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Margine di fase e stabilità

Elettronica lineare e digitale: didattica ed applicazioni

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[1] Margine di fase e stabilità

Messaggioda Foto UtenteBrunoValente » 30 nov 2015, 22:08

Ciao a tutti,
come è noto per verificare la stabilità di un amplificatore reazionato bisogna aprire l'anello opportunamente e guardare il margine di fase della funzione di trasferimento: quanto più il margine di fase è basso tanto più l'amplificatore tende all'instabilità ma in alcuni casi, come in quello che segue, trovo qualche difficoltà.



Nel circuito in questione il buffer è ideale, non sfasa e l'amplificatore ha una banda a guadagno unitario di 100MHz e scende uniformemente di 20dB/decade.

Posso aprire l'anello nei due modi indicati di seguito, che credo siano entrambi leciti, dove nel primo il condensatore da 1nF fa parte della controreazione mentre nel secondo fa parte dell'amplificatore, come se fosse interno all'integrato.

Con l'aiuto di un simulatore ho ricavato i grafici di modulo e fase della funzione di trasferimento di entrambi i casi e ottengo margini di fase molto diversi: nel primo caso 90° e invece nel secondo pochi gradi.



Ora, siccome chiudendo l'anello in entrambi i casi si ottiene lo stesso circuito, come andrebbero interpretati i due grafici? Il circuito risulterebbe essere molto stabile come indica il primo grafico oppure quasi instabile come indica il secondo?

Forse in alcuni casi la stabilità non dipende solo dal margine di fase?
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[2] Re: Margine di fase e stabilità

Messaggioda Foto UtenteDirtyDeeds » 30 nov 2015, 23:23

Con il simulatore come l'hai aperto l'anello? Hai messo un generatore di tensione dove c'è il taglio?

Se fai così, nel primo caso fai sparire almeno un polo, quello che la resistenza di uscita del primo op amp forma con il condensatore da 1 nF.

Se usi LTspice, qui avevo messo un blocco LTspice per determinare il guadagno d'anello con il metodo di Middlebrook, con iniezione di corrente e di tensione, che non dovrebbe soffrire di quel problema.
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[3] Re: Margine di fase e stabilità

Messaggioda Foto UtenteIsidoroKZ » 1 dic 2015, 0:49

Quel polo non da` particolari problemi perche' C e` nell'anello di un integratore (se stai parlando di quello). Anche se si prende un generatore di tensione ideale non cambia quasi nulla.
Per usare proficuamente un simulatore, bisogna sapere molta più elettronica di lui
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[4] Re: Margine di fase e stabilità

Messaggioda Foto Utenteslashino » 1 dic 2015, 11:24

Ma in entrambi i casi, a rigore, non dovrebbe ricostruire l'impedenza che vede nel verso di andata e metterla come carico del segnale di ritorno? (essendo la resistenza d'uscita dell'op-amp finita)
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[5] Re: Margine di fase e stabilità

Messaggioda Foto UtenteBrunoValente » 1 dic 2015, 14:05

Credo che in entrambi i casi in pratica si possa trascurare l'impedenza di uscita dell'operazionale e fare i conti come se fosse nulla.

Si tratta comunque di un circuito ideale preso in considerazione solo per la questione in oggetto e se c'è incertezza su quest'aspetto dell'impedenza possiamo certamente considerare l'operazionale come ideale con impedenza di uscita nulla.

Ho utilizzato Multisim con lo strumento "Bode Plotter" e ovviamente ho collegato un generatore di tensione ideale a valle del taglio in entrambi i casi
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[6] Re: Margine di fase e stabilità

Messaggioda Foto UtenteIsidoroKZ » 1 dic 2015, 19:44

La domanda e` di quelle incasinate, non c'e` che io sappia una trattazione teorica generale per i loop multipli. Dal punto di vista circuitale ci sono alcuni articoli in giro (ne ho trovato anche uno con affermazioni dubbie), ma poca roba. Se si passa agli schemi a blocchi o alla rappresentazione con i grafi si trova piu` roba, ad esempio la formula di Mason, ma niente di elettronico.

Dall'esempio che hai fatto sembra che il margine di fase dica cose una volta giuste e una sbagliate per quanto riguarda la stabilita` complessiva. Il problema e` che i criteri di stabilita` di Bode sono stati sviluppati per singolo loop, assumento, ma non viene mai detto che il blocco amplificatore base A sia stabile.

Se guardiamo le formule solite di sistemi retroazionati a singolo loop, abbiamo che, simboli con il significato solito, A_F=\frac{A}{1+A\beta}, e l'interpretazione intuitiva del margine di fase dice che se A\beta diventa pari a -1, allora il sistema oscilla. Ma c'e` l'ipotesi implicita che A sia stabile.

(Per vedere la stabilita` in generale si deve guardare dove sono i poli oppure si usa Nyquist, ma qui non interessano).

Ora provo a far vedere che con entrambi i tagli si ottengono due rapporti di ritorno ma lo stesso denominatore della funzione ad anello chiuso, che e` quello che determina la stabilita`.

Si puo` scrivere il guadagno retroazionato anche in questo modo A_F=A_\infty \frac{T}{1+T} dove A_\infty e` il guadagno quando un elemento del circuito va ad infinito (tipicamente il guadagno di qualche elemento) e T e` il rapporto di ritorno rispetto a quell'elemento. Il fattore T/(1+T) si chiama fattore di discrepanza e dice quanto il guadagno effettivo ad anello chiuso si scosta da quello ideale.

A seconda dell'elemento che si sceglie per mandarlo a infinito si ottengono diversi valori di T e di A_\infty, e si deve avere che T/(1+T) e` stabile E A_\infty e` stabile per conto suo. Che il margine di fase di T sia buono e` solo una condizione per avere la stabilita` (sto nascondendo un po' di roba sotto al tappeto, nessuno vada a sbirciare!).

In pratica se guardi solo il margine di fase per determinare la stabilita` di un circuito perdi parte dell'informazione di potenziale instabilita` che potrebbe essere in A_\infty.

La formula detta prima, A_F=A_\infty \frac{T}{1+T} vale solo per blocchi unidirezionali, nei circuiti elettronici potrebbe non essere tanto vero e la formula ha un termine in piu`, ma per il momento non complichiamoci la vita perche' il termine in piu` non da` problemi di stabilita` (almeno credo).

Provo a far vedere ora che calcolando i poli del sistema, che sono quelli che dicono se il circuito e` stabile o instabile, si ottiene lo stesso risultato calcolando il rapporto di ritorno nelle due sezioni indicate da Foto UtenteBrunoValente. Uso uno schema a blocchi perche' il risultato e` piu` generale e i conti sono piu` facili. In realta` vengono lo stesso anche scrivendo i vari fattori come rapporto di polinomi, ma non vale la pena.

Lo schema di partenza e` il seguente, dove ho messo in evidenza il loop interno e quello esterno, e i guadagni A e beta dei due blocchi e tutti i blocchi sono unidirezionali nel senso delle frecce.



La stabilita` del sistema non dipende da dove e` messo l'ingresso, ma solo dal rapporto di ritorno (guadagno di anello in questo caso). Metto a zero l'ingresso e provo a calcolare il rapporto di ritorno "tagliando" nelle due sezioni indicate da Bruno. Cominciamo da dopo il primo blocco, inietto un segnale X, guardo il segnale X^ che torna alle spalle e il rapporto di ritorno e` T=-\frac{\hat{X}}{X}


Il loop interno rimane intero e la sua funzione di traferimento diventa A_{F1}=\frac{A_1}{1+A_1\beta_1} quindi abbiamo


e quindi il rapporto di ritorno con quel taglio vale T_1=A_2 \beta_2 A_{F1}=\frac{A_1A_2\beta_2}{1+A_1\beta_1}, ed e` quello che nel circuito di Bruno ha un margine di guadagno basso e da` problemi.

L'instabilita` in generale puo` essere dovuta al margine di guadango basso oppure al guadagno A_\infty. Per essere sicuri di dove sono finiti i poli del sistema bisogna calcolare \frac{T}{1+T}, anzi in realta` il numeratore non serve neppure per la stabilita`, basta \frac{1}{1+T}.

Ma visto che i conti li fa qualcun altro, ho ottenuto che \frac{T_1}{1+T_1}=\frac{A_1A_2 \beta_2}{A_1A_2 \beta_2+A_1\beta_1+1}

Ovviamente il risultato non dice nulla, e` solo il conto fatto su uno schema a blocchi.

Adesso rifacciamo il conto con l'altro taglio, dentro il loop interno, come in figura



Il rapporto di ritorno qui e` facile e vale T_2=\beta_1A_1+A_2\beta_1A_1 Il guadagno di anello e` completamente diverso, e se si va a mettere il circuito di Bruno il margine di fase e` elevato. Ma quello che conta e` il rapporto di discrepanza T/(1+T) che con il nuovo T viene \frac{T_2}{1+T_2}=\frac{A_1A_2 \beta_2+A_1\beta_1}{A_1A_2 \beta_2+A_1\beta_1+1}. Il denominatore e` lo stesso, ci sono gli stessi poli.

Il numeratore cambia, ma cambia anche A_\infty e quindi le cose tornano.

Disclaimer: quanto detto prima non serve direttamente nel nostro caso perche' questo e` un circuito vero, non uno schema a blocchi unidirezionale, ma dovrebbe far capire che la stabilita` che si calcola e` la stessa, ovunque la si calcoli.

Per stasera basta, la prossima puntata potrebbe essere a base di teorema di dissezione e calcolo diretto del guadagno di anello, con un paio circuiti simulati. Ce ne sono che hanno l'anello interno stabile e il totale sono instabili, altri invece che hanno l'anello interno instabile in termini di margine di fase, mentre l'anello esterno e` stabile in termini di margine di fase del guadagno di anello, ma il circuito complessivo e` instabile.
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[7] Re: Margine di fase e stabilità

Messaggioda Foto Utenteslashino » 1 dic 2015, 19:49

Foto UtenteBrunoValente grazie per il chiarimento.
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[8] Re: Margine di fase e stabilità

Messaggioda Foto UtenteCandy » 1 dic 2015, 20:30

Foto UtenteIsidoroKZ, io mi fido neh, ma bellissimo post il tuo.
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[9] Re: Margine di fase e stabilità

Messaggioda Foto UtenteBrunoValente » 1 dic 2015, 22:50

Grazie Foto UtenteIsidoroKZ per la bella spiegazione, però ho qualche difficoltà ad attribuire il giusto significato ad A_\infty.

Provo a dire quello che ho capito cercando di ricondurre il ragionamento al mio circuito sperando di non aver preso fischi per fiaschi: se apro l'anello a valle del condensatore vedo un guadagno dell'anello aperto che non dipende molto da quello dell'operazionale e se faccio tendere il guadagno dell'operazionale all'infinito quello dell'anello aperto tende ad un valore finito.

Se invece apro l'anello prima del condensatore vedo un guadagno dell'anello aperto che dipende molto da quello dell'operazionale e se faccio tendere all'infinito quello dell'operazionale va all'infinito anche quello dell'anello aperto.

Da questo desumo che nel primo caso l'instabilità è evidenziata dal grafico come basso margine di guadagno mentre nel secondo caso il grafico non dà più alcuna informazione sulla stabilità che però continua ad esserci sotto forma di guadagno infinito dell'operazionale.

Ho anche provato a simulare di nuovo abbassando molto il guadagno dell'operazionale e ho visto che il circuito tende a diventare stabile e il margine di fase tende ad assumere gli stessi valori per entrambi i casi.
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[10] Re: Margine di fase e stabilità

Messaggioda Foto UtenteIsidoroKZ » 1 dic 2015, 23:15

A_\infty e` il guadagno ad anello chiuso che il sistema ha quando un parametro va ad infinito. Aspetta la seconda puntata :-)
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