Cos'è ElectroYou | Login Iscriviti

ElectroYou - la comunità dei professionisti del mondo elettrico

Teorema di Le Blanc

Circuiti e campi elettromagnetici

Moderatori: Foto Utenteg.schgor, Foto UtenteIsidoroKZ, Foto UtenteEdmondDantes

0
voti

[1] Teorema di Le Blanc

Messaggioda Foto UtenteEneru » 19 gen 2014, 23:15

Ho iniziato da poco i primi concetti del campo magnetico rotante e prima di introdurre il Teorema di Galileo Ferraris il professore ha fatto il teorema di Le Blanc. Però non ho ben capito la dimostrazione di questo teorema.
Se non ho capito male il teorema dice che un vettore rotante può essere scomposto in 2 vettori uno opposto all'altro, rotanti uno l'opposto dell'altro e aventi entrambi modulo pari alla metà del modulo del vettore iniziale.
Mi piacerebbe capire bene la dimostrazione di questo teorema se possibile anche con qualche disegno.
Avatar utente
Foto UtenteEneru
51 1 6
New entry
New entry
 
Messaggi: 68
Iscritto il: 3 lug 2012, 9:40
Località: Bergamo

5
voti

[2] Re: Teorema di Le Blanc

Messaggioda Foto UtenteDirtyDeeds » 19 gen 2014, 23:48

Eneru ha scritto:il teorema dice che un vettore rotante


Piuttosto un vettore che vari armonicamente nel tempo. Considera il vettore

\boldsymbol{a}(t) = A\hat{\mathbf{u}}\cos\omega t

dove \hat{\mathbf{u}} è un versore che definisce l'orientamento del vettore. Considera ora un altro versore \hat{\mathbf{v}} ortogonale a \hat{\mathbf{u}}. Possiamo scrivere

\begin{align}\boldsymbol{a}(t) &= \frac{1}{2}A\hat{\mathbf{u}}\cos\omega t+\frac{1}{2}A\hat{\mathbf{u}}\cos\omega t+\frac{1}{2}A\hat{\mathbf{v}}\sin\omega t-\frac{1}{2}A\hat{\mathbf{v}}\sin\omega t \\
&= \frac{1}{2}A\hat{\mathbf{u}}\cos\omega t+\frac{1}{2}A\hat{\mathbf{v}}\sin\omega t+\frac{1}{2}A\hat{\mathbf{u}}\cos\omega t-\frac{1}{2}A\hat{\mathbf{v}}\sin\omega t \\
&= \boldsymbol{a}_\mathrm{a}(t)+\boldsymbol{a}_\mathrm{o}(t)
\end{align}

dove

\boldsymbol{a}_\mathrm{a}(t) = \frac{1}{2}A\hat{\mathbf{u}}\cos\omega t+\frac{1}{2}A\hat{\mathbf{v}}\sin\omega t

è un vettore che ruota in senso antiorario nel piano \hat{\mathbf{u}}\hat{\mathbf{v}} opportunamente orientato e

\boldsymbol{a}_\mathrm{o}(t) = \frac{1}{2}A\hat{\mathbf{u}}\cos\omega t-\frac{1}{2}A\hat{\mathbf{v}}\sin\omega t

è un vettore che ruota in senso orario, sempre nel piano \hat{\mathbf{u}}\hat{\mathbf{v}}.
It's a sin to write sin instead of \sin (Anonimo).
...'cos you know that cos ain't \cos, right?
You won't get a sexy tan if you write tan in lieu of \tan.
Take a log for a fireplace, but don't take log for \logarithm.
Avatar utente
Foto UtenteDirtyDeeds
55,7k 7 11 13
G.Master EY
G.Master EY
 
Messaggi: 7013
Iscritto il: 13 apr 2010, 16:13
Località: Somewhere in nowhere

0
voti

[3] Re: Teorema di Le Blanc

Messaggioda Foto UtenteEneru » 20 gen 2014, 19:24

Scusa se ho tardato nel rispondere e grazie per la risposta ora mi è già più chiaro.
Avatar utente
Foto UtenteEneru
51 1 6
New entry
New entry
 
Messaggi: 68
Iscritto il: 3 lug 2012, 9:40
Località: Bergamo

4
voti

[4] Re: Teorema di Le Blanc

Messaggioda Foto UtenteDirtyDeeds » 20 gen 2014, 19:57

Una cosa che mi ero dimenticato di specificare è questa: per capire che i due vettori \boldsymbol{a}_\mathrm{a}(t) e \boldsymbol{a}_\mathrm{o}(t) sono rotanti, basta notare che

|\boldsymbol{a}_\mathrm{a}(t)|^2 = \boldsymbol{a}_\mathrm{a}(t)\cdot\boldsymbol{a}_\mathrm{a}(t) = \frac{A^2}{4} = \text{cost.}

e che

\cos(\boldsymbol{a}_\mathrm{a}(t),\hat{\mathbf{u}}) = \frac{\boldsymbol{a}_\mathrm{a}(t)\cdot\hat{\mathbf{u}}}{|\boldsymbol{a}_\mathrm{a}(t)|} = \cos\omega t

da cui si vede che il modulo del vettore \boldsymbol{a}_\mathrm{a}(t) e costante nel tempo e che questo forma un angolo \omega t con la direzione del vettore \boldsymbol{a}(t). Analogamente per \boldsymbol{a}_\mathrm{o}(t).
It's a sin to write sin instead of \sin (Anonimo).
...'cos you know that cos ain't \cos, right?
You won't get a sexy tan if you write tan in lieu of \tan.
Take a log for a fireplace, but don't take log for \logarithm.
Avatar utente
Foto UtenteDirtyDeeds
55,7k 7 11 13
G.Master EY
G.Master EY
 
Messaggi: 7013
Iscritto il: 13 apr 2010, 16:13
Località: Somewhere in nowhere


Torna a Elettrotecnica generale

Chi c’è in linea

Visitano il forum: Nessuno e 10 ospiti