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Trasformata di Laplace.

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[1] Trasformata di Laplace.

Messaggioda Foto Utentestardust79 » 4 gen 2014, 20:27

Ciao a tutti.

Pensando sopra alla trasformata di Laplace, volevo soffermarmi al solo aspetto matematico giacchè immagino che quando sia stata formulata, nessuno immaginava le sue utili implicazioni pratiche.


Se ho una funzione f(x) con x appartenente ai reali, qual è il senso/significato di passare a una f(s) nel dominio complesso ? Io dalla mia ignoranza/limitatezza direi che siccome i reali sono un sottoinsieme dei complessi, avrei un indentità...

:-M

il fatto che se x = tempo => s con parte reale nulla sia = alla frequenza poteva essere previsto in anticipo attraverso una relazione di x con s o è una cosa che si nota solo attraverso l'osservazione delle trasformate (ad esempio step = 1/s) ?

Grazie mille ciao.
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[2] Re: Trasformata di Laplace.

Messaggioda Foto Utenteluciano87 » 4 gen 2014, 21:02

Per definizione la trasformata di Laplace \[F_s=L\left \{ F \right \}(s)=\int_{0}^{+\infty}e^{-st}f(t)dt\]

Dove \[s=\sigma +j\omega =\sigma +j2\pi f\]

Se esiste \[F(s)\] in \[s_0=\sigma_0 +j\omega_0\] allora esiste per tutte le s tali che \[Re\left \{ s \right \}>Re\left \{ s_0 \right \}=\sigma _0\]

Si definisce \[\alpha\] detta ascissa di convergenza il più piccolo valore di \[\sigma _0\]



Passare dal dominio del tempo al dominio della frequenza.



Sfruttando le trasformate notevoli e le proprietà della trasformata di Laplace si possono ricavare tutte le altre trasformate.

Ad esempio la funzione di trasferimento funzione di trasferimento funzione di trasferimento è una
rappresentazione matematica della relazione tra l'ingresso di un sistema LTI e la risposta del sistema
stesso nel dominio della frequenza.
Tra le possibili relazioni ingresso-uscita la più importante è quella che fa capo alla nozione di funzione di trasferimento.

La funzione di trasferimento è un rapporto tra polinomi in s, in cui il grado del denominatore è maggiore o uguale al grado del numeratore. Nel caso in cui il numeratore e il denominatore abbiano lo stesso grado il sistema si dirà improprio.I valori di s per cui si annulla il denominatore della fdt si dicono
poli; i valori di s per cui si annulla il numeratore vengono definiti zeri della fdt; il numero di poli costituisce l’ordine del sistema.

Infatti un sistema LTI può essere rappresentato sotto forma di stato: \[\begin{cases} & \ x(t)=Ax(t)+Bu(t) \\ & \ y(t)=Cx(t)+Du(t) \end{cases}\]

in cui x(t) è il vettore delle variabili di stato e A,B,C,D delle matrici di ordine opportuno.
Ognuno è un genio. Ma se si giudica un pesce dalla sua abilità di arrampicarsi sugli alberi lui passerà tutta la sua vita a credersi stupido.
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[3] Re: Trasformata di Laplace.

Messaggioda Foto Utentestardust79 » 6 gen 2014, 17:12

Ciao ti ringrazio della risposta. Ma l'estratto delle slide che hai proposto l'avevo già trovato e fa comunque parte di aspetti a me già noti (come ho scritto nel mio primo messaggio).

Se rileggi con attenzione il mio primo messaggio, il mio primo dubbio è sul cosa significa matematicamente (oa anche sotto altri punti di vista puramente "classici" e non "tecnici") passare dai reali agli immaginari se i primi sono un sottoinseime di questi ultimi ?
In poche parole se ho due caramelle e 2/3 cosa significa che te ne do il corrispondente immaginario ?

Grazie ciao.
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[4] Re: Trasformata di Laplace.

Messaggioda Foto UtenteDirtyDeeds » 6 gen 2014, 18:26

Al di là dell'uso delle trasformate per apetti pratici di calcolo (con la trasformata di Laplace si trasforma un'equazione differenziale in una algebrica, più semplice da risolvere), l'osservare un segnale in un dominio trasformato (di Laplace, di Fourier, ma anche altri domini) può permettere di rivelare certi dettagli che nel dominio del tempo non sono osservabili. Insomma, il dominio trasformato può avere un potere diagnostico che il dominio del tempo non ha.
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[5] Re: Trasformata di Laplace.

Messaggioda Foto Utentestardust79 » 9 gen 2014, 19:03

Provo a rigirare la mia domanda ancora un'altra volta.

Mettendoci nei panni di Laplace, questo ha sviluppato la sua trasformata allo scopo di risolvere agevolmente le eq differenziali lineari a coeff costanti (almeno cosi' mi han detto alla macchinetta del caffe)

1 - Esiste una dimostrazione rigorosa o intuitiva sul come sia riuscito ad arrivare a tale risultato ?
2- e sul come sia possibile che la variabile da trasformare (tempo) sia legata matematicamente alla sola parte immaginaria della variabile trasformata (pulsazione) ?

Me ne rendo conto che tramite l'enunciato e applicando trasformate e antitrasformate sia vera e sia molto potente. ma io volevo "solo" capire come Laplace sia pervenuto a tale risultato.

Grazie ciao.
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