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Equazione differenziale non lineare di primo ordine

Analisi, geometria, algebra, topologia...

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[1] Equazione differenziale non lineare di primo ordine

Messaggioda Foto Utenteingmarketz » 27 feb 2017, 14:09

salve a tutti , mi servirebbe un aiuto nel risolvere la seguente equazione.
y'+by+cy^2=a
Il procedimento da me seguito e':
(1) riconosco che e' una eq.diff. di primo ordine non lineare non omogenea
(2) cerca la soluzione come somma della sol omogenea and sol particolar
y=y_h+y_p
(3) equazione omogenea associata e':
y_h'+by_h+cy_h^2=0
la quale dovrebbe anche essere chiamata equazione differenziale di Bernoulli,
(4)chiamo
z=\frac{1}{y_h}
(5)sostituisco e mi ritrovo con:
-z'+bz+c=0
(6)che e' una equazione differenziale a coefficienti constanti lineare di primo ordine non omogenea
per cui la soluzione e' ancora della forma:
z=z_h+z_p
(7)Trovo la soluzione z come:
z=k_1e^{bt}-\frac{c}{b}
(8)ricordo che:
y_h=1/z=\frac{1}{k_1e^{bt}-\frac{c}{b}}
(9)Adesso purtroppo non riesco a trovare l'equazione particolare per y.

Innanzitutto , secondo voi il procedimento e' corretto?
sapreste dirmi come trovare la soluzione particolare?
Avete qualche suggerimento?
Ringrazio tutti in anticipo.
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[2] Re: Equazione differenziale non lineare di primo ordine

Messaggioda Foto UtentePietroBaima » 27 feb 2017, 15:09

ingmarketz ha scritto:(1) riconosco che e' una eq.diff. di primo ordine non lineare non omogenea
(2) cerca la soluzione come somma della sol omogenea and sol particolar


HEM...
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[3] Re: Equazione differenziale non lineare di primo ordine

Messaggioda Foto Utenteingmarketz » 27 feb 2017, 15:14

mhhmhh una risposta un po piu' completa sarebbe di maggiore aiuto.
Tuttavia, ho un ulteriore update che ho avuto nell'ultima ora.
Riguardando la definizione di equazione lineare, probabilmente non posso ottenere la soluzione
generale come somma della particolare e della omogenea , essendo non lineare.
Quindi il procedimento perde di senso, giusto?

Quale metodo mi consigliereste? o meglio quale altro approccio?
Grazie ancora per chiunque commenti
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[4] Re: Equazione differenziale non lineare di primo ordine

Messaggioda Foto UtenteRenzoDF » 27 feb 2017, 15:22

Non puoi trovarla in una delle due costanti soluzioni dell'equazione di secondo grado in y?
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[5] Re: Equazione differenziale non lineare di primo ordine

Messaggioda Foto UtentePietroBaima » 27 feb 2017, 15:24

Proprio così, l'equazione è non lineare.
E' un mio vizio quello di non dare risposte complete, ma puntare il dito sul teorema applicato male, quando vedo qualcuno che secondo me è valido e potrebbe farcela da solo.

Quella equazione è meno semplice di quello che sembri.
Quando trovi casi tipo quello conviene fare una ipotesi ragionevole e poi verificare che funzioni.

Allora...
Provo a sfidarti.
Dall'equazione di secondo grado io proverei a vedere se la soluzione è una tangente.

EDIT: preceduto da Foto UtenteRenzoDF (che saluto!)
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[6] Re: Equazione differenziale non lineare di primo ordine

Messaggioda Foto UtenteRenzoDF » 27 feb 2017, 15:26

Ciao Pietro O_/ ... un saluto da SB. :D
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[7] Re: Equazione differenziale non lineare di primo ordine

Messaggioda Foto UtentePietroBaima » 27 feb 2017, 15:28

O_/ O_/ con stima! (beato te, a SB, qui tempo uggiosssssssissssimo! ;-) )
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[8] Re: Equazione differenziale non lineare di primo ordine

Messaggioda Foto Utenteingmarketz » 27 feb 2017, 15:30

mhmh vi ringrazio per gli input , vediamo se ho capito, potrei fare :
y'+by+cy^2=a
la integro e diviene
y+\frac{by^2}{2}+c\frac{cy^3}{3}=ay
divido tutto per y e diviene una equazione di secondo grado
\frac{cy^2}{3}+\frac{by}{2}+(1-a)=0
e risolvo questa giusto?
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[9] Re: Equazione differenziale non lineare di primo ordine

Messaggioda Foto UtenteRenzoDF » 27 feb 2017, 15:34

Se cerchiamo una y=cost, y'=0.
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[10] Re: Equazione differenziale non lineare di primo ordine

Messaggioda Foto Utenteingmarketz » 27 feb 2017, 15:37

ok, quindi per una soluzione constante impongo y'=0
Tuttavia dal momento che non ha piu' senso trovare y come y_h+y_p
il problem e' come trovare la soluzione come funzione.
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