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Approssimazione che non comprendo

Analisi, geometria, algebra, topologia...

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[1] Approssimazione che non comprendo

Messaggioda Foto Utentebanjoman » 13 lug 2017, 17:43

E' una formula che deriva dallo studio di una modulazione ASK (energia del segnale) ma la riporto in questa sezione perche' e' un problema di tipo matematico.

L'energia media dei segnali di una costellazione e':
E_s = {d^2\over M} \sum_{k=0}^{M-1}k^2
La sommatoria, per M molto grande la si puo' pensare come un integrale e scrivere quindi:
\sum_{k=0}^{M-1}k^2 \approx \frac{(M-1)^3}{3}
usando il classico integrale. E fin qui ci sono.
Poi pero' nel testo leggo:
E_s = {d^2 \over M}\sum_{k=0}^{M-1}k^2 \approx \frac{d^2}{M} \frac{(M-1)^3}{3} \approx \frac{d^2}{3}(M^2-1)
E pur scervellandomi, non riesco a capire come abbia ottenuto l'ultima approssimazione. Ho sviluppato il termine al cubo tra parentesi ma (sara' il caldo!) non mi e' molto chiaro il passaggio dal penultimo all'ultimo termine di quella espressione... :oops:

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[2] Re: Approssimazione che non comprendo

Messaggioda Foto Utentewruggeri » 13 lug 2017, 17:52

Per M molto grande, puoi supporre che M \approx M - 1 :ok:

PS: nell'ultima formula doveva essere (M-1)^2, vero? :mrgreen:
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[3] Re: Approssimazione che non comprendo

Messaggioda Foto Utentebanjoman » 13 lug 2017, 19:19

No, e' scritta proprio cosi'.
Anche perche' in un altro libro (Digital Transmission Theory - Benedetto-Biglieri-Castellani, pag. 200) ho trovato questa formula:
\mathcal{E}=E\{\xi_k^2\} = \frac{1}{M}\sum_{i=1}^M(2i-1-M)^2\frac{d^2}{4}=\frac{M^2-1}{3}\frac{d^2}{4}
Che e' lievemente diversa a causa delle notazioni adottate, ma il passaggio dal penultimo all'ultimo termine e' ugualmente oscuro per me (se non peggio :? )
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[4] Re: Approssimazione che non comprendo

Messaggioda Foto Utentewruggeri » 13 lug 2017, 21:27

Ah, ok... allora il motivo per cui avevo supposto che l'approssimazione fosse quella di cui sopra viene meno :mrgreen:
Forse ho ragione lo stesso, però... a questo punto non so.
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[5] Re: Approssimazione che non comprendo

Messaggioda Foto Utentebanjoman » 13 lug 2017, 22:03

Figurati io :mrgreen: qua ci vuole una mente perversa...
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[6] Re: Approssimazione che non comprendo

Messaggioda Foto Utentegac » 13 lug 2017, 23:44

Credo che vada fatto così

\frac{(M-1)^3}{M} = \frac{(M-1)^2 \cdot (M-1)}{M}

Moltiplicando per M+1 a numeratore e a denominatore e supponendo M \gg 1 si ottiene

\frac{(M-1)^2 \cdot (M^2-1)}{M \cdot (M+1)} \approx M^2 - 1

con \frac{(M-1)^2 }{M \cdot (M+1)} \approx 1
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[7] Re: Approssimazione che non comprendo

Messaggioda Foto Utentebanjoman » 14 lug 2017, 11:11

Grazie Foto Utentegac, detta cosi' sembra plausibile, anche se ci voleva una discreta fantasia per arrivarci. :ok:

A mio avviso, avendo trovato quell'espressione in una dispensa universitaria, potevano ben degnarsi di scrivere due righe per illustrare i passaggi no?
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[8] Re: Approssimazione che non comprendo

Messaggioda Foto Utentegac » 14 lug 2017, 11:26

Per la serie "si lascia allo studente volenteroso la facile dimostrazione". :D

Tra l'altro al Poli non si usa più questo libro in Comunicazioni Elettriche. Ne ho scoperto l'esistenza solo ieri in questo thread.
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[9] Re: Approssimazione che non comprendo

Messaggioda Foto Utentebanjoman » 14 lug 2017, 12:31

Quel libro lo comprai tanti anni fa perche' mi piaceva, ma non era il libro ufficiale del corso. All'epoca si prendevano appunti e basta.
Io ebbi la fortuna di avere Castellani come prof e ne serbo un ottimo ricordo ancora oggi. :-)
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[10] Re: Approssimazione che non comprendo

Messaggioda Foto Utentegac » 14 lug 2017, 15:48

Io sono ancora studente e non è stato mio professore. Ovviamente di nome so chi è, anche per ben noti motivi non accademici. Tutti quelli che lo hanno conosciuto in veste di docente ne parlano sempre molto bene.
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