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Densità di probabilità della Y=g(X)

Analisi, geometria, algebra, topologia...

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[1] Densità di probabilità della Y=g(X)

Messaggioda Foto Utenteoiram92 » 3 mag 2016, 21:41

Sia X una variabile aleatoria ed Y=g(X) la variabile ottenuta trasformando X tramite la funzione g(x). Siano assegnate :

f_x(x) = \begin{cases} \frac{1}{3} + \frac{x}{6}, & \mbox{se } -2 \le x<0 \\ \frac{1}{3}, & \mbox{se } 0 \le x<2 \\ 0, & \mbox{altrove} \end{cases}

g(x) = \begin{cases} 1, & \mbox{se } x>0 \\ -1, & \mbox{se } x \le 0 \end{cases}

Calcolare la densità di probabilità di Y e calcolare la probabilità che sia Y>X

Non so come procedere..ho tracciato il grafico di f_x(x) e di g(X), poi vorrei applicare il metodo sistematico però mi vien fuori una cosa del genere :

F_Y(y) = \begin{cases} 0, & \mbox{se } y \le -1 \\ 1, & \mbox{se } y \le 1 \\ \frac{1}{3}, & \mbox{se }  -1 < y < 0 \\ \frac{2}{3}, & \mbox{se } 0<y<1 \end{cases}

e di conseguenza la densità è nulla..avevo letto nelle dispense che in tal caso significa che la densità è puramente impulsiva però nella pratica non so come comportarmi..

[EDIT] Ho corretto, l'ultima formula è la distribuzione di probabilità non la densità, avevo scritto f piuttosto che F [/EDIT[
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[2] Re: Densità di probabilità della Y=g(X)

Messaggioda Foto UtenteGost91 » 5 mag 2016, 0:12

Foto Utenteoiram92 ha scritto:f_x(x) = \begin{cases} \frac{1}{3} + \frac{x}{6}, & \mbox{se } -2 \le x<0 \\ \frac{1}{3}, & \mbox{se } 0 \le x<2 \\ 0, & \mbox{altrove} \end{cases}


L'esercizio è mal posto, quella non è una densità di probabilità:

\int_\mathbb{R} f_X (x) \text{ d}x=\text{volume sfera unitaria}

Riformuliamo quindi l'esercizio: supponiamo che X sia descritta dalla seguente generica densità di probabilità costante a tratti

f_X(x) = \begin{cases} a & \mbox{se } -2 \le x<0 \\ b & \mbox{se } 0 \le x<2 \\ 0 & \mbox{altrove} \end{cases}

per opportune costanti a,b, cioè positive e tali che

\int_{\mathbb{R}} f_X(x) \text{ d}x=1

oiram92 ha scritto:Calcolare la densità di probabilità di Y




Teorema preliminare

Dunque, si parte dalla definizione di funzione di distribuzione di Y

F_Y (y):=\mathbb{P}(Y\leq y)

che, per come è definita Y, può essere riscritta equivalentemente come

F_Y (y):=\mathbb{P}(g(X)\leq y)

ora un ultimo passaggio un po' più delicato: la relazione g(X)\leq y individua sulla retta reale un particolare insieme E_x (y) di realizzazioni di X, cioè

E_x (y)=\{x\in\mathbb{R}:g(X)\leq y\}

richiedere a Y, cioè g(X), di essere minore della realizzazione y equivale a richiedere a X di ricadere proprio nel precedente insieme E_x (y), quindi passando alle probabilità

\mathbb{P}(g(X)\leq y)=\mathbb{P}(X\in E_x (y)) \rightarrow F_Y (y)=\mathbb{P}(X\in E_x (y))

da quest'ultima espressione, applicando la definizione di probabilità per variabili aleatorie continue, si trova la seguente bella formulina che permette di risolvere la prima parte dell'esercizio

\boxed{F_Y (y)=\int_{E_x (y)} f_X (x) \text{ d}x}



Soluzione

A questo punto si tratta di applicare la precedente formulina per poi derivare il risultato, ma per farlo si deve ancora individuare l'ingrediente mancante, cioè l'evento E_x (y). Studiamo quindi il grafico di g(x), per poi valutare l'integrale.


Bene, si può riassumere in unica scrittura i precedenti risultati

F_Y (y)=\begin{cases} 2a& \mbox{se } -1 \leq y < 1 \\2(a+b) & \mbox{se } y \geq 1  \\ 0 & \mbox{altrimenti}\end{cases}=2[a\,\text{u}(y+1)+b\,\text{u}(y-1)]

dove \text{u}(y) è il gradino unitario. Graficando tale funzione di distribuzione



si notano un paio di punti di salto, pertanto la relativa densità di probabilità presenterà in tali punti dei termini impulsivi. Infatti derivando rispetto y si trova il risultato cercato

\boxed{f_Y(y):=\frac{\text{d}F_Y (y)}{\text{d}y}=2a\delta(y+1)+2b\delta(y-1)}

avendo sfruttato la proprietà dell'impulso unitario \delta(y) di essere la derivata del gradino.



Come si nota dal grafico, e come previsto, la densità di probabilità della variabile aleatoria Y si concentra nei soli punti di salto della funzione di distribuzione precedente. Questo non è un risultato sorprendente, dato che Y, a causa di g(X), può assumere solo due valori: -1 e 1.

oiram92 ha scritto:e calcolare la probabilità che sia Y>X


Si può procedere in analogia alla precedente parte, infatti detto E_x' l'insieme delle realizzazioni di X per le quali è vera la relazione Y>X, cioè

E_x'=\{x\in\mathbb{R}: Y>X\}=\{x\in\mathbb{R}: g(X)>X \}

si ha che

\mathbb{P}(Y>X)=\mathbb{P}(g(X)>X)=\mathbb{P}(X\in E_x')=\int_{E_x'} f_X (x) \text{ d}x

Nuovamente, al fine di determinare il precedente evento, merita studiare il grafico di g(x)



è evidente dalla figura che

E_x'=(-\infty,-1) \cup [0,1)

conseguentemente si ha

\int_{E_x'} f_X (x) \text{ d}x=\int_{(-\infty,-1) \cup [0,1)} f_X (x) \text{ d}x=\int_{-2}^{-1} a \text{ d}x+\int_0^1 b \text{ d}x

si conclude quindi che la probabilità cercata è pari a

\boxed{\mathbb{P}(Y>X)=a+b}
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[3] Re: Densità di probabilità della Y=g(X)

Messaggioda Foto Utenteoiram92 » 5 mag 2016, 14:15

Innanzitutto grazie per la risposta, per ora mi soffermo sulla prima parte dell'esercizio perché non mi è chiara una cosa. Quando dici :

Gost91 ha scritto:L'esercizio è mal posto, quella non è una densità di probabilità:

\int_\mathbb{R} f_X (x) \text{ d}x=\text{volume sfera unitaria}

Riformuliamo quindi l'esercizio: supponiamo che X sia descritta dalla seguente generica densità di probabilità costante a tratti

f_X(x) = \begin{cases} a & \mbox{se } -2 \le x<0 \\ b & \mbox{se } 0 \le x<2 \\ 0 & \mbox{altrove} \end{cases}

per opportune costanti a,b, cioè positive e tali che

\int_{\mathbb{R}} f_X(x) \text{ d}x=1


perché affermi che quella non è una densità di probabilità? Calcolando l'integrale viene :

\int_{-\infty}^{+\infty} f_X(x) dx = \int_{-2}^{0} \frac{1}{3} dx + \int_{-2}^{0} \frac{x}{6} dx + \int_{0}^{2} \frac{1}{3} dx = 1
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[4] Re: Densità di probabilità della Y=g(X)

Messaggioda Foto UtenteGost91 » 5 mag 2016, 14:51

Foto Utenteoiram92 ha scritto:perché affermi che quella non è una densità di probabilità?


Perché sono un po' orbo :mrgreen: , avevo letto

f_x(x) = \begin{cases} \frac{1}{3} + \frac{\pi}{6}, & \mbox{se } -2 \le x<0 \\ \frac{1}{3}, & \mbox{se } 0 \le x<2 \\ 0, & \mbox{altrove} \end{cases}

al posto della corretta densità

f_x(x) = \begin{cases} \frac{1}{3} + \frac{x}{6}, & \mbox{se } -2 \le x<0 \\ \frac{1}{3}, & \mbox{se } 0 \le x<2 \\ 0, & \mbox{altrove} \end{cases}

Comunque, tornando all'esercizio, il metodo per giungere alla soluzione è esattamente il solito (naturalmente c'è d'aggiustare qualcosa da qualche parte) a quello descritto precedentemente.

Direi che la cosa migliore da fare è lasciare a te il compito di rattoppare il precedente post, se poi c'è qualche problema ne riparliamo volentieri insieme.

;-)


P.S. ne approfitto per darti un tip che può rivelarsi molto utile in questi esercizi e altri contesti.

Calcolando l'integrale viene :

\int_{-\infty}^{+\infty} f_X(x) dx = \int_{-2}^{0} \frac{1}{3} dx + \int_{-2}^{0} \frac{x}{6} dx + \int_{0}^{2} \frac{1}{3} dx = 1


Questi sono tutti integrali banali che possono essere resi ancor più banali ricordandosi il significato geometrico dell'integrale definito di una funzione. Tracciano la precedente densità



si notano un triangolo tra -2 e 0 (largo 2 e alto 1/3) e un rettangolo tra 0 e 2 (largo 2 e alto 1/3). Senza starci troppo a pensare, si può scrivere

\int_{-\infty}^{+\infty} f_X(x) \text{ d}x = \frac{2\cdot\frac{1}{3}}{2}+2\cdot\frac{1}{3}=1
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[5] Re: Densità di probabilità della Y=g(X)

Messaggioda Foto Utenteoiram92 » 5 mag 2016, 15:27

Non preoccuparti :D e grazie per il consiglio :ok: , dunque :

L'insieme E_X(y) ovviamente resta lo stesso, cioè :

E_X(y) = \begin{cases} 0, & \mbox{se } y < -1 \\ (-\infty,0], & \mbox{se } -1 \le y < 1 \\ \mathbb{R}, &\mbox{se } y \ge 1 \end{cases}

Quindi la distribuzione di probabilità della Y è :

F_Y(y) = \begin{cases} 0, & \mbox{se } y < -1 \\ \frac{2}{3}, & \mbox{se } -1 \le y < 1 \\ ..., &\mbox{se } y \ge 1 \end{cases}

dove ho messo i puntini dovrebbe starci 1 però non mi convince molto perché poi la densità sarebbe nulla ovunque..e qui siamo giunti ad un'altra domanda che volevo farti prima : da dove escono fuori quei gradini che avevi scritto prima?
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[6] Re: Densità di probabilità della Y=g(X)

Messaggioda Foto UtenteGost91 » 5 mag 2016, 16:28

L'insieme E_X(y) ovviamente resta lo stesso, cioè :

E_X(y) = \begin{cases} 0, & \mbox{se } y < -1 \\ (-\infty,0], & \mbox{se } -1 \le y < 1 \\ \mathbb{R}, &\mbox{se } y \ge 1 \end{cases}


Esatto :ok: , andiamo avanti

Quindi la distribuzione di probabilità della Y è :

F_Y(y) = \begin{cases} 0, & \mbox{se } y < -1 \\ \frac{2}{3}, & \mbox{se } -1 \le y < 1 \\ ..., &\mbox{se } y \ge 1 \end{cases}

dove ho messo i puntini dovrebbe starci 1


Mmm non mi torna tanto... riguardiamo insieme i calcoli (ci vuole giusto 1 secondo a calcolare la distribuzione di Y)

non mi convince molto perché poi la densità sarebbe nulla ovunque...


C'è un piccolo dettaglio che ti sta sfuggendo, stiamo parlando di una variabile aleatoria continua (X, prende valori in [-2,2]) che viene mappata in una variabile aleatoria discreta (Y, prende valori in {-1,1}).

Pensiamo a g come un sistema che preso un numero casuale in ingresso X\in[-2,2] restituisce in uscita un numero Y\in\{-1,1\} secondo la legge deterministica indicata in precedenza.



Per l'aleatorietà dell'ingresso, anche l'uscita è aleatoria, però è una aleatorietà "diversa".
In ingresso si ha una densità di probabilità "spalmata" nell'intervallo [-2,2], mentre in uscita il sistema g concentra tale densità nei soli due punti {-1,1}.

Bisogna quindi aspettarsi un risultato (f_Y) "strano" in uscita: i matematici direbbero che la densità di probabilità di Y è nulla quasi ovunque (che in questo caso significa, senza entrare troppo nel merito della teoria della misura, che la densità non è nulla solo su un sottoinsieme discreto della retta reale).

In definitiva, la F_Y è realmente costante a tratti e la relativa densità non è nulla ovunque.

Troviamo l'espressione corretta della funzione di distribuzione, poi dedichiamoci alla densità.
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[7] Re: Densità di probabilità della Y=g(X)

Messaggioda Foto Utenteoiram92 » 5 mag 2016, 16:56

In base a quello che hai scritto, intuitivamente riesco a capire che la Y è una variabile discreta che assume soltanto i valori 1 e -1 e già da qui mi aspetto che in questi due punti sia centrato un impulso la cui "altezza" mi da la probabilità della Y di assumere quel valore. Inoltre, se ho inteso bene le proprietà delle variabili aleatorie discrete, mi aspetto che la somma "delle altezze" degli impulsi sia unitaria.

Tuttavia non riesco ancora a condensare queste considerazioni in un espressione matematica che mi sia utile :oops:
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[8] Re: Densità di probabilità della Y=g(X)

Messaggioda Foto UtenteGost91 » 5 mag 2016, 17:18

In base a quello che hai scritto, intuitivamente riesco a capire che la Y è una variabile discreta che assume soltanto i valori 1 e -1 e già da qui mi aspetto che in questi due punti sia centrato un impulso la cui "altezza" mi da la probabilità della Y di assumere quel valore.


Diciamo più correttamente che ci sono due impulsi, uno centrato in -1 e uno in 1. Il primo misura, attraverso il suo integrale in un intorno di -1, la probabilità che l'uscita al sistema sia -1, mentre l'altro misura, attraverso il suo integrale in un intorno di 1, la probabilità che l'uscita al sistema sia 1.

Inoltre, se ho inteso bene le proprietà delle variabili aleatorie discrete, mi aspetto che la somma "delle altezze" degli impulsi sia unitaria.


Esatto, se calcoli F_Y, poi derivi nel senso delle distribuzioni (=derivazione che tiene conto delle discontinuità di F_Y) e infine valuti l'integrale del risultato (f_Y) su tutto l'asse reale (cioè la somma delle ampiezze dei due impulsi) troverai, come ti aspetti, un bell'1.

Tuttavia non riesco ancora a condensare queste considerazioni in un espressione matematica che mi sia utile


Un passo alla volta si sistema tutto. Partiamo dalla F_Y, poi verifichiamo il tuo ragionamento con il procedimento che ti ho indicato qua sopra.
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[9] Re: Densità di probabilità della Y=g(X)

Messaggioda Foto Utenteoiram92 » 5 mag 2016, 18:15

D'accordo :ok: quindi, avendo appurato che la Y è definitivamente una variabile aleatoria discreta, per definizione so che la sua distribuzione può essere espressa nella forma :

F_Y(y) = \sum_k P \left(Y=y_k \right) \cdot u(y-y_k)

dove y_k sono tutti i valori discreti che può assumere la variabile Y, ovvero (in questo caso) \pm 1. Adesso, sappiamo che :

:arrow: per y < -1 non esiste nessuna X tale che g(X) \le y e quindi F_Y(y) = 0

:arrow: per y > 1 qualunque sia X siamo certi che g(X) \le y quindi F_Y(y) = 1

:arrow: per -1 \le y \le 1 la probabilità che g(X) \le y è data dall'espressione che ho scritto prima.

P \left(Y=-1 \right) = P \left(X \in (-\infty,0] \right) = \int_{-\infty}^{0} f_X(x) dx = \int_{-2}^{0} f_X(x) dx = \frac{1}{3}

P \left(Y=1 \right) = P \left(X \in [0,+\infty] \right) = \int_{0}^{+\infty} f_X(x) dx = \int_{0}^{2} f_X(x) dx = \frac{2}{3}

Quindi ricapitolando :

F_Y(y) = \begin{cases} 0, & \mbox{se } y < -1 \\ 1, & \mbox{se } y < 1 \\ \frac{1}{3} \cdot u(y+1) + \frac{2}{3} \cdot u(y-1), & \mbox{se } -1 \le y \le 1 \end{cases}

Infine derivando si ottiene :

f_Y(y) = \begin{cases} \frac{1}{3} \cdot \delta(y+1) + \frac{2}{3} \cdot \delta(y-1), & \mbox{se } -1 \le y \le 1 \\ 0, & \mbox{altrove} \end{cases}

In particolare abbiamo che l'impulso centrato in -1 ha altezza pari a \frac{1}{3}, mentre quello centrato in 1 ha altezza pari a \frac{2}{3} e di conseguenza la somma è unitaria.

Quindi se ho capito bene, per fare un analogia con un caso concreto, il sistema in esame potrebbe essere del tipo :

:arrow: Un software genera numeri casuali appartenenti all'insieme continuo [-2,2]

:arrow: Per come è stato programmato il software i valori X che passa al sistema di trasformazione g sono distribuiti in modo tale che la probabilità che X \in [-2,0] è pari all'area del triangolo che si vede in tale intervallo nella f_X(x) cioè probabilità \frac{1}{3} = 33.3 \%, mentre la probabilità che X \in [0,2] è \frac{2}{3} = 66.6 \%

:arrow: Successivamente i valori in uscita dal software vengono presi da un altro software che da in uscita -1 se X <0 e 1 se X>0. Adesso, siccome la probabilità che il primo software dia come output un X<0 è del 33.3\% ne consegue che la probabilità che il secondo software restituisca in uscita -1 è sempre la stessa (e viceversa per l'altro valore)
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[10] Re: Densità di probabilità della Y=g(X)

Messaggioda Foto UtenteGost91 » 5 mag 2016, 19:47

avendo appurato che la Y è definitivamente una variabile aleatoria discreta, per definizione so che la sua distribuzione può essere espressa nella forma :

F_Y(y) = \sum_k P \left(Y=y_k \right) \cdot u(y-y_k)

dove y_k sono tutti i valori discreti che può assumere la variabile Y, ovvero (in questo caso)\pm 1.


Sì l'espressione è corretta, però, ad essere pignoli, in realtà è un teorema in quanto la definizione di funzione di distribuzione è

F_Y(y):=\mathbb{P}(Y\leq y)

Solo dopo, con qualche semplice ragionamento, ci si rende conto che tale espressione è vera.

Adesso, sappiamo che :

:arrow: per y < -1 non esiste nessuna X tale cheg(X) \le y e quindi F_Y(y) = 0

:arrow: per y > 1 qualunque sia X siamo certi che g(X) \le y quindi F_Y(y) = 1

:arrow: per-1 \le y \le 1 la probabilità che g(X) \le y è data dall'espressione che ho scritto prima.

P \left(Y=-1 \right) = P \left(X \in (-\infty,0] \right) = \int_{-\infty}^{0} f_X(x) dx = \int_{-2}^{0} f_X(x) dx = \frac{1}{3}
P \left(Y=1 \right) = P \left(X \in [0,+\infty] \right) = \int_{0}^{+\infty} f_X(x) dx = \int_{0}^{2} f_X(x) dx = \frac{2}{3}


Ok ci siamo adesso, i calcoli sono giusti. Ti faccio però notare che con questo procedimento hai già la soluzione in mano, non c'è bisogno di passare dalla funzione di distribuzione.

Dato che Y è una variabile aleatoria concentrata nell'immagine della funzione g, ossia {-1,1}, hai già tutta l'informazione per costruire la sua densità. Usando la tua notazione, sarebbe

f_Y (y)=\sum_k\mathbb{P}(Y=y_k)\delta(y-y_k)=\frac{1}{3}\delta(y+1)+\frac{2}{3}\delta(y-1)

Il motivo per cui io ho invece preferito passare dalla funzione di distribuzione, evitando questo metodo diretto, è che mi piaceva farti vedere, conti alla mano, da dove nascono i termini impulsivi.

Quindi ricapitolando :

F_Y(y) = \begin{cases} 0, & \mbox{se } y < -1 \\ 1, & \mbox{se } y < 1 \\ \frac{1}{3} \cdot u(y+1) + \frac{2}{3} \cdot u(y-1), & \mbox{se } -1 \le y \le 1 \end{cases}

Infine derivando si ottiene :

f_Y(y) = \begin{cases} \frac{1}{3} \cdot \delta(y+1) + \frac{2}{3} \cdot \delta(y-1), & \mbox{se } -1 \le y \le 1 \\ 0, & \mbox{altrove} \end{cases}


Ok, però è una notazione ridondante quella che usi. Non serve distinguere i casi, l'informazione è già contenuta nei vari gradini. La funzione di distribuzione è

F_Y (y)=\begin{cases} \frac{1}{3}& \mbox{se } -1 \leq y < 1 \\ 1 & \mbox{se } y \geq 1  \\ 0 & \mbox{altrimenti}\end{cases}

Il suo grafico è il seguente



Ora, prendiamo un gradino di altezza 1/3 "attivo" a partire da -1 e sovrapponiamoci (somma "punto-punto") un altro gradino di altezza 2/3 "attivo" da 1. Graficamente



si può quindi semplicemente scrivere (il risultato del teorema che pensavi come definizione)

F_Y(y)=\frac{1}{3}\text{u}(y+1)+\frac{2}{3}\text{u}(y-1)

poi derivando si ritrova l'espressione precedente per la densità, cioè

f_Y (y)=\frac{1}{3}\delta(y+1)+\frac{2}{3}\delta(y-1)


In particolare abbiamo che l'impulso centrato in -1 ha altezza pari a \frac{1}{3}, mentre quello centrato in 1 ha altezza pari a\frac{2}{3} e di conseguenza la somma è unitaria.


Eccolo lì :ok: ! Hai visto la ci s'è fatta! ;-)

Quindi se ho capito bene, per fare un analogia con un caso concreto, il sistema in esame potrebbe essere del tipo [...]


Ottimo, l'analogia ci sta tutta e anche le conclusioni relative =D>
Buon senso e tanta attenzione nei calcoli porta (quasi) sempre al risultato corretto!
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