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ESERCIZIO 4 - aiuto, caso impedenza? • Il Forum di ElectroYou
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ESERCIZIO 4 - aiuto, caso impedenza?

Circuiti e campi elettromagnetici

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[1] ESERCIZIO 4 - aiuto, caso impedenza?

Messaggioda Foto Utenteluciano87 » 12 dic 2013, 18:59

Siccome e' la prima tipologia di esercizio in cui mi imbatto, preferisco fare tutti i passaggi per comprendere da dove derivano i risultati. Ho svolto per ora solo la prima parte.
Si accettano consigli e segnalazioni errori e metodi di calcolo.


Nel circuito in figura, il generatore si spegne all’istante t=0. Determinare la tensione ai capi del condensatore in ogni istante di tempo.


Semplifico il circuito in

\[R_{23}=R_{2}+R_{3}=40+60=100\Omega\]

per t<0 ;
[unparseable or potentially dangerous latex formula]


\[Z_{RC}= \frac{RC}{R+C}=\frac{100\cdot -100j}{100-100j}=\frac{-10^{4}}{100-100j}=\frac{-10^{4}(100+100j)}{(100-100j)(100+100j)}=

=\frac{-10^{4}(100+100j)}{100+100}=-5000-5000j

dove: \[Z_{C}=-\frac{j}{\omega c}=-\frac{j}{10\cdot 0.001}=-100j\]

\[Z_{eq}=R_{1}+Z_{RC}=-4900-5000j\]

\[V=RI\Rightarrow I=\frac{e}{Z_{eq}}=\frac{12}{(-4900-5000j)}\]

\[I=\frac{-12(4900-5000j)}{(4900+5000j)(4900-5000j)}=\frac{-58800+60000j}{49010000}\]

\[I=-0.001199755+0.001224239j\]

Tramite il partitore posso calcolare la corrente lungo C

\[i_{C}=I\frac{R_{23}}{R_{23}+Z_{C}}\Rightarrow (-0.001199755+0.001224239j)\frac{100}{100-100j}\]

\[i_{C}=\frac{(-0.1199755+0.1224239j)(100+100j)}{(100-100j)(100+100j)}\]

\[i_{C}=\frac{-11.99755-11.99755j+12.24239j-12.24239}{200}\]

\[i_{C}=\frac{-24.23994+0.24484j}{200}=-0.1211997+0.0012242j\]

\[V_{C}=Z_{C}i_{C}=(-100j)(-0.1211997+0.0012242j)\]

\[V_{C}=+0.12242+12.11997j\]

\[V_{m}=\sqrt{+0.12242^{2}+12.11997^{2}}=12.12058825\]

\[\tan \alpha =\frac{y}{x}=\frac{12.11997}{0.12242}=99.00\]

\[\alpha =1.56\]

Sostituisco nella formula: \[V_{C}=V_{m}e^{\alpha j}\]

\[V_{C}=12.12058825\, e^{1.56 j}\]

che può esser scritto come \[V_{C}=12.12058825\cos (10t+1.56)\]

per quanto riguarda la seconda parte, ossia per t>0

1)Considero eo=12cos(10t)V per qualunque t, mi chiedo, in questo caso non danno un contributo costante?

2)Calcolo condizioni iniziali nulle. e(t) per t=0

3)Sommo il contributo 2) con 1). Questo è il termine transitorio \[V_{C}(\infty )\] per t>0


ASPETTO IL VOSTRO VIA PER COMPLETARE IL TUTTO. GRAZIE
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[2] Re: ESERCIZIO 4 - aiuto, caso impedenza?

Messaggioda Foto Utenteadmin » 12 dic 2013, 19:23

Viene meglio con Z_{RC}=50-\rm{j}50 ;-) ...
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[3] Re: ESERCIZIO 4 - aiuto, caso impedenza?

Messaggioda Foto Utenteluciano87 » 14 dic 2013, 12:53

Come si evince dai calcoli, infatti Foto Utenteadmin, vengono fuori delle stringhe lunghissime.
admin ha scritto:Viene meglio con Z_{RC}=50-\rm{j}50 ;-) ...

Ho paura di sbagliare perché devo convertite tutti i dati da traccia??!
Se lascio i valori ottenuti, fino a che numero decimale posso prendere in considerazione, arrotondando in eccesso?

Faccio ora un mini riepilogo, saltando i passaggi (già svolti su ma che ho controllato e perfezionato) per esser certo di poter chiudere l'esercizio in modo corretto.

Immagine

Semplifico il circuito in
Immagine
Immagine

per t<0 ;
Immagine
Immagine

Immagine

\[Z_{RC}= \frac{RC}{R+C}=\frac{100\cdot -100j}{100-100j}=5000-5000j

\[Z_{eq}=R_{1}+Z_{RC}=5100-5000j\]

\[I=\frac{e}{Z_{eq}}=\frac{12}{(5100-5000j)}\]

\[I=0.001199764+0.001176239j\]

Tramite il partitore posso calcolare la corrente lungo C

\[i_{C}=I\frac{R_{23}}{R_{23}+Z_{C}}\Rightarrow (0.001199764+0.001176239j)\frac{100}{100-100j}\]

\[i_{C}=+0.0599882+0.05881195j\]

\[V_{C}=Z_{C}i_{C}=(-100j)(-0.1211997+0.0012242j)\]

\[V_{C}=+5.881195-5.99882j\]

\[V_{m}=\sqrt{+5.881195^{2}-5.99882^{2}}=8.40085091\]

\[\tan \alpha =\frac{y}{x}=\frac{-5.99882}{5.881195}=-1.02\]

\[\alpha =-0.795298921\]

Sostituisco nella formula: \[V_{C}=V_{m}e^{\alpha j}\]

\[V_{C}=8.40085091\, e^{-0.79 j}\]

che può esser scritto come \[V_{C}=8.40085091\cos (10t-0.79)\]

Posto t=0 , nella precedente otteniamo:

\[V_{C}(0)=5.88V\]

per t>0 ho la soluzione dinamica ( in evoluzione libera) trovo \[R_{eq}\]



\[R_{eq}=R_{1}+R_{23}=200\Omega\]

\[V_{C}(0)=V_{C}(0)e^{-\frac{R_{eq}}{L}}\Rightarrow 5.88e^{20\cdot 10^{4}t}\]

In definitiva

\[V_{C}(t)=\begin{cases} & \ 8.40085091\cos (10t-0.79)\;\;\;\;t<0 \\ & \ 5.88e^{20\cdot 10^{4}t}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;t>0 \end{cases}\]

INTEGRAZIONE E DUBBI:

1) Riguardo la correttezza nella simbologia \[V_{C}\], utilizzo gli apici per distinguerli? Ho la netta impressione che non siano scritti bene.

2) Esiste un metodo differente per t<0 per controllare i valori ottenuti?

3) Per t>0 ho un'evoluzione libera data dall'omogenea considerando le condizioni iniziali. Posso calcolare tramite Req e verificarne il risultato con equazioni. Problema: mediante le equazioni \[\begin{cases} & \ I=i_{C}+i_{2} \\ & \ V_{C}=V_{2} \\ & \ e(t)=V_{1}+V_{C} \end{cases}\] ho un valore V_{C}= Ae^{-20t}+6

il quale non combacia con quello calcolato precedentemente, perché?


CONSIGLI E CHIARIMENTI SONO BEN ACCETTI. GRAZIE ;-)
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[4] Re: ESERCIZIO 4 - aiuto, caso impedenza?

Messaggioda Foto Utenteadmin » 14 dic 2013, 13:13

Nei calcoli sono più che sufficienti tre cifre significative (che non sono tre cifre dopo la virgola). Tenerne una decina come fai tu è assurdo.
Ma oltre che a tenere il numero sensato di cifre significative, devi imparare a fare i calcoli giusti

\[\begin{array}{l}
{Z_{RC}} = \frac{{ - {\rm{j}}{X_C}R}}{{R - {\rm{j}}{X_C}}} = \frac{{100\left( { - {\rm{j}}100} \right)}}{{100 - {\rm{j}}100}} = \frac{{ - {\rm{j}}100}}{{1 - {\rm{j}}}} = \\
\\
 = \frac{{ - {\rm{j}}100\left( {1 + {\rm{j}}} \right)}}{{\left( {1 - {\rm{j}}} \right)\left( {1 + {\rm{j}}} \right)}} = \frac{{ - {\rm{j}}100 + 100}}{2} = 50 - {\rm{j}}50
\end{array}\]
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[5] Re: ESERCIZIO 4 - aiuto, caso impedenza?

Messaggioda Foto Utenteluciano87 » 14 dic 2013, 13:22

:shock: infatti come ho scritto prima, ho ricontrollato i calcoli...comunque ok!
luciano87 ha scritto:Immagine

riguardo il resto dell'esercizio, che ho poi ultimato la seconda parte, va bene o ci sono errori (calcoli numerici a parte)?

e...
INTEGRAZIONE E DUBBI:

1) Riguardo la correttezza nella simbologia \[V_{C}\], utilizzo gli apici per distinguerli? Ho la netta impressione che non siano scritti bene.

2) Esiste un metodo differente per t<0 per controllare i valori ottenuti?

3) Per t>0 ho un'evoluzione libera data dall'omogenea considerando le condizioni iniziali. Posso calcolare tramite Req e verificarne il risultato con equazioni. Problema: mediante le equazioni \[\begin{cases} & \ I=i_{C}+i_{2} \\ & \ V_{C}=V_{2} \\ & \ e(t)=V_{1}+V_{C} \end{cases}\] ho un valore V_{C}= Ae^{-20t}+6

il quale non combacia con quello calcolato precedentemente, perché?


^_^
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[6] Re: ESERCIZIO 4 - aiuto, caso impedenza?

Messaggioda Foto Utenteadmin » 14 dic 2013, 13:26

luciano87 ha scritto:... infatti come ho scritto prima, ho ricontrollato i calcoli..

Ma allora cosa serve dirti che devi imparare a fare i calcoli? Non devi controllarli devi imparare ad eseguirli.
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[7] Re: ESERCIZIO 4 - aiuto, caso impedenza?

Messaggioda Foto Utenteluciano87 » 14 dic 2013, 13:30

:-k ...rielaboro il tutto e posto (spero il giusto) e procediamo passo dopo passo!
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[8] Re: ESERCIZIO 4 - aiuto, caso impedenza?

Messaggioda Foto Utenteluciano87 » 15 dic 2013, 16:01

Spero stavolta sia definitivo.. [-o<
Credo di aver trovato anche parte delle risposte poste precedentemente.
Immagine
Semplifico il circuito in
Immagine
Immagine

per t<0 ;

Immagine

Immagine

\[Z_{RC}=\frac{R(-jx_{C})}{R-jx_{C}}=50-50j\]

\[Z_{eq}=R_{1}+Z_{RC}=150-50j\]

\[I=\frac{e}{Z_{eq}}=\frac{12}{(150-50j)}=0.072+0.024j\]

Tramite il partitore posso calcolare la corrente lungo C

\[i_{C}=I\frac{R_{23}}{R_{23}+Z_{C}}\Rightarrow (0.072+0.024j)\frac{100}{100-100j}\]

\[i_{C}=0.024+0.048j\]

\[V_{C}=Z_{C}i_{C}=(-100j)(0.024+0.048j)\]

\[V_{C}=4.8-2.4j\]

\[V_{m}=\sqrt{4.8^{2}-2.4^{2}}=5.366V\]

\[\tan \alpha =\frac{y}{x}=\frac{-2.4}{4.8}=-0.5\]

\[\alpha =-0.464\]

Sostituisco nella formula: \[V_{C}=V_{m}e^{\alpha j}\]

\[V_{C}=5.366\, e^{-0.464 j}\]

che può esser scritto come \[V_{C}=5.366\cos (10t-0.464)\]
Per controllare il valore ottenuto verifico con equazioni:
Immagine
Riassumo i passaggi, citando solo l'ultima stringa:

\[R_{1}C\frac{\mathrm{d}V_{C}}{\mathrm{d} t}+V_{C}\left ( \frac{R_{1}}{R_{23}}+1 \right )=12\cos (10t)\]

\[0.1\frac{\mathrm{d}V_{C}}{\mathrm{d} t}+2V_{C}=12\]

\[\lambda +\frac{2}{0.1}=0\Rightarrow \lambda=-20\]

\[y_{oV_{C}}=Ae^{-20t}\]

\[\begin{cases} & \ y_{pV_{C'}}=B\cos\omega t+C\sin \omega t \\ & \ \[y_{pV_{C''}}=-\omega B\sin \omega t+\omega C\cos \omega t\] \end{cases}\]

\[0.1(-\omega B\sin \omega t+\omega C\cos \omega t)+2(B\cos \omega t+C\sin \omega t)=12\cos (\omega t)\]

\[\begin{cases} & \ -0.1\omega B\sin \omega t+2C\sin \omega t=0 \\ & \ 0.1\omega C\cos \omega t+2B\cos \omega t=12\cos \omega t \end{cases}\]

Ricavo:
B=4.8
C=2.4
Questi valori sostituiti in \ y_{pV_{C'}}=B\cos\omega t+C\sin \omega t otterrò

\ y_{pV_{C'}}=4.8\cos\omega t+2.4\sin \omega t

\[V_{m}=\sqrt{4.8^{2}-2.4^{2}}=5.366V\]

\[\tan \alpha =\frac{y}{x}=\frac{-2.4}{4.8}=-0.5\]

\[\alpha =-0.464\]

\[V_{C}=5.366\, e^{-0.464 j}\]

che può esser scritto come \[V_{C}=5.366\cos (10t-0.464)\]

*presumo sia corretto vista l'entita' dei valori

Tento di rispondere a parte dei miei dubbi:
- il valore \[\alpha \] non e' quello della costante di tempo! Sono due valori distinti e separati.
-gli apici Vc nell'equazione, credo ora abbiamo molto più significato rispetto quelli scritti prima


Posto t=0,
in Immagine:

avrò: \[V_{C}(0)=4.799V\]

per t>0
Immagine
Ho la soluzione dinamica ( in evoluzione libera) trovo \[R_{eq}
Utilizzo le conduttanze dei due elementi resistivi:

R_{eq}=G_{1}+G_{23}=0.02

\[V_{C}(0)=V_{C}(0)e^{-\frac{R_{eq}}{L}}\Rightarrow 4.799e^{-20t}\]

In definitiva

\[V_{C}(t)=\begin{cases} & \ 5.366\cos (10t-0.464)\;\;\;\;t<0 \\ & \ 4.799e^{-20t}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;t>0 \end{cases}\]

Verificando per t>0 risulta superfluo ripetere le equazioni, pertanto basta solo imporre
per calcolare A
\[V_{C}(0^{-})=V_{C}(0^{+})\]

4.799=A

ora inserito nella suddetta equazione: \[y_{oV_{C}}=Ae^{-20t}\]

avrò \[y_{oV_{C}}=4.799e^{-20t}\]

V_{C}(t)= 4.799e^{-20t}+5.366\cos (10t-0.464)


Ps: Foto Utenteadmin ho imparato a fare i calcoli?

A VOI SEGNALAZIONI ERRORI, CONSIGLI! GRAZIE :ok:
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[9] Re: ESERCIZIO 4 - aiuto, caso impedenza?

Messaggioda Foto UtenteRenzoDF » 15 dic 2013, 16:58

La prima parte la potevi "abbreviare" sia evitando di calcolare inutilmente la corrente ic, ed applicando invece un semplice partitore di tensione, sia alternativamente tracciando il diagramma fasoriale qualitativo



dal quale, poteva assere ricavata sia la Vc, sia lo sfasamento rispetto ad E

\begin{align}
  & \frac{{{V}_{C}}}{1}=\frac{E}{\sqrt{5}}\approx 5.37 \\ 
 & \alpha =\arctan \left( \frac{1}{2} \right)\approx 0.464 \\ 
\end{align}

Le correnti in R23 ed in C sono infatti in quadratura ed uguali in modulo; visto che anche R1=100 ohm, ne segue che E risulterà in modulo radice di cinque volte maggiore di Vc e la tangente dell'angolo di sfasamento fra le due tensioni sarà pari ad 1/2.

Per quanto riguarda t > 0 Ok, ma occhio agli errori di "battitura" (Req= ... , L). ;-)
... e quel 4.799 arrotondalo pure a 4.8!

BTW ti ricordo che Foto Utenteadmin ti ha consigliato di usare tre cifre significative, non tre cifre "dopo la virgola", come vedo invece nei tuoi calcoli.
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[10] Re: ESERCIZIO 4 - aiuto, caso impedenza?

Messaggioda Foto Utenteadmin » 15 dic 2013, 19:34

luciano87 ha scritto:Foto Utenteadmin ho imparato a fare i calcoli?


E' stata dura, ma sembra che tu ce l'abbia fatta.
Ora devi anche
-imparare a scrivere intanto espressioni sensate, e non come questa, per intenderci
luciano87 ha scritto:\[V_{C}(0)=V_{C}(0)e^{-\frac{R_{eq}}{L}}

-imparare la differenza tra cifre dopo la virgola e cifre significative;
-seguire possibilmente le strade meno tortuose per arrivare alla meta.
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