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Trasformate z partendo da trasformate di Laplace

Analisi, geometria, algebra, topologia...

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[1] Trasformate z partendo da trasformate di Laplace

Messaggioda Foto UtenteRobi64 » 14 lug 2016, 9:17

Buongiorno

Ho provato a discretizzare la funzione di trasferimento T(s) = S (Derivata) con i metodi di Eulero all'indietro (s=(z-1)/T*z) e Tustin (s=(2/T)*(1-z^-1)/(1+z^-1)) . Dopo ho ricavato le due relazioni ingresso uscite a tempo discreto

y(n) = (1/T) * (x(n) - x(n-1)) (Eulero all'indietro)
y(n) = ((2/T) * (x(n) - x(n-1))) - y(n-1) (Tustin)

x è l'ingresso
Quindi ho provato con x "rampa" (retta pendenza k) (in EXCEL) ed i risultati con le due diverse formule sono alquanto diversi. Ovvero se con Eulero il risultato è una costante di valore K come ci si aspetterebbe, con Tustin si ottiene una oscillazione di valori pari a "0" e "2*K" di periodo costante d(In pratica un campione è 0 e quello successivo è 2K e così via. Questo può essere magari legato al polo in -1. Però poi dalla Y(S) = s*X(S) sono passato con Tustin in Z ed ho :

Y(z) = (2*z*(z^-1)*(1-(z^-1))) / ((1+(z^-1))^2)*(1-(z^-1))

ho provato ad usare questa formula in un sito che calcola online l' antitrasformata z ed effettivamente si trova la funzione

binomial(-2, n) che ha andamento si oscillatorio ma ne smorzato ne costante bensì amplificato allo scorrere di n

Chiedo lumi sul fenomeno descritto
Saluti
Roberto
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[2] Re: Trasformate z partendo da trasformate di Laplace

Messaggioda Foto Utentedimaios » 5 ago 2016, 11:21

Guarda dove sono gli autovalori della matrice di trasferimento o i poli delle diverse formulazioni.
Quando sei troppo vicino al cerchio unitario una approssimazione dei coefficienti ti può portare in una zona di stabilità, instabilità o oscillazione.
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[3] Re: Trasformate z partendo da trasformate di Laplace

Messaggioda Foto UtenteEcoTan » 5 ago 2016, 13:08

Questa formula di Tustin è quella che altrove viene chiamata sostituzione bilineare e conduce a filtri IIR cioè con Risposta Impulsiva Infinita, cioè (se ho ben capito) non garantiscono che l'uscita ritorni esattamente a zero dopo che il segnale di ingresso è cessato.
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[4] Re: Trasformate z partendo da trasformate di Laplace

Messaggioda Foto Utentedimaios » 5 ago 2016, 17:47

Se il filtro è asintoticamente stabile l'uscita deve tornare a zero. Dipende solo da come sono approssimati i coefficienti del filtro il fatto che il comportamento sia difforme da quello di progetto.
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[5] Re: Trasformate z partendo da trasformate di Laplace

Messaggioda Foto UtenteEcoTan » 5 ago 2016, 18:42

In sostanza che significa filtro IIR, cioè chiedo perché venga chiamato così.
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[6] Re: Trasformate z partendo da trasformate di Laplace

Messaggioda Foto Utentedimaios » 6 ago 2016, 0:01

IIR = Infinite Impulse Response

Se in ingresso c'è un impulso l'uscita è la risposta impulsiva che è illimitata come supporto. Questo non vuol dire che dopo un certo tempo non vada a zero o valga un valore al di sotto di quelli rappresentabili con precisione finita e quindi da un punto di vista computazionale vale zero.
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[7] Re: Trasformate z partendo da trasformate di Laplace

Messaggioda Foto UtenteRobi64 » 23 ago 2016, 8:39

Si può forse dire a livello molto qualitativo che IIR significa che la T(S) ha almeno un polo e quindi in risposta ad uno stimolo limitato nel tempo comunque la sua risposta ha un comportamento asintotico?
E per i FIR forse si può dire che la presenza di zeri in qualche modo va a forzare l'uscita a zero sempre con un ingresso di durata limitata?
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[8] Re: Trasformate z partendo da trasformate di Laplace

Messaggioda Foto UtenteRobi64 » 23 ago 2016, 8:48

In ogni caso volevo solo ribadire che applicando alle formule della domanda iniziale un ingresso a rampa, anche facendo i conti manualmente sulla carta (non solo in excel dove si potrebbe ipotizzare un comportamento divergente o almeno oscillatorio a causa delle approssimazioni numeriche) mi azzarderei a dire che è evidente che Tustin non approssima bene T(S) = S. Quindi in presenza della necessità di passare da "analogico" a "digitale" non mi risulta ancora perfettamente chiaro quale approssimazione usare sia a priori che a posteriori (nel senso che in casi più complessi non è facile come per T(S) = S capire se l'andamento che risulta è sensato o meno).

Ciao e grazie per le vostre risposte
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[9] Re: Trasformate z partendo da trasformate di Laplace

Messaggioda Foto Utentedimaios » 23 ago 2016, 9:09

Robi64 ha scritto:Si può forse dire a livello molto qualitativo che IIR significa che la T(S) ha almeno un polo e quindi in risposta ad uno stimolo limitato nel tempo comunque la sua risposta ha un comportamento asintotico?
E per i FIR forse si può dire che la presenza di zeri in qualche modo va a forzare l'uscita a zero sempre con un ingresso di durata limitata?


1. Un teorema dimostra che se un sistema è internamente asintoticamente stabile allora è BIBO stabile. Vale solo per i sistemi lineari.
2. Il FIR ha una risposta impulsiva limitata per definizione per cui la convoluzione di qualsiasi ingresso con la risposta impulsiva , cioè l'uscita, è destinata ad annullarsi.
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[10] Re: Trasformate z partendo da trasformate di Laplace

Messaggioda Foto Utentedimaios » 23 ago 2016, 9:13

Robi64 ha scritto:.....mi azzarderei a dire che è evidente che Tustin non approssima bene T(S) = S. Quindi in presenza della necessità di passare da "analogico" a "digitale" non mi risulta ancora perfettamente chiaro quale approssimazione usare sia a priori che a posteriori (nel senso che in casi più complessi non è facile come per T(S) = S capire se l'andamento che risulta è sensato o meno).


Il differenziatore digitale non esiste. Qualsiasi traduzione della derivata continua nel discreto è sempre e comunque una approssimazione.
Vi sono tecniche più o meno spinte per appossimare T(s)=s nel discreto. Traccia i diagrammi di Bode nel discreto dei vari approssimanti e comprendi come funzionano.
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