho alcuni consigli:

1. le formule scrivile bene. Mancano dei pezzi, delle "z" il "dz", la funzione coseno dev'essere in tondo e non in corsivo matematico. Guarda il codice di quella che ti ho corretto (lasciaci sopra il cursore del mouse)

2. perché complicarti la vita? Non basta calcolare i residui dei poli che capitano in mezzo al cerchio che ti interessa?
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[8] Re: Molteplicità degli zeri in un integrale in campo comples

Messaggioda Foto UtenteVibia » 7 lug 2013, 20:53

Ok ti ringrazio..farò più attenzione a scrivere in tex :ok:

Riguardo all'integrale io alla fine sto facendo questa cosa per un motivo sostanziale...

Non so come stabilire le molteplicità quando ci sono funzioni che hanno soluzioni che variano al variare di un parametro perché sono sicurissimo che se riuscissi a vedere bene le molteplicità l'integrale è abbastanza semplice...
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[9] Re: Molteplicità degli zeri in un integrale in campo comples

Messaggioda Foto UtenteDarwinNE » 7 lug 2013, 21:03

Io non ci vedo una gran difficoltà, non è proprio che siano funzioni parametriche. Si tratta di funzioni in cui hai un numero infinito di zeri che identifichi con uno o più parametri. Forse però avrei un consiglio per evitare confusioni.
Nell'esempio che hai fornito, hai due termini periodici: evita di utilizzare lo stesso nome di variabile (nel tuo caso k\in Z) per identificare le due famiglie di zeri, quella che viene dal seno al numeratore, che ti dà degli zeri della funzione e quella che viene dal termine che contiene l'esponenziale nel denominatore, che ti dà dei poli. Che ne so, chiamali h\in Z e k\in Z.
Poi avrai due possibilità che ti lascio esplorare. O c'è una combinazione di h e di k che ti fa coincidere dei punti interessanti, allora potrebbero cambiare le carte in gioco (uno zero che neutralizza un polo, per esempio), oppure no. In questo ultimo caso, il problema è semplicissimo e le molteplicità saranno tutte uguali per ogni valore dei parametri che ti identificano i tuoi zeri.
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[10] Re: Molteplicità degli zeri in un integrale in campo comples

Messaggioda Foto UtenteVibia » 8 lug 2013, 11:31

Grazie Foto UtenteDarwinNE per l'aiuto...

Ho solo una domanda in riferimento allo stabilire la molteplicità...nel senso che ho trovato

Al numeratore
z_1=2k \left\{\begin{matrix}
k=0 & z_1=0\in C   \\ 
k=1 & z_1=2\notin C \\ 
k=1/2&z_1=1\in C
\end{matrix}\right.

Al denominatore
z_2=1+2h \left\{\begin{matrix}
h=0 & z_2=1\in C   \\ 
h=1 & z_2=2\notin C \\ 
h=-1& z_2=-1\notin C
\end{matrix}\right.

Ora i punti che a me interessano sono quelli in cui z=0,z=1

distinguo i seguenti casi
k=0 in z=0 un polo semplice
k=1/2 e h=0 in z=1 singolarità essenziale


Quindi in conclusione devo calcolare il residuo in 0 e basta...giusto come ragionamento???
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