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Problema di Geometria nello Spazio.

Analisi, geometria, algebra, topologia...

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[1] Problema di Geometria nello Spazio.

Messaggioda Foto UtenteShockwaver » 2 nov 2014, 14:19

Salve a tutti!
Essendo particolarmente negato nella geometria in uno spazio tridimensionale vi chiedo lumi su un problema per il quale non so che strada imboccare

Dato un sistema di riferimento a tre assi ortogonali fra loro xyz, si consideri il piano di riferimento xz e O l'origine di tale piano.
Dato un qualsiasi punto P nello spazio, sia {\theta}' l'angolo di incidenza formato tra il segmento \overline{OP} e il suddetto piano.
Viene dapprima applicata una rotazione arbitraria del piano di riferimento attorno al terzo asse non giacente su di esso y \phi_{y} e in secondo luogo una rotazione attorno ad uno degli assi che lo generano (e.g. x) \phi_{x}, calcolare quindi il nuovo angolo di incidenza {\theta}'' dello stesso segmento rispetto al piano ruotato.

Immagino che il nuovo angolo di incidenza sia quello di partenza a meno di un fattore in funzione trigonometrica delle rotazioni, ma non ho la più pallida idea di come risolvere il quesito.

Potreste molto gentilmente mettermi sulla buona strada?

Qualora il quesito non risultasse chiaro se fosse necessario potrei cercare di fornire un disegno.

Grazie in anticipo!
iOi

Edit: irrilevante a livello generale, ma ho cambiato il piano di riferimento in xz.
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[2] Re: Problema di Geometria nello Spazio.

Messaggioda Foto Utenteafz » 2 nov 2014, 15:27

Ciao, forse le matrici di rotazione elementari possono venire in aiuto.

(per esempio, puoi vedere le pagine di wikipedia in italiano e inglese)
http://it.wikipedia.org/wiki/Rotazione_%28matematica%29
http://en.wikipedia.org/wiki/Rotation_matrix

Io è da un po' che non le uso, per cui prendi i miei suggerimenti con le pinze!!!
In sostanza, detto O-xyz il sistema di riferimento originario e O-x'y'z' il sistema alla fine delle rotazioni, si può esprimere le coordinate del vettore \overline{OP} (che per comodità chiamo \bar p) rispetto al nuovo sistema di coordinate come:

\bar {p'}= R \bar p

(dove \bar {p}' è il vettore p espresso rispetto a O-x'y'z')

La matrice R si ricava come prodotto di matrici elementari di rotazione (ad occhio, dovrebbe essere

R=\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0\\ 
0 & \cos \phi_x & \sin\phi_x \\ 
0 & -\sin\phi_x & \cos \phi_x
\end{pmatrix}  \cdot  \begin{pmatrix}
\cos \phi _y &  0 & -\sin \phi _y\\ 
0 & 1 & 0 \\ 
 \sin \phi _y & 0 & \cos \phi _y
\end{pmatrix}

però è meglio verificare...)

Una volta ottenuto il vettore di \overline{OP} rispetto alle nuove coordinate, si può calcolare l'angolo di incidenza rispetto al piano ruotato.
Spero di non aver scritto troppo scemenze!!!
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[3] Re: Problema di Geometria nello Spazio.

Messaggioda Foto UtenteShockwaver » 3 nov 2014, 10:28

... e ci sta!
Controllo sul dubbio che hai, ma sicuramente è questa la strada!
+1 =D>
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