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Diamo i numeri 2

Analisi, geometria, algebra, topologia...

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[81] Re: Diamo i numeri 2

Messaggioda Foto UtenteDirtyDeeds » 3 lug 2014, 16:43

PietroBaima ha scritto:\lim_{x \rightarrow \infty} \frac{n-\sqrt{1+n^2}}{n-n\ \cos \frac{1}{n}}

l'obiettivo è trovare il metodo più veloce possibile per risolverlo.


Questo è facilissimo, fa

\frac{n-\sqrt{1+n^2}}{n-n\ \cos \frac{1}{n}}

:mrgreen:
It's a sin to write sin instead of \sin (Anonimo).
...'cos you know that cos ain't \cos, right?
You won't get a sexy tan if you write tan in lieu of \tan.
Take a log for a fireplace, but don't take log for \logarithm.
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[82] Re: Diamo i numeri 2

Messaggioda Foto UtentePietroBaima » 3 lug 2014, 16:44

acc.. sei stato più veloce tu a rispondere che io a correggere !!!!
ok... nice strike :!: :lol:
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[83] Re: Diamo i numeri 2

Messaggioda Foto Utentefairyvilje » 3 lug 2014, 18:02

Le vostre soluzioni sono chiare, ma non riesco a trovare l'inghippo di come lo stavo facendo io :( . Qualche volontario che mi fa vergognare di me stesso :mrgreen: ?
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[84] Re: Diamo i numeri 2

Messaggioda Foto Utentefairyvilje » 3 lug 2014, 18:44

L'ultimo fa -1?

\frac{n-\sqrt{1+n^2}}{n-n\ \cos \frac{1}{n}} = \frac{(n-\sqrt{1+n^2})(n+\sqrt{1+n^2})}{(n-n\ \cos \frac{1}{n})(n+\sqrt{1+n^2})}= -\frac{1}{(n-n\ \cos \frac{1}{n})(n+\sqrt{1+n^2})}

Ora torno a svolgere il limite espandendo taylor al secondo termine per il coseno e verificando immediatamente che il secondo fattore è asintotico a 2n
(n-n\ \cos \frac{1}{n})(n+\sqrt{1+n^2}) = (n -n(1-\frac{1}{2n^2}))(2n) = 1

Quindi il limite è -1
Ultima modifica di Foto Utentefairyvilje il 3 lug 2014, 19:10, modificato 1 volta in totale.
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[85] Re: Diamo i numeri 2

Messaggioda Foto UtentePietroBaima » 3 lug 2014, 18:49

fairyvilje ha scritto:Qualche volontario

Nella derivata il punto che si "stringe" contro il primo e che definisce la retta tangente dipende da x.
Nel tuo caso no.
In pratica il punto è fermo e quindi non ha alcun ruolo sulle variazioni.
Motivo tale per cui facendo la derivata sparisce.
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[86] Re: Diamo i numeri 2

Messaggioda Foto UtentePietroBaima » 3 lug 2014, 18:53

fairyvilje ha scritto:Quindi il limite è -1

Sì, ma (adesso ti stuzzico un po') esiste un metodo infinitamente più veloce per vederlo :D
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[87] Re: Diamo i numeri 2

Messaggioda Foto Utentefairyvilje » 3 lug 2014, 19:14

Grazie per la risposta.
Persino più veloce? Provo a guardarlo di nuovo.
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[88] Re: Diamo i numeri 2

Messaggioda Foto Utentegill90 » 3 lug 2014, 20:23

Io ho trovato questa: divido per n a numeratore e denominatore e sostituisco t=\frac{1}{n}:

\lim_{t \rightarrow 0} \frac{1-\sqrt{1+t^2}}{1- \cos t}

Senza scomodare Taylor, un Hopital veloce rende:

\lim_{t \rightarrow 0} -\frac{2t}{2\sqrt{1+t^2} \sin t}

Ma poiché il limite notevole \lim_{t \rightarrow 0} \frac{\sin t}{t}=1, semplificando i 2 e sostituendo t=0 resta -1.
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[89] Re: Diamo i numeri 2

Messaggioda Foto Utentefairyvilje » 3 lug 2014, 20:30

Bello, ma Pietro ha promesso un metodo infinitamente più veloce, mi aspetto una soluzione... istantanea :mrgreen:
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[90] Re: Diamo i numeri 2

Messaggioda Foto Utentegill90 » 3 lug 2014, 20:33

Infatti, penso anche io ci sia qualche sortilegio sotto! :D
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