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Punti con tangente a 45 gradi

Analisi, geometria, algebra, topologia...

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[1] Punti con tangente a 45 gradi

Messaggioda Foto Utentewackos » 22 gen 2014, 15:44

Buongiorno a tutti...

Mi sono incasinato con un altro esercizio...

Devo individuare i punti di R^2 dove gli insieme di livello di f(x,y) = x^3 -y^2+x^2y hanno tangente a 45 gradi rispetto alle x positive...

Io penso... Se avessi la funzione in una sola variabile mi basterebbe calcolare la derivata prima e uguagliarla a 1 (tg 45 = 1) ma in questo caso ho una funzione in due variabili... Devo scrivere una variabile in funzione dell'altra poi calcolarmi la derivata e uguagliarla a 1?

In ogni caso anche se il procedimento fosse giusto non riesco a scrivere la y in funzione della x...

Per l'ennesima volta grazie mille a tutti in anticipo :)
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[2] Re: Punti con tg a 45 gradi

Messaggioda Foto Utenteg.schgor » 22 gen 2014, 20:19

wackos ha scritto:non riesco a scrivere la y in funzione della x...

:?: (non sai risolvere un'equazione di secondo grado?)
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[3] Re: Punti con tangente a 45 gradi

Messaggioda Foto Utentewackos » 22 gen 2014, 20:59

Non so scrivere y(x)..
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[4] Re: Punti con tangente a 45 gradi

Messaggioda Foto Utenteluciano87 » 22 gen 2014, 23:59

Per individuare il luogo dei punti in \[\mathbb{R}^{2}\] per la medesima funzione \[f(x,y)=x^3-y^2+x^2y\]

hai come punto di partenza, in base alla tua richiesta: \[y'(x)= \tan \left ( \frac{\pi }{4} \right )=1\]

1) fai la derivata rispetto ad x dell'equazione precedente, otterrai così un'equazione differenziale in y'; non dimenticare di considerare \[y'(x)=\frac{\mathrm{dy} }{\mathrm{d} x}\]

2) i valori ottenuti per \[\frac{\pi }{4}\] li vai a sostituire in y, y'

3) infine dalle due equazioni poste a sistema ricavi i valori per x.

Spero di aver colto il tuo quesito ed esserti stato d'aiuto! ;-)
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[5] Re: Punti con tangente a 45 gradi

Messaggioda Foto Utentewackos » 23 gen 2014, 10:04

luciano87 ha scritto:1) fai la derivata rispetto ad x dell'equazione precedente, otterrai così un'equazione differenziale in y'; non dimenticare di considerare \[y'(x)=\frac{\mathrm{dy} }{\mathrm{d} x}\]


Devo derivare rispetto a x la \[y'(x)= \tan \left ( \frac{\pi }{4} \right )=1\]??

Non ho capito bene questo... E di conseguenza non mi sono chiari neppure i passaggi successivi :(
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[6] Re: Punti con tangente a 45 gradi

Messaggioda Foto Utenteg.schgor » 23 gen 2014, 10:33

wackos ha scritto:Non so scrivere y(x)..

Devi considerare x come parametro e risolvere l'equazione in y.
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[7] Re: Punti con tangente a 45 gradi

Messaggioda Foto Utentewackos » 23 gen 2014, 10:49

Ma qui Dini non c'entra niente giusto?? Se penso di risolverlo con Dini sono fuori strada?
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[8] Re: Punti con tangente a 45 gradi

Messaggioda Foto Utenteg.schgor » 23 gen 2014, 11:18

E' semplicemente un'applicazione del Teorema di Dini
(e questo è un caso esplicitabile).
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[9] Re: Punti con tangente a 45 gradi

Messaggioda Foto UtenteGost91 » 24 gen 2014, 10:40

Così come posta, la richiesta dell'esercizio non mi è chiarissima. Forse sarò arrugginito io...

Foto Utentewackos ha scritto:Devo individuare i punti di R^2 dove gli insieme di livello di f(x,y) hanno tangente a 45 gradi rispetto alle x positive...


A seconda delle interpretazioni, per me, la precedente frase potrebbe significare tutto o niente.
Mi spiego.


Quando si lavora con funzioni di singola variabile, ad essere più precisi funzioni del tipo

f:x \in A\subseteq\mathbb{R} \mapsto f(x) \in \mathbb{R}, \qquad f\in C^0(A)

con A aperto, se si chiede di trovare la "tangente" in un punto (x_0,f(x_0)) (con x_0 \in A) non ci possono essere ambiguità in quanto di tangente (alla curva descritta da f nel piano xy) passante per (x_0,f(x_0)) c'è solamente una retta r(x).

Per esempio, se A è un intervallo, la situazione è la seguente



Si trova facilmente che l'equazione (di possibile interesse) che descrive la tangente è la seguente:

\boxed{r(x)=\frac{\text{d}f}{\text{d}x}\bigg|_{x_0}(x-x_0)+f(x_0)}


Quando si passa dallo spazio a due dimensioni, nel quale vivono le funzioni di singola variabile, allo spazio a tre dimensioni, nel quale invece vivono le funzioni di due variabili della forma

f:(x,y)\in A \subseteq \mathbb{R}^2 \mapsto f(x,y) \in \mathbb{R}, \qquad f \in C^1(A)

(sempre con A aperto) le cose diventano ambigue. Infatti se adesso fissiamo un qualsiasi punto (x_0, y_0) \in A abbiamo che per il punto (x_0,y_0,f(x_0,y_0)) non passa più solamente un'unica retta tangente (alla superficie descritta da f nello spazio xyz), ma infinite.
Ma non è finita, date le precedenti circostanze, risulta ben definito anche un piano tangente (sempre alla superficie descritta da f) passante per il solito punto (x_0,y_0,f(x_0,y_0)).

Una possibile situazione potrebbe essere la seguente


Per questioni di praticità ho riportato nell'esempio solo 2 rette tangenti e il piano tangente passanti per (x_0,y_0,f(x_0,y_0)).

L'equazione (di possibile interesse) che descrive il piano si trova abbastanza facilmente dopo qualche conto, e risulta essere

\boxed{\pi(x,y)=\frac{\partial f}{\partial x}\bigg|_{(x_0,y_0)} (x-x_0)+\frac{\partial f}{\partial y}\bigg|_{(x_0,y_0)} (y-y_0)+f(x_0,y_0)}


Se ora vogliamo tiriare in ballo anche gli insiemi di livello, dallo spazio 3-dimensionale si torna allo spazio 2-dimensionale.
Gli insiemi di livello k\in\mathbb{R} di una funzione di due variabili, non sono altro che gli insiemi di punti che verificano una relazione del tipo

f(x,y)=k

In genere tali insiemi di punti rappresentano una curva nel piano a quota k e parallelo a al piano xy (cioè il piano z=k).
In certi casi (vedi il teorema del Dini per un criterio necessario) tale curva può essere espressa in una delle seguenti forme esplicite

y=g(x)
x=h(y)

inoltre, se vale il teorema del Dini, tale curva risulta essere di classe C^1, dunque nel caso in cui è possibile trovare le funzioni g e h ha perfettamente senso andare studiare il comportamento delle sue tangenti (che sono rette, dato che siamo tornati in 2 dimensioni).


Dunque, in sostanza, la mia domanda è: tra tutte le possibili tangenti che si hanno nei problemi a 3 dimensioni, quali vuoi trovare?

wackos ha scritto:Devo individuare i punti di R^2 dove gli insieme di livello di f(x,y) hanno tangente a 45 gradi rispetto alle x positive...


Intanto, "per punti di R^2" intendi punti del piano xy?
Poi, "dove gli insieme di livello di f(x,y) hanno tangente a 45 gradi rispetto alle x positive", per me, non ha proprio alcun senso.

Un angolo si definisce tramite due rette incidenti, quindi un insieme di livello (che, come già detto, è una particolare curva) non può "avere tangente a 45 gradi rispetto alle x positive".


Se non hai compreso bene la richiesta dell'esercizio, prova a riportare alla lettera il testo "ufficiale", in modo da mettere me e gli altri utenti del forum nelle condizioni di interpretare bene il problema, al fine di indirizzarti alla corretta soluzione.
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[10] Re: Punti con tangente a 45 gradi

Messaggioda Foto Utentewackos » 24 gen 2014, 12:26

l'esercizio è un tema d'esame e non ho modificato di molto il testo... lo riporto comunque

''individuare i punti di R^2 dove gli insiemi di livello della funzione f(x,y)=x^3-y^2+x^2y hanno una tangente a π/4 rispetto alle x>0''

questo è il testo senza modifiche... grazie mille per tutto il riassunto! sei stato in grado di capire il mio punto oscuro... solo che non sapevo come esprimermi... sono i 3D e devo trovare una retta tangente...

grazie! :D spero di riuscire a capire qualcosa perché ho l'esame il 28 e capitano spesso questi esercizi (mai fatti a esercitazione) bah
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