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Problemi analisi di Fourier

Circuiti e campi elettromagnetici

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[1] Problemi analisi di Fourier

Messaggioda Foto Utente904 » 9 ago 2013, 11:31

Salve , io sono uno studente di ing informatica , in pratica per studiare la mia elettrotecnica ho studiato il libro di elettrotecnica degli informatici , degli elettronici , dei gestionali , e fondamenti di controlli automatici per cominciarne a capire qualcosa degli esame oltre agli appunti del prof in cui non c'è tutto e non si capisce molto l'esame che devo fare si fa al calcolatore con matlab ora all'esame devo risolvere quesiti simili a questi :
5) Calcolare l’ampiezza della terza armonica della corrente di condensatore nell'ipotesi che vs(t) e is(t)
siano rispettivamente un'onda triangolare e un'onda quadra, con frequenza fondamentale pari a 100
Hz per vs(t) e 400Hz per is(t), ampiezza picco-picco pari rispettivamente a 1V e 1A e duty-cycle pari a
1/4 per vs(t) ed a 3/4 per is(t);

dove posso studiare la teoria per risolvere questo quesito? ho gli svolgimenti degli altri ragazzi ma non riesco a capirli senza avere la teoria su queste cose , inoltre premetto che ho studiato anche matematica 3
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[2] Re: problemi analisi di fourier

Messaggioda Foto Utentegotthard » 9 ago 2013, 12:35

Ciao 904!

Il fatto che tu abbia seguito i corsi di Analisi 2 e 3, dovrebbe permetterti di avere le giuste basi sulle serie di Fourier.

Comunque sia, ti consiglio semplicemente di "Googolare", scrivendo "Serie di Fourier".

Un'altra cosa utile potrebbe essere cercare "Fourier Series" nell' Help di Matlab.

Inoltre, prova a dare un' occhiata qui
e qui ;-)
...\frac{\mathrm{d} p}{\mathrm{d} t}=JCM... :!:
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[3] Re: problemi analisi di fourier

Messaggioda Foto Utente904 » 9 ago 2013, 12:46

si ma le avevo già viste quelle cose il problema è ad esempio questo quel quesito che ho posto prima nelle soluzioni viene risolto in questo modo qui

Codice: Seleziona tutto
%% Punto 5: Calcolare l'ampiezza della 5a armonica di vl
% Ipotesi vs-> Onda triangolare
% Ipotesi is-> Onda quadra
% Calcolo la funzione di Rete Hvl_vs
vl_vs_s=subs(sol_s.vl,[isw,is],[0,0]);
Hvl_vs=simplify(vl_vs_s/vs);
pretty(Hvl_vs);
s (45000 + 209 s)
- 141/5 ------------------------------------
2
149000000000 + 252915000 s + 9823 s
% Onda Triangolare di vs.
% Dato che non è specificato assumo che il valor medio sia pari a 1
in questo caso il valore medio 1 è corretto perché è 1/2*Vpk =1/2*2=1
w_vs=100; f_vs=2*pi*w_vs; T_vs=1/f_vs;
DC_vs=3/4;
AH_vs=2;
TH_vs=T_vs*DC_vs; TL_vs=T_vs*(1-DC_vs);
% Calcolo della prima spezzata
F1=AH_vs/TH_vs*t;
% Calcolo della seconda spezzata
syms a b
eq1= a-b*TH_vs-AH_vs;
eq2= a-b*T_vs;
sol=solve(eq1,eq2,'a,b');
As=sol.a;
Bs=sol.b;
- 8
- 6
- 4
- 2
0
Magnitude (dB)
10
1
10
2
10
3
10
4
10
5
10
6
-30
0
30
Phase (deg)
Diagrammi di Bode: Modulo e Fase
Frequency (rad/sec)F2=As-Bs*t;
% Serie di Fourier
ao_vs=2*f_vs*(int(F1,t,0,TH_vs)+int(F2,t,TH_vs,T_vs));
vs_tt=ao_vs/2;
vl_vs_tt=0;
a5=2*f_vs*(int(F1*cos(5*w_vs*t),t,0,TH_vs)+int(F2*cos(5*w_vs*t),t,TH_vs,T_vs));
b5=2*f_vs*(int(F1*sin(5*w_vs*t),t,0,TH_vs)+int(F2*sin(5*w_vs*t),t,TH_vs,T_vs));
z5=eval(a5+1i*b5);
c5=abs(z5);
phi5=-angle(z5);
vs_tt=c5*cos(w_vs*5*t+phi5);
%Risposta di vl
Fm=c5*exp(1i*phi5);
Hvl_vs_5=subs(Hvl_vs,s,1i*w_vs*5);
FHvl_vs=Fm*Hvl_vs_5;
vl_vs_tt_5=abs(FHvl_vs)*cos(w_vs*5*t+angle(FHvl_vs))
h4=figure(4);
subplot(211),ezplot(vs_tt,[-T_vs,T_vs]),axis auto, grid on, title('Quinta
armonica dell onda triangolare vs');
subplot(212),ezplot(vl_vs_tt*t/t,[-T_vs,T_vs]),axis auto, grid on,
title('Risposta di vl');


ora io ho vari dubbi perché si trova la funzione di rete? ah la chiamo ampiezza picco-picco ok ma th cosa è? le loro traduzioni in inglese quali sono visto che usa ah e th ?
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[4] Re: Problemi analisi di Fourier

Messaggioda Foto UtenteGost91 » 9 ago 2013, 18:25

Io posso darti una mano sulla teoria analitica dell'esercizio, per il calcolo numerico lascio la parola ai tuoi amici informatici.
La teoria da studiare è veramente tanta (io c'ho fatto un intero esame!), per cui cercherò di riportare solamente i risultati principali, in modo da mettere in primo piano lo schema concettuale risolutivo dell'esercizio.

Le informazioni che ci servono sono

- onda triangolare
- frequenza fondamentale pari a f1=1/T (f1=400 Hz)
- ampiezza picco-picco 2K (2K=1A)
- duty-cycle d=τ/T (d=3/4)

L'esercizio si può suddividere in 2 parti: la prima nella quale si trova la descrizione analitica del segnale in considerazione e la seconda nella quale si calcolano i coefficienti del suo sviluppo, da cui poi si potrà ricavare l'espressione dell'ampiezza della terza armonica.



1 Descrizione del segnale

Allo scopo di avere una traccia visiva da seguire, tracciamo nel dominio del tempo il grafico del segnale in esame



diamo ora la seguente

Definizione 1 (Impulso triangolare) -

\text{tri}(t):=\begin{cases} 1+t & \text{se } 1 \leq t \leq 0 \\ 1-t & \text{se } 0 < t \leq 1  \\ 0 & \text{altrove} \end{cases}

graficamente



Concentriamoci per adesso sul primo periodo T=1/f1 del segnale.
Osserviamo che il segnale is(t) può essere visto come la somma di due opportuni impulsi triangolari.
Gli impulsi sono entrambi di ampiezza K e durata τ/2, il primo è ritardato di un fattore τ/2 e il secondo di un fattore 3/4 τ.
Si ha dunque

i_s_T (t)=K \text{tri} \left(\frac{t-\tau/2}{\tau/4}\right)-K \text{tri}\left(\frac{t-3\tau/4}{\tau/4}\right) \quad \text{se } 0 \leq t < T=\tau/d

la precedente espressione è la descrizione analitica che ci serve, possiamo passare allo step successivo.



2 Calcolo dei coefficienti

Definizione 2 (Impulso rettangolare) -

\text{rect}(t):=\begin{cases} 1 & \text{se } |t|\leq 1/2 \\ 0 & \text{altrove} \end{cases}


Teorema - Sia g_T un segnale periodico di periodo T, i coefficienti di Fourier del suo sviluppo si possono calcolare come

G_n=\frac{1}{T} \,\mathcal{F} \left\{g_T (t) \, \text{rect} \left(\frac{t}{T}\right)\right\}_{f=n/T}

dove per \mathcal{F} si intende l'operatore "trasformata di Fourier".

Il termine g_T (t) \, \text{rect} (t/T) rappresenta il troncamento nel primo periodo del segnale g_T, per questo motivo in precedenza ci si è limitati a trovare l'espressione del segnale is(t) solo nel primo periodo:

i_s_T (t) \, \text{rect} \left(\frac{t}{T}\right)=K \left[\text{tri} \left(\frac{t-\tau/2}{\tau/4}\right)- \text{tri}\left(\frac{t-3\tau/4}{\tau/4}\right)\right]


Definizione 3 (Seno cardinale o circolare) -

\text{sinc}(t):=\begin{cases} \frac{\sin (\pi t)}{\pi t} & \text{se } t\neq 0 \\ 1 & \text{se } t=0 \end{cases}


si dimostra che

\mathcal{F} \{\text{tri}(t)\}=\text{sinc}^2 (f)

Sulla base di questo risultato e dell'applicazione di alcune principali proprietà della trasformata, si trova, indicando con Is i coefficienti del segnale is (e sperando di non aver fatto errori di calcolo), che

\begin{align} I_s_n &=\frac{K \tau}{2} \text{j} \, \text{exp} \left( -\text{j} 2 \pi f \frac{5}{2} \right) \sin  \left( 2 \pi f \frac{1}{2} \right)\text{sinc}^2\left(\frac{\tau f}{2} \right) \bigg |_{f=n/T=dn/\tau }\\
&=\frac{K \tau}{2} \text{j} \, \text{exp} \left( -\text{j} 5 \pi \frac{d n}{\tau} \right) \sin  \left( \pi \frac{d n}{\tau}  \right)\text{sinc}^2\left( \frac{d n}{2} \right) \end{align}

i cui moduli valgono

|I_s_n |=\frac{K \tau}{2} \left|\sin  \left( \pi \frac{d n}{\tau}  \right) \right|\text{sinc}^2\left( \frac{d n}{2} \right)

Ora, se si vuole il valore dell'ampiezza della terza armonica sarà sufficiente valutare la precedente espressione per n=3.

Si conclude quindi che

\boxed{|I_s_3 |=\frac{K \tau}{2} \left|\sin  \left( \pi \frac{ 3 d }{\tau}  \right) \right|\text{sinc}^2\left( \frac{ 3 d }{2} \right)}
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[5] Re: Problemi analisi di Fourier

Messaggioda Foto UtenteGost91 » 10 ago 2013, 9:01

Ultimamente non ne azzecco una eh... sarà il caldo...

Ho una piccola precisazione da fare: nel precedente post mi sono dimenticato, nel calcolo degli Isn, di dividere il tutto per il periodo T=τ/d. Rettifico dunque le precedenti espressioni sui coefficienti:

\begin{align}I_s_n&=\frac{d}{\tau} \frac{K \tau}{2}\text{j}\, \text{exp}\left( -\text{j} \, 5 \pi \frac{d n}{\tau} \right)\text{sin}\left( \pi \frac{d n}{\tau} \right)\text{sinc}^2\left( \frac{d n}{2} \right) \\
&=\frac{Kd }{2}\text{j}\, \text{exp}\left( -\text{j} \, 5 \pi \frac{d n}{\tau} \right)\text{sin}\left( \pi \frac{d n}{\tau} \right)\text{sinc}^2\left( \frac{d n}{2} \right)
\end{align}

|I_s_n|=\frac{K d}{2} \left |\text{sin}\left( \pi \frac{d n}{\tau} \right)\right|\text{sinc}^2\left( \frac{d n}{2} \right) \Rightarrow

\boxed{|I_s_3|=\frac{K d}{2} \left |\text{sin}\left( \pi \frac{ 3 d }{\tau} \right)\right|\text{sinc}^2\left( \frac{3 d}{2} \right)}
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[6] Re: Problemi analisi di Fourier

Messaggioda Foto UtenteRenzoDF » 10 ago 2013, 10:11

Io a dire il vero non riesco a capire nemmeno il testo del problema. :-)
... vs e is cosa rappresentano? ... le funzioni di un GIT e di un GIC forzanti che insistono separatamente sui morsetti del condensatore?

@ Foto UtenteGost91 , occhio che la triangolare è relativa a vs(t) ;-)
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[7] Re: Problemi analisi di Fourier

Messaggioda Foto Utente904 » 10 ago 2013, 12:21

@ Gost91 queste cose le ho studiate in teoria dei segnali feci anche l'esame durante i contest lo superai ma non ho potuto scriverlo sul libretto perché non ho ne mate 2 ne mate 3 il problema che io mi domando allora che si calcola a fare la funzione di trasferimento?
@ RenzoDF è un circuito rlc in cui vs e is sono la tensione e l'intensità dei due generatori uno stazionario l'altro sinusoidale
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[8] Re: Problemi analisi di Fourier

Messaggioda Foto UtenteRenzoDF » 10 ago 2013, 12:58

904 ha scritto:... è un circuito rlc in cui vs e is sono la tensione e l'intensità dei due generatori uno stazionario l'altro sinusoidale

QED :-)

Ora si che mi hai confuso per bene le idee; dove sta scritto che è un RLC ... e di che tipo? ... un generatore stazionario ? ... un altro sinusoidale? ... ma vs e is non erano funzioni triangolare e quadra del tempo? :shock:
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[9] Re: Problemi analisi di Fourier

Messaggioda Foto Utente904 » 10 ago 2013, 13:41

ti posto la traccia così ci capiamo meglio

zz.gif
zz.gif (58.22 KiB) Osservato 3513 volte
Ultima modifica di Foto UtenteRenzoDF il 10 ago 2013, 14:24, modificato 1 volta in totale.
Motivazione: Ritagliare e ridimensionare. Grazie.
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[10] Re: Problemi analisi di Fourier

Messaggioda Foto UtenteRenzoDF » 10 ago 2013, 14:01

904 ha scritto:ti posto la traccia così ci capiamo meglio

E noi avremmo dovuto capire tutto ciò dal tuo primo post? :D ... dove le richieste sono poi diverse.

BTW sarebbe stato conveniente ritagliare l'immagine e ridurla di dimensioni. ... e visto che sei iscritto da più di un anno, dovresti saperlo, no? :-)
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