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Densità di portatori di carica in un metallo

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[1] Densità di portatori di carica in un metallo

Messaggioda Foto Utenteafz » 19 gen 2014, 11:17

Buongiorno a tutti,
mi è venuto un dubbio sul calcolo del numero (o meglio densità) di portatori liberi di carica (elettroni) in un metallo. Purtroppo non sono riuscito a trovare ulteriori approfondimenti sul materiale a mia disposizione, chiunque possa/voglia darmi una mano, anche solo con link a pdf/documenti etc... mi darà un grosso aiuto :D

Supponendo la banda di conduzioni parabolica (pongo lo zero dell'energia al fondo della banda):
E= \frac{\hbar^2 k^2}{2m^*}
(ove m^* è la massa efficace)

si ricava la solita densità di stati:
n(E)=\frac{1}{2 \pi^2} \left ( \frac{2m^*}{\hbar^2} \right )^{3/2}\sqrt{E}

Per calcolare il numero di portatori si effetua l'integrale:
n(T)= \int_{\mu - k_BT} ^ {\infty} n(E)f_{ED}(E,T)dE

con f_{ED}(E,T) la solita distribuzione di Fermi-Dirac, e k_B la costante di Boltzmann.

La mia domanda riguarda l'estremo inferiore dell'integrale precedente: se ho capito bene, gli elettroni in banda di conduzione lontani dal livello di Fermi \mu per più di k_BT non partecipano alla conduzione, è corretto?
Questo fatto può essere giustificato poiché gli elettroni (pur in banda di conduzione) troppo lontani dalla \mu non riescono, in pratica, a muoversi (=partecipare alla conduzione) sotto l'effetto di un campo elettrico?
Ringraziando nuovamente per la pazienza e la collaborazione, auguro una buona Domenica a tutto il forum!
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[2] Re: Densità di portatori di carica in un metallo

Messaggioda Foto Utenteyustel » 21 gen 2014, 1:52

Gli elettroni che stanno lontani dal livello di Fermi, in particolare quelli più in basso alla conduzione ci parteciperebbero volentieri, il problema è che la corrente come sicuramente sai è proporzionale alla velocità degli elettroni. Se analizzi l'energia puoi vedere che è funzione del vettore d'onda:

E(\vec{k})=\frac{\hbar}{2m^*}\cdot k^2

La velocità che ogni singolo elettrone la puoi scrivere come:
\vec{v}=\frac{1}{\hbar} \vec{\nabla}E(\vec{k})

In assenza di campo elettrico, per ogni elettrone con numero d'onda k hai un altro elettrone di numero d'onda -k, di conseguenza la velocità complessiva è nulla.

Se tu applichi una differenza di potenziale con l'intento di attuare una corrente elettrica di fatto applichi un campo elettrico, questo non fa che variare il vettore d'onda di ogni singolo elettrone:

\Delta k=\frac{q\tau}{\hbar}\vec{\varepsilon}

La variazione è però solo in un senso di conseguenza se prima i numeri d'onda possibili erano nell'intervallo: [-k,k] ora hai che il tuo range di numeri d'onda è pari a [-k+\Delta k,k+\Delta k di conseguenza molti elettroni avranno il loro elettrone con numero d'onda opposto e di conseguenza non potranno generare una corrente (e questi sono proprio quelli molto al di sotto del livello di Fermi), molti altri però avendo subito la variazione del loro numero d'onda dovuta al campo non sono più bilanciati da un altro elettrone e possono attuare una corrente.

Spero di essere stato un minimo chiaro, l'ora non aiuta, magari domani se mi ricordo e ho un attimo di tempo faccio uno schema :)
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[3] Re: Densità di portatori di carica in un metallo

Messaggioda Foto Utenteafz » 21 gen 2014, 2:19

Grazie mille Foto Utenteyustel mi sembra di aver capito, in pratica con il campo elettrico "rompo la simmetria" e permetto lo spostamento "netto" dei portatori
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[4] Re: Densità di portatori di carica in un metallo

Messaggioda Foto Utenteyustel » 21 gen 2014, 11:39

Esattamente, finché il campo elettrico è assente gli elettroni "opposti" nello spazio reciproco si compensano tra loro per il fatto che avendo vettore d'onda opposto hanno anche derivata opposta e quindi velocità opposta, al contrario quando applichi il campo elettrico alcuni di loro non sono più bilanciati e hanno una velocità efficace.
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[5] Re: Densità di portatori di carica in un metallo

Messaggioda Foto Utenteafz » 21 gen 2014, 11:48

Bene bene grazie mille Foto Utenteyustel! :D
Se posso, faccio un'ulteriore domanda: nel calcolo della densità di portatori di carica per i semiconduttori non si tiene conto di questo fatto perché praticamente tutti i portatori in banda di conduzione, applicando un campo elettrico, risultano "sbilanciati"?
(anche perché solitamente il potenziale chimico è sotto al minimo della banda di conduzione)
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[6] Re: Densità di portatori di carica in un metallo

Messaggioda Foto Utenteyustel » 21 gen 2014, 12:06

Per completezza ti aggiungo il disegno che avevo promesso ieri sera, situazione in assenza di campo:


Applicando il campo:


Il caso dei semiconduttori è diciamo simile, nel senso che gli elettroni sono bilanciati e non si muovono, la differenza sostanziale è però che la banda di valenza è completamente piena e quella di conduzione completamente vuota (infatti sarebbe più giusto chiamarli semiisolanti piuttosto che semiconduttori). Ciò che succede è che se applichi un campo elettrico gli elettroni vengono spinti a salire ma non trovano posto (non ci sono stati liberi in banda di valenza) se però questo campo elettrico è abbastanza elevato (non troppo, perché siamo nei semiconduttori.... sarebbe molto elevato se volessimo avere lo stesso effetto ad un isolante che ha una banda proibita molto più ampia, per completezza però ti dico anche il semiconduttore non è più definito come il materiale che ha un piccolo energy gap ma come materiale drogabile, anche il diamante secondo la nuova definizione è un semiconduttore).
Comunque, se il campo è sufficientemente elevato ti ritrovi che il possibile \Delta \vec{k} fa si che gli elettroni vicino al livello di Fermi riescano a salire in banda di conduzione. Ciò che succede è che:
-L'elettrone salito in banda di conduzione (come ci aspettavamo) non è bilanciato da un secondo elettrone con vettore d'onda reciproco quindi rimane disponibile alla conduzione
-Questo elettrone però quand'era in banda di valenza era il reciproco di un altro elettrone, che ora si trova senza reciproco e quindi sbilanciato, di conseguenza anche lui può partecipare alla conduzione, per convenzione (o per comodità) però preferiamo riferire la conduzione in banda di valenza non all'elettrone sbilanciato ma all'elettrone che è salito in banda di conduzione, che però non è più presente in valenza e che quindi ha lasciato uno spazio (che chiamiamo lacuna, ed è quantisticamente una quasiparticella, quindi ha massa e carica propria). Questo perché di fatto tutti gli elettroni cercheranno di colmare la lacuna perché sono sottoposti al campo elettrico e trovano un posto libero ma invece di valutare il movimento di ogni singolo elettrone valutiamo il movimento dello spazio vuoto... o lacuna.
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[7] Re: Densità di portatori di carica in un metallo

Messaggioda Foto Utenteafz » 21 gen 2014, 12:21

Grazie mille Foto Utenteyustel per la spiegazione :D

Comunque, se il campo è sufficientemente elevato ti ritrovi che il possibile \Delta \vec{k} fa si che gli elettroni vicino al livello di Fermi riescano a salire in banda di conduzione.


Su questo ci devo ragionare un po', io avevo capito che gli elettroni passano in banda di conduzione per effetto dell'eccitazione termica (da qui l'uso della distribuzione di Fermi-Dirac), e il campo elettrico semplicemente si limita a far variare il vettore d'onda \vec{k} degli elettroni in banda di conduzione (e delle lacune in banda di valenza), generando una corrente.
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[8] Re: Densità di portatori di carica in un metallo

Messaggioda Foto Utenteyustel » 21 gen 2014, 12:37

mmmmmm si hai ragione.... chiedo venia, grazie per avermelo fatto notare :)
Gli elettroni passano in banda di conduzione se hanno sufficiente energia, energia che può essere di tipo termico piuttosto che un fascio di luce intensa. Ci passano però in modo simmetrico (e la storia ricomincia) per cui non danno conduzione se non c'è un campo elettrico che varia il vettore d'onda eccetera eccetera...
Il comportamento è del tutto uguale al metallo con la differenza che gli elettroni sono molti meno (è quasi vuota la banda di conduzione a basse temperature) quindi trovi una conducibilità piuttosto bassa se confrontata ad un metallo.
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[9] Re: Densità di portatori di carica in un metallo

Messaggioda Foto Utenteafz » 21 gen 2014, 12:51

Ok grazie mille Foto Utenteyustel per il chiarimento :D

Ci passano però in modo simmetrico (e la storia ricomincia)

Ci passano in modo simmetrico nel senso che in banda di conduzione (almeno mediamente) avrò un elettrone con vettore \vec{k} e uno con vettore opposto, giusto? (idem per le lacune in banda di valenza)

Grazie ancora per l'aiuto
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[10] Re: Densità di portatori di carica in un metallo

Messaggioda Foto Utenteyustel » 21 gen 2014, 12:56

Per quel che so io è corretto si :)
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