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Circuito con induttori accoppiati

Circuiti, campi elettromagnetici e teoria delle linee di trasmissione e distribuzione dell’energia elettrica

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[1] Circuito con induttori accoppiati

Messaggioda Foto UtenteMattGt86 » 18 set 2013, 11:32

Ciao a tutti,vorrei chiedere aiuto/consiglio su un esercizio riguardante un doppio bipolo a parametri Y.
I calcoli e le procedure per trovare i parametri ammettenza vorrei metterli in un secondo momento,ora i miei dubbi sono su una parte particolare dell'esercizio in cui si chiede di utilizzare il circuito nella configurazione per i parametri Y12/Y22 e di trovare una serie di grandezze.
Ecco il circuito:



I dati forniti sono:

\par R=100m\Omega \par
L_{1}=3mH \par
L_{2}=2mH \par
C=2mF \par
\omega =150 rad/s \par
M=2mH \par
V=10\measuredangle 60

Ora,il caso particolare sta nel fatto che gli induttori per questo punto dell'esercizio vanno considerati come mutuamente accoppiati e, con parametro M pari a 2mH.
Dato cio,vengono chiesto di trovare:
V3, I3, I4, I5
e di ricalcolare Y22 con la mutua induttanza.
Dato che i conti non mi tornano (purtroppo l'unico parametro che ho trovato corrispondente a uno dei possibili valori dati per esso nella soluzione è I5,la quale comunque era data praticamente gratis visto che è nota sia la tensione del generatore che il valore della capacità C) vorrei provare a risolverlo con voi,scrivendo il sistema di equazioni e vedendo dove sto sbagliando :)
Il professore mi aveva fatto vedere un metodo di risoluzione un po' strano,nel senso che lui a occhio vedeva legami che per gli studenti sono un po' più difficili da notare,io vorrei risolverlo usando uno dei metodi di analisi disponibili per i circuiti,in questo caso,secondo voi è meglio utilizzare l'analisi nodale o Maxwell per impostare le equazioni?
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[2] Re: Circuito con induttori accoppiati

Messaggioda Foto UtenteRenzoDF » 18 set 2013, 14:36

MattGt86 ha scritto:...secondo voi è meglio utilizzare l'analisi nodale o Maxwell per impostare le equazioni?

Né l'uno né l'altro: per quanto riguarda il primo ti faccio notare che i potenziali nodali sono già noti, per quanto riguarda il secondo non è conveniente sdoppiare la corrente in L1 nelle due correnti di anello.

Premesso che anche V3 è "regalata", comincerei con lo scrivere le due equazioni costitutive del doppio bipolo mutuo induttore particolarizzate uguagliando la tensione alla prima porta a zero (visto il corto), e la tensione alla seconda porta alla differenza fra la V2 del GIT e la caduta di tensione su R dovuta alla I3; le correnti alle due porta saranno ovviamente I4 per la prima e I3 per la seconda

\left\{ \begin{align}
  & 0=j\omega {{L}_{1}}{{I}_{4}}+j\omega M{{I}_{3}} \\ 
 & {{V}_{2}}-R{{I}_{3}}=j\omega M{{I}_{4}}+j\omega {{L}_{2}}{{I}_{3}} \\ 
\end{align} \right.

in questo modo, ricavate I3 ed I4, nota la I5, il problema sarebbe completamente risolto per tutte i valori richiesti

\begin{align}
  & {{V}_{3}}={{V}_{2}} \\ 
 & {{I}_{2}}={{I}_{3}}+{{I}_{5}}={{I}_{3}}+j\omega C{{V}_{2}} \\ 
\end{align}

ed infine

{{\left. {{Y}_{22}}=\frac{{{I}_{2}}}{{{V}_{2}}} \right|}_{{{V}_{1}}=0}}=\frac{{{I}_{3}}+j\omega C{{V}_{2}}}{{{V}_{2}}}=\frac{{{I}_{3}}}{{{V}_{2}}}+j\omega C

Sostanzialmente, il metodo applicato è quello delle "correnti di corda", una volta che si sia scelto come albero quello costituito dal ramo del corto sinistro, dal ramo del GIT destro e dal ramo orizzontale di cortocircuito inferiore.



NB il trucco per risolvere semplicemente le reti con i mutui induttori, sta nel conoscere le equazioni costitutive e nel scegliere per entrambi gli induttori le correnti di porta entranti ai morsetti contrassegnati, così pure come i positivi delle tensioni di porta
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[3] Re: Circuito con induttori accoppiati

Messaggioda Foto UtenteMattGt86 » 18 set 2013, 18:26

Ciao....questo è esattamente il metodo che mi fece vedere il professore quando andai a chiedere in ufficio :D
Confesso di non capire bene come si applichi,in sostanza cosa sarebbe,dal grafo del circuito si prendere un albero a caso per l'analisi oppure uno specifico?
Poi vedo che hai alla fine applicato la legge di Ohm in sostanza nelle due equazioni...il mio problema è che supponevo che il potenziale sul nodo in cui arriva I1 ed esce I4 fosse diverso da V2,ma da quanto ho capito in realtà non c'è una caduta di tensione su L1,la corrente che compare è semplicemente una "I3 diversa",so che è sbagliato dire così ma è per rendere l'idea...e questa corrente dovuta all'influenza reciproca non provoca caduta di potenziale giusto?
Purtroppo non abbiamo mai analizzato le reti sfruttando i concetti albero/coalbero per questo sono sempre portato in prima analisi a usare Maxwell o l'analisi nodale...tra l'altro come dicevi tu,quando ho usato Maxwell l'equazione per la maglia con L1 non si complicava molto a parte lo sdoppiarsi della corrente su L1,ma quella per la maglia centrale è un'equazione di ben dieci termini e considerate tutte le impedenze presenti avrò sicuramente fatto qualche errore di calcolo.

Ho una domanda infine:per il calcolo dell'autoammettenza della porta 2,se volessi calcolarla andando prima a trovare l'impedenza totale del circuito,in quel caso dovrei considerare la presenza di L1 giusto?
Di solito quando ho semplicemente due induttori in parallelo e ho mutua induttanza non trascurabile si ha

\par L_{eq}=\frac{L_{1}*L_{2}-M^{2}}{L_{1}+L_{2}-2M} \par

In questo caso invece,essendo L2 in serie a una resistenza e,solo successivamente,questa serie è in parallelo a L1,come cambia l'impedenza?
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[4] Re: Circuito con induttori accoppiati

Messaggioda Foto UtenteRenzoDF » 18 set 2013, 19:00

MattGt86 ha scritto:... Confesso di non capire bene come si applichi,in sostanza cosa sarebbe,dal grafo del circuito si prendere un albero a caso per l'analisi oppure uno specifico?

Quella precisazione topologica era solo "tangenziale", per dare un nome al "metodo" seguito, ovvero per definirlo "correnti alle corde", ma è e rimane una precisazione completamente inutile dal punto di vista pratico. ;-)

Le uniche relazioni che servono per la soluzione sono semplicemente le due equazioni costitutive del doppio bipolo mutuo induttore,


ovvero queste

\left\{ \begin{align}
  & {{V}_{1}}=j\omega {{L}_{1}}{{I}_{1}}+j\omega M{{I}_{2}} \\ 
 & {{V}_{2}}=j\omega M{{I}_{1}}+j\omega {{L}_{2}}{{I}_{2}} \\ 
\end{align} \right.

che sono più che sufficienti.

MattGt86 ha scritto:... Poi vedo che hai alla fine applicato la legge di Ohm in sostanza nelle due equazioni...

Non capisco bene a cosa ti riferisci, ad ogni modo Ohm è come il prezzemolo, entra in tutte le analisi. :-)

MattGt86 ha scritto:... il mio problema è che supponevo che il potenziale sul nodo in cui arriva I1 ed esce I4 fosse diverso da V2, ...

Il potenziale di quel nodo, a dire il vero è zero, se prendiamo come nodo di riferimento quello "esteso" inferiore. ;-)

MattGt86 ha scritto:... ma da quanto ho capito in realtà non c'è una caduta di tensione su L1 ...

Come sarebbe a dire che non c'è caduta? ... su L1 c'è eccome, non c'è complessivamente alla porta 1, a causa del corto, si conseguenza la cdt L1*I4 sarà uguale e opposta alla cdt M*I3.

MattGt86 ha scritto:... la corrente che compare è semplicemente una "I3 diversa",so che è sbagliato dire così ma è per rendere l'idea...

Mi dispiace, ma non l'hai "resa". :-)

MattGt86 ha scritto: ... e questa corrente dovuta all'influenza reciproca non provoca caduta di potenziale giusto?

Non capisco la domanda.

MattGt86 ha scritto:... Purtroppo non abbiamo mai analizzato le reti sfruttando i concetti albero/coalbero per questo sono sempre portato in prima analisi a usare Maxwell o l'analisi nodale...

Quello che dici mi sembra incredibile. alberi coalberi foglie e foreste sono pondamentali in H-demia. :D

MattGt86 ha scritto:... tra l'altro come dicevi tu,quando ho usato Maxwell l'equazione per la maglia con L1 non si complicava molto a parte lo sdoppiarsi della corrente su L1,ma quella per la maglia centrale è un'equazione di ben dieci termini e considerate tutte le impedenze presenti avrò sicuramente fatto qualche errore di calcolo.

Saremmo curiosi di vedere questi calcoli, se è possibile ovviamente.

MattGt86 ha scritto:... Ho una domanda infine:per il calcolo dell'autoammettenza della porta 2,se volessi calcolarla andando prima a trovare l'impedenza totale del circuito,in quel caso dovrei considerare la presenza di L1 giusto?

Non capisco la domanda, puoi riformularla? Grazie.

MattGt86 ha scritto:...Di solito quando ho semplicemente due induttori in parallelo e ho mutua induttanza non trascurabile si ha ...

Qui non sono in parallelo.

MattGt86 ha scritto:...In questo caso invece,essendo L2 in serie a una resistenza e,solo successivamente, questa serie è in parallelo a L1,come cambia l'impedenza?

Anche su questo punto, scusami, ma non riesco a capire cosa intendi dire.
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[5] Re: Circuito con induttori accoppiati

Messaggioda Foto UtenteMattGt86 » 20 set 2013, 6:32

Ciao,allora...dunque,pensavo che con questa configurazione i due induttori fossero in parallelo,per questo avevo fatto quel discorso sul come si calcolava in questo caso l'impedenza in parallelo equivalente tra L1 e L2,data anche la presenza di R...ma non essendoci niente tra il nodo in cui sono presenti I1 e I4 e il nodo a potenziale di riferimento 0 in realtà gli induttori sono in serie...io sbagliavo qui,credevo fossero in parallelo a causa della caduta su L1.

Comunque va bene,scriverò in Latex le equazioni di Maxwell che avevo fatto per questa rete così vediamo dove ho scritto le bestialità :ok:
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[6] Re: Circuito con induttori accoppiati

Messaggioda Foto UtenteRenzoDF » 20 set 2013, 10:23

MattGt86 ha scritto:...ma non essendoci niente tra il nodo in cui sono presenti I1 e I4 e il nodo a potenziale di riferimento 0 in realtà gli induttori sono in serie...

Scusa se mi permetto, ma ti consiglierei di ripassarti le definizioni di bipoli in serie e in parallelo. ;-)
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[7] Re: Circuito con induttori accoppiati

Messaggioda Foto UtenteMattGt86 » 20 set 2013, 15:36

No che non mi offendo :)
Ti dirò io la prima volta quando guardai questo esercizio con il professore la prima cosa che mi disse è di fare attenzione all'errore che quasi tutti gli studenti in questo caso fanno,ossia cancellare L1 credendo che li non passi corrente...fino a quello sbaglio non ci sarei arrivato comunque ma,come ti ho detto,pensando che sul nodo di I4 ci fosse un potenziale diverso da 0 avevo proseguito in quella strada pensando quindi che L1 e L2 con R fossero in parallelo..
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