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Differenza funzioni integrabili secondo Riemann e Lebesgue

Analisi, geometria, algebra, topologia...

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[11] Re: Differenza funzioni integrabili secondo Riemann e Lebesg

Messaggioda Foto Utente6367 » 31 ott 2016, 15:34

Shika93 ha scritto:Immagino che non serva a niente, come metà delle cose che si imparano all'università, ma purtroppo devo impararlo.


Lo dice anche una mia collega laureata in fisica: tra le cose più inutili che abbia studiato.
Al contrario, io che sono laureato in ingegneria, l'ho apprezzato moltissimo.
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[12] Re: Differenza funzioni integrabili secondo Riemann e Lebesg

Messaggioda Foto UtenteShika93 » 1 nov 2016, 19:41

Beh io faccio elettronica e ancora non ne vedo l'utilità.
Più che altro poi non capisco due teoremi applicati qua sopra: convergenza monotona e convergenza dominata.
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[13] Re: Differenza funzioni integrabili secondo Riemann e Lebesg

Messaggioda Foto Utentedimaios » 1 nov 2016, 22:33

Shika93 ha scritto:Beh io faccio elettronica e ancora non ne vedo l'utilità.


Benissimo. Vedrai che apprezzerai a breve.
Senza l'integrale di Lebesgue gran parte della teoria dei segnali sarebbe "aria fritta".

Se vuoi peggiorare la digestione ti consiglio anche l'integrale di Haar e quello di Ito.
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[14] Re: Differenza funzioni integrabili secondo Riemann e Lebesg

Messaggioda Foto UtenteShika93 » 2 nov 2016, 0:47

Quando capirò come si usa, mi piacerebbe.
Al momento gli esercizi fatti in classe mi sembrano fatti a caso. Tipo il calcolo del limite di un integrale di una funzione...Non ho idea di chi, cosa o come risolverli.
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[15] Re: Differenza funzioni integrabili secondo Riemann e Lebesg

Messaggioda Foto Utentedimaios » 2 nov 2016, 15:38

6367 ha scritto:
Lo dice anche una mia collega laureata in fisica: tra le cose più inutili che abbia studiato.
.....


Foto Utente6367 si può tranquillamente affermare che la tua collega non ha capito molto del corso di laurea che ha frequentato. :?


Ascolta in 3:45 fino a 5:10 , il docente è molto esplicito. :cool:

Probabilmente Foto UtentePietroBaima può confermare visto che di meccanica quantistica ne sa sicuramente più di me.
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[16] Re: Differenza funzioni integrabili secondo Riemann e Lebesg

Messaggioda Foto Utentealev » 2 nov 2016, 15:47

Shika93 ha scritto:il calcolo del limite di un integrale di una funzione...Non ho idea di chi, cosa o come risolverli.

Chi li risolve? Tu...ed EY, se vuoi :-)
Il come, dipende...ci sono vari modi che variano da caso a caso

Se ti va, postalo (con LaTeX...)
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[17] Re: Differenza funzioni integrabili secondo Riemann e Lebesg

Messaggioda Foto UtenteShika93 » 2 nov 2016, 16:09

Per esempio questo.
Mi è stato chiesto di determinare
\lim_{n \to \infty} \int_{\text{[}0, +\infty\text{]}}^{} \left ( 1+\frac{2x}{n} \right )^n e^{-3x}dx e mi è stato suggerito di farlo notando che \left ( 1+\frac{2x}{n} \right )^n \rightarrow e applicando il teorema di convergenza monotona o dominata che se non ho capito male il teorema di convergenza dominata è un caso particolare della monotona.
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[18] Re: Differenza funzioni integrabili secondo Riemann e Lebesg

Messaggioda Foto UtentePietroBaima » 2 nov 2016, 16:58

Foto Utentedimaios, non ho idea di chi fra di noi sappia più meccanica quantistica, ma posso confermare che l'integrale di Lebesgue è una tappa fondamentale nell'apprendimento di questa materia, per quanto purtroppo, iniziale.
E' come apprendere i vettori, sono fondamentali e bisogna saperli, poi però bisogna saperli anche usare.

Foto UtenteShika93, quell'integrale è un esempio straclassico.
Un altro esempio è

\lim_{n \rightarrow +\infty} \int_0^1 \sqrt{1+n^2\ x^{2n-2}}

che è la lunghezza del tratto di curva facente capo alla successione di funzioni f_n(x)=x^n fra 0 e 1.
Purtroppo la funzione f a cui converge quella successione di funzioni non è continua, quindi non ci possiamo aspettare la convergenza uniforme.
Infatti se n=1 la lunghezza di quel tratto di curva vale \sqrt{2} e tutte le curve sottese dovranno avere lunghezza maggiore, ma se scambi limite ed integrale la lunghezza fa 1. Bad news!

Il problema è che quando le cose possono andare peggio lo fanno sempre e se faccio l'integrale bene trovo una successione di lunghezze di archi di curva che tende ad 1 (non è facile da dimostrare).
Si dimostra che il problema sta nella definizione di integrale di Riemann.
Con Lebesgue è invece sempre possibile scambiare limite ed integrale e si dimostra che la successione tende a 2, pari alla somma del tratto orizzontale e del tratto verticale, quando n tende ad infinito.

Come vedi Lebesgue a qualcosa serve :D
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Io capisco le cose per come le scrivete. Per esempio: K sono kelvin e non chilo, h.z è la costante di Planck per zepto o per la zeta di Riemann e l'inverso di una frequenza non si misura in siemens.
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[19] Re: Differenza funzioni integrabili secondo Riemann e Lebesg

Messaggioda Foto Utentedimaios » 2 nov 2016, 17:05

PietroBaima ha scritto:Foto Utentedimaios, non ho idea di chi fra di noi sappia più meccanica quantistica .....


Sicuramente tu. Io sto ancora cercando di capire dove è finito il gatto di Schrödinger. :mrgreen:
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[20] Re: Differenza funzioni integrabili secondo Riemann e Lebesg

Messaggioda Foto UtenteShika93 » 2 nov 2016, 17:09

Foto UtentePietroBaima in matematichese come lo dimostro? Fino a qui ho capito che Lebesgue è bello e carino.
Già sta cosa che mi hai detto che con n=1 viene un risultato, ma se le cose cambiano ne viene un altro mi ha mandato in botta. Era su queste cose che intendevo "fatte a caso". perché? Devo studiare la convergenza della serie \left ( 1+\frac{2x}{n} \right )^n ?
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