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Equazione di secondo grado e matrici

Analisi, geometria, algebra, topologia...

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[1] Equazione di secondo grado e matrici

Messaggioda Foto Utenterob87 » 28 apr 2016, 9:23

Salve a tutti,
ho la seguente eq.

(H-F)^T(H-F)=E^2

dove ^T indica la matrice trasposta.

Sviluppando (Hx-Fx)^2+(Hy-Fy)^2+(Hz-Fz)^2=E^2.

Per ricavare la F posso scrivere il sistema di 3 equ. o lo posso fare direttamente da quella precedente??
(Hx-Fx)^2=E^2
(Hy-Fy)^2=E^2
(Hz-Fz)^2=E^2

Grazie per ogni aiuto
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[2] Re: Equazione di secondo grado e matrici

Messaggioda Foto Utentedimaios » 29 apr 2016, 9:04

rob87 ha scritto:Sviluppando (Hx-Fx)^2+(Hy-Fy)^2+(Hz-Fz)^2=E^2.


Spiega meglio questo passaggio. Come lo hai sviluppato :?:

rob87 ha scritto:
Per ricavare la F posso scrivere il sistema di 3 equ. o lo posso fare direttamente da quella precedente??
(Hx-Fx)^2=E^2
(Hy-Fy)^2=E^2
(Hz-Fz)^2=E^2




Davvero :?:
Ma anche se fosse un'ipotesi sensata ( :shock: ) sommando tutte e 3 le equazioni risulterebbe :

(H_x-F_x)^2+(H_y-F_y)^2+(H_z-F_z)^2=3E^2

:?
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[3] Re: Equazione di secondo grado e matrici

Messaggioda Foto Utenterob87 » 29 apr 2016, 9:17

Non era un passaggio ma volevo sapere se c'era un modo per ricondurlo a quella forma lì...
comunque come lo risolvo??
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[4] Re: Equazione di secondo grado e matrici

Messaggioda Foto UtenteGost91 » 29 apr 2016, 14:35

Foto Utenterob87 ha scritto:Per ricavare la F posso scrivere il sistema di 3 equ. ??


Intanto diciamo che in generale il problema che hai posto non ha una soluzione immediata. Comunque, con le dovute precisazioni e le dovute correzioni, il sistema 3x3 funziona.


Allora, se le matrici H ed E sono delle 3\times3 e diagonali, i.e.

H= \begin{bmatrix} 
H_x & & \\ &  H_y & \\  & & H_z\end{bmatrix} \qquad E= \begin{bmatrix} 
E_x & & \\ &  E_y & \\  & & E_z\end{bmatrix}

allora il problema ammette come soluzione ancora una matrice F diagonale 3\times3 della forma

F= \begin{bmatrix} 
F_x & & \\ &  F_y & \\  & & F_z\end{bmatrix}

dove le uniche componenti nonnulle F_x, F_y e F_z sono ora da determinare.
Sotto queste forti ipotesi, una matrice F sì fatta si determina agevolmente.


L'equazione di partenza si può riscrivere come

\begin{bmatrix} 
(H_x-F_x)^2 & & \\ 
& (H_y-F_y)^2 & \\  
& & (H_z-F_z)^2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 
E_x^2 & & \\ 
&  E_y^2 & \\  
& & E_z^2\end{bmatrix}

Ora, due matrici sono uguali sse lo sono le loro rispettive componenti, dunque deve valere il seguente sistema di 3 equazioni separate nelle 3 incognite F_x, F_y e F_z:

\begin{cases}
(H_x-F_x)^2=E_x^2 \\
(H_y-F_y)^2=E_y^2 \\
(H_z-F_z)^2=E_z^2 \\
\end{cases}

avente come soluzioni

\begin{cases}
F_x=H_x \pm E_x \\
F_y=H_y \pm E_y \\
F_z=H_z \pm E_z \\
\end{cases}

in conclusione, se sono valide le sopracitate ipotesi, il problema ammette le seguenti 8 soluzioni

\boxed{F= \begin{bmatrix} 
H_x \pm E_x & & \\ & H_y \pm E_y & \\  & & H_z \pm E_z\end{bmatrix}}



nota: una particolare soluzione la trovi fissando i precedenti segni \pm. Per esempio, due soluzioni distinte del problema sono

F_1= \begin{bmatrix} 
H_x + E_x & & \\ & H_y - E_y & \\  & & H_z + E_z\end{bmatrix} 
\qquad
F_2= \begin{bmatrix} 
H_x - E_x & & \\ & H_y - E_y & \\  & & H_z + E_z\end{bmatrix}
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