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Problema di probabilità congiunta

Analisi, geometria, algebra, topologia...

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[21] Re: Problema di probabilità congiunta

Messaggioda Foto UtentePioz » 22 mar 2015, 20:33

simo85 ha scritto:Per come la vedo io, sempre che non stia sbagliando, va da 1 a y = 2x.
Ora come ora che ci rifletto riscriverei:

f_{Y}(y)= \int_{y/2}^{1}\frac{1}{2}dx= {1 - y \over 4}


Si hai ragione, ma dovrebbe essere così però quell'integrale.
f_{Y}(y)= \int_{y/2}^{1}\frac{1}{2}dx= {2 - y \over 4}?

C'è qualcosa che mi sfugge però in questa parte perché se pensi è identico scrivere che x varia tra [y/2,1] oppure [0,y/2]. Non ti pare?
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[22] Re: Problema di probabilità congiunta

Messaggioda Foto Utentesimo85 » 22 mar 2015, 20:46

Pioz ha scritto:ma dovrebbe essere così però quell'integrale.

Si ho toppato con un numero scusa. :oops:

Pioz ha scritto:Non ti pare?

Si. Hai ragione. È ovvio che ho considerato la parte interna al triangolo.

Pioz ha scritto:La formula però la interpreto in modo diverso dal tuo:

f_{XY}(x,y)=P(X\leq 1, Y\leq 1.5 )= 15/32 =0.468..

Quindi
f(y|x) = {{15/32}\over \int_0^1 x \,\text dx} = 30/32
Che è proprio il rapporto dell'area della parte in esame (Y<1.5, X<1) rispetto al triangolo rettangolo di sinistra che rappresenta il vincolo dato dal condizionamento X<1. Non so se sono riuscito a spiegarmi a dovere


Qui però mi hai sopreso. Io interpreto:

\begin{aligned}
& a = {xy\over 2} = 2\\
&f_{XY}(x,y) = {1 \over a}
\end{aligned}

E già qui sono in dubbio perché sto considerando tutta l'area mentre dovrei considerarne solo metà, il triangolo che comprende 0 \leq x \leq 1.
Non capisco il tuo ragionamento. In questo momento ho gli occhi foderati di lardo, ed anche spesso..

#-o #-o #-o
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[23] Re: Problema di probabilità congiunta

Messaggioda Foto UtentePioz » 22 mar 2015, 21:06

simo85 ha scritto:\begin{aligned}
& a = {xy\over 2} = 2\\
&f_{XY}(x,y) = {1 \over a}
\end{aligned}


Questo è esatto, è proprio la definizione di probabilità uniforme.

Ora però la richiesta non è P(X\leq 1 e Y\leq 1.5 ), ma P(Y\leq 1.5 ) sapendo che X\leq 1. Esattamente è considerare solo la metà a sinistra del triangolo, in pratica la probabilità raddoppia. Puoi allora ragionare in 2 modi:
- considerare solo il triangolo rettangolo di sinistra e quindi dire che lì la probabilità uniforme ha una densità f_{XY}(x,y) = 1/1 perché l'area del triangolo è dimezzata e quindi calcolare la probabilità con questa nuova densità;
- usare la formula del condizionamento come hai fatto all'inizio dove però:
f_{XY}(x,y) significa calcolare la probabilità di X\leq 1 e Y\leq 1.5 senza nessun condizionamento cioè considerando tutto il triangolo che vale quindi 15/32 (in generale è risolvere questo integrale\int _{]-\infty, x]X[-\infty, y]} f_{XY}(x,y)dxdy).
f_{X}(x) la probabilità X\leq 1 che è appunto 1/2.

Entrambi danno il risultato 30/32
Ultima modifica di Foto UtentePioz il 22 mar 2015, 21:07, modificato 1 volta in totale.
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[24] Re: Problema di probabilità congiunta

Messaggioda Foto Utentesimo85 » 22 mar 2015, 21:07

OK mi torna con il risultato che mi aspetto...

\begin{aligned}
& f_{Y}(y)= \int_{y/2}^{1}\frac{1}{2} \text dx= {2- y \over 4}\\
& \int_0^{1.5}{2 - y\over 4}\,\text dy = 0.9375
\end{aligned}

Che sarebbe la soluzione # 2, corretta del post 1.

Però c'è qualcosa che non mi torna con i concetti,..
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[25] Re: Problema di probabilità congiunta

Messaggioda Foto UtentePioz » 22 mar 2015, 21:20

simo85 ha scritto:\begin{aligned}
& f_{Y}(y)= \int_{y/2}^{1}\frac{1}{2} \text dx= {2- y \over 4}\\
& \int_0^{1.5}{2 - y\over 4}\,\text dy = 0.9375
\end{aligned}


In generale non mi sembra si possa calcolare P così:
\int _{]-\infty, y]} f_{Y}(y)dy
Il modo corretto è questo:
\int _{]-\infty, x]X[-\infty, y]} f_{XY}(x,y)dxdy
E' un caso sia giusto il tuo risultato.
Infatti se scrivevi come ho fatto io f_{Y}(y)= y/4;y\in [0,2],x \in[0,1] non tornava.
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[26] Re: Problema di probabilità congiunta

Messaggioda Foto Utentesimo85 » 22 mar 2015, 21:44

Pioz ha scritto:Il modo corretto è questo:
\int _{]-\infty, x]X[-\infty, y]} f_{XY}(x,y)dxdy


Foto UtentePioz non capisco molto bene la tua notazione. Volevi scrivere:

F_{XY}(x,y) = \int_{-\infty}^x\int_{-\infty}^yf_{XY}(x,y)\text dx\text dy

?
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[27] Re: Problema di probabilità congiunta

Messaggioda Foto UtentePioz » 22 mar 2015, 22:06

Si esatto. La usava il mio prof, il dominio di integrazione è scritto come il prodotto cartesiano dei due spazi di x e y. E' una notazione più generale della tua, forse quella corretta sarebbe con il doppio segno di integrale. Cioè così:
\int\int  _{]-\infty, x] \times [-\infty, y]} f_{XY}(x,y)dxdy

La tua è meno generale ed è associata al calcolo vero e proprio (formula di riduzione). Infatti scrivere
F_{XY}(x,y) = \int_{-\infty}^x\int_{-\infty}^yf_{XY}(x,y)\text dx\text dy
significa integrare prima rispetto a x (negli estremi di variazione scritti rispetto a y) e poi rispetto a y.
Lo si fa quando hai domini che si dicono "semplici rispetto a una variabile" cioè quando puoi scrivere facilmente come varia una variabile in funzione di un'altra. Altre volte invece è più comodo risolverli per sostituzione (ad esempio \rho, \theta o coordinate cilindriche o sferiche se sei in \mathbb{R}^{3}).
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[28] Re: Problema di probabilità congiunta

Messaggioda Foto Utentesimo85 » 22 mar 2015, 22:23

Ah ecco. È che sugli appunti del professore viene scritta la notazione che ho riportato io. :D

E comunque a me il 15/32 non mi viene come risultato. Sicuramente sto sbagliando qualcosa.

:cry:
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[29] Re: Problema di probabilità congiunta

Messaggioda Foto UtentePioz » 22 mar 2015, 23:31

Allora hai che il dominio è un trapezio, lo dividi in un triangolo e un rettangolo e ne sommi i contributi, qui scrivo y in funzione di x che mi viene molto intuitivo (quindi prima integro in dy e poi in dx):
\int \int f_{XY}(x,y)dxdy = \int_{0}^{3/4}\int_{0}^{2x}\frac{1}{2}dydx+\int_{3/4}^{1}\int_{0}^{3/2}1/2dydx
= \int_{0}^{3/4}\left [ \frac{1}{2}y \right ]_{0}^{2x}dx+\int_{3/4}^{1}\left [ \frac{1}{2}y \right ]_{0}^{3/2}dx
= \left [ \frac{1}{2}x^{2} \right ]_{0}^{3/4}+\left [ \frac{3}{4}x \right ]_{3/4}^{1}= \frac{9}{32}+\left ( \frac{3}{4}-\frac{9}{16} \right )=\frac{15}{32}
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[30] Re: Problema di probabilità congiunta

Messaggioda Foto Utentesimo85 » 22 mar 2015, 23:47

Capito ! Ho anche capito che è ora che mi tolga il lardo dagli occhi ! #-o

Grazie mille Foto UtentePioz, Foto Utentebrendolaccia, Foto Utenteikim e Foto Utenteslashino per avermi aiutato ed esservi interessati ai miei disastri.. :lol: :lol: :lol:

:ok: :ok: :ok:

O_/
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