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Funzione di risposta armonica

Elettronica lineare e digitale: didattica ed applicazioni

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[1] Funzione di risposta armonica

Messaggioda Foto UtenteEneru » 3 mar 2014, 17:55

Ciao, ho iniziato a studiare la funzione di risposta armonica e non riesco a capire che passaggi bisogna fare per passare dalla funzione di trasferimento inizialmente in questa forma:
G(s)=\frac{b_{m}s^{m}+b_{m-1}s^{m-1}+...+b_{1}s+b_{0}}{a_{n}s^{n}+a_{n-1}s^{n-1}+...+a_{1}s+a_{0}}
oppure:
G(s)=K_{0}\frac{(s-z_{1})(s-z_{2})...(s-z_{m-1})(s-z_{m})}{(s-p_{1})(s-p_{2})...(s-p_{n-1})(s-p_{n})}

dove: K_{0}=\frac{b_{m}}{a_{n}}

Vorrei sapere quali passaggi bisogna fare per arrivare a questa forma:
G(s)=K\frac{(1-\tau' _{1}s)(1-\tau' _{2}s)...(1-\tau' _{\nu}s)\left (1+2\delta'_{1}\frac{s}{\omega'_{n1}}+\frac{s^{2}}{\omega'^{2}_{n1}}  \right )...\left (1+2\delta'_{\mu}\frac{s}{\omega'_{n\mu }}+\frac{s^{2}}{\omega'^{2}_{n\mu}}  \right )}{s^{h}(1-\tau _{1}s)(1-\tau _{2}s)...(1-\tau _{\lambda }s)\left (1+2\delta_{1}\frac{s}{\omega_{n1}}+\frac{s^{2}}{\omega^{2}_{n1}}  \right )...\left (1+2\delta_{\gamma }\frac{s}{\omega_{n\gamma  }}+\frac{s^{2}}{\omega^{2}_{n\gamma }}  \right )}
Dove:
\tau'_{1}=-\frac{1}{z_{1}};...;\tau'_{\nu }=-\frac{1}{z_{\nu }};\tau_{1}=-\frac{1}{p_{1}};...;\tau_{\lambda }=-\frac{1}{p_{\lambda}}

K=K_{0}\frac{(-z_{1})(-z_{2})...(-z_{\nu })\omega'^{2}_{n1}...\omega'^{2}_{n\mu}}{(-p_{1})(-p_{2})...(-p_{\lambda  })\omega^{2}_{n1}...\omega^{2}_{n\gamma }}

In cui: \nu +\mu =m; h+\lambda +\gamma =n e ovviamente n>m

Se c'è qualcuno che ha il tempo di spiegarmi tutti passaggi per arrivare a quella formula gli sarei molto grato siccome sul libro non li spiega ma da direttamente la formula finale.
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[2] Re: Funzione di risposta armonica

Messaggioda Foto UtenteDirtyDeeds » 3 mar 2014, 20:12

Il passaggio dalla prima alla seconda lo fai fattorizzando i polinomi a numeratore e denominatore, dopo averli portati in forma monica. Ricordati che un qualunque polinomio a coefficienti generalmente complessi

P(z) = a_n z^n+a_n-1 z^{n-1}+\ldots+a_1 z +a_0}

è fattorizzabile nella forma

P(z) = a_n(z-z_1)\cdots(z-z_n)

dove gli \{z_i\}_{i=1,\ldots,n} sono gli zeri complessi di P(z), cioè i valori per cui P(z) = 0.

Per l'ultima forma, basta fare due operazioni. La prima è quella di dividere numeratore e denominatore per i prodotti (-z_1)\cdots (-z_n) e (-p_1)\cdots (-p_n). La seconda è quella di accoppiare zeri e poli complessi coniugati. Per esempio:

\left(1-\frac{s}{p_j}\right)\left(1-\frac{s}{p_j^*}\right) = 1-\frac{s}{p_j}-\frac{s}{p_j^*}+\frac{s^2}{p_jp_j^*} = 1-2\text{Re}\left[\frac{1}{p_j}\right]s+\frac{s^2}{|p_j|^2}

da cui, ponendo \omega_{nj}^2 = |p_j|^2

e

\frac{\delta_j}{\omega_{nj}} = -2\text{Re}\left[\frac{1}{p_j}\right]

si ha il risultato voluto.
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[3] Re: Funzione di risposta armonica

Messaggioda Foto UtenteEneru » 3 mar 2014, 20:38

Grazie per la risposta c'è solo una cosa che non ho capito, come fai a dire che:
-\frac{s}{p_{j}}-\frac{s}{p^{*}_{j}}=-2\text{Re}\left [ \frac{1}{p_{j}} \right ]s
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[4] Re: Funzione di risposta armonica

Messaggioda Foto UtenteDirtyDeeds » 3 mar 2014, 21:03

\begin{align}
-\frac{s}{p_{j}}-\frac{s}{p^{*}_{j}} &= -\left(\frac{1}{p_{j}}+\frac{1}{p^{*}_{j}}\right)s \\
&= -\left[\frac{1}{p_{j}}+\left(\frac{1}{p_{j}}\right)^*\right]s \\
&=-2\text{Re}\left [ \frac{1}{p_{j}} \right ]s
\end{align}

Ricordati che z+z^* = 2\text{Re}\,z.
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[5] Re: Funzione di risposta armonica

Messaggioda Foto UtenteEneru » 3 mar 2014, 21:09

È vero non ci avevo pensato. Grazie di tutto.
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