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Affinare il linguaggio

Analisi, geometria, algebra, topologia...

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[61] Re: Affinare il linguaggio

Messaggioda Foto UtenteIanero » 13 mar 2018, 11:21

Torno di nuovo a romperti le scatole, perdonami.
A pagina 104 - Sec. 3.1.5 - Problema 1 (sempre del solito libro) mi chiede di far vedere che un numero x \in \mathbb{R} è razionale se e solo se la sua espressione q-aria per qualunque base q è periodica da un certo indice in poi (cioè i digits si ripetono uguali a gruppi).

A me sembra che ciò che mi chiede di dimostrare sia falso.
Prendiamo in considerazione una delle due implicazioni che mi chiede di far vedere:

x \in \mathbb{R} ha un'espressione periodica per qualunque base q \Rightarrow x \in \mathbb{Q}

Ma il seguente numero:

x=1 \cdot \sqrt{2}^{0}+1 \cdot \sqrt{2}^{-1}+1 \cdot \sqrt{2}^{-2}+...+1 \cdot \sqrt{2}^{-n}+...

che ovviamente verifica l'ipotesi della proposizione sopra, non è razionale in quanto:

x=\sum_{n=0}^{\infty }{\left( \frac{1}{\sqrt{2}} \right)^{n}}=\frac{1}{1-\frac{1}{\sqrt{2}}} \in \mathbb{R} \setminus \mathbb{Q}

Sono invece riuscito a dimostrare questa implicazione:

x \in \mathbb{R} ha un'espressione periodica per qualunque base q razionale \Rightarrow x \in \mathbb{Q}

Sbaglio io o sbaglia lui?

Grazie in anticipo.
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[62] Re: Affinare il linguaggio

Messaggioda Foto UtenteDirtyDeeds » 16 mar 2018, 21:40

Direi che \sqrt{2} non è un numero adatto a fare una base: se guardi la parte dove sviluppa la notazione posizionale vedrai che le cifre di un numero costruito in quel modo sono comprese tra 0 e q-1: quindi se scegli q = \sqrt{2}, l'unica cifra ammessa è lo 0, e quindi l'unico numero rappresentabile in quella base è 0.

Un'interessante base irrazionale la puoi trovare in questo articolo: G.
Bergman, A number system with an irrational base

Comunque bravo, sei molto attento a cercare controesempi e mancanze nelle ipotesi dei teoremi proposti! :D
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[63] Re: Affinare il linguaggio

Messaggioda Foto UtenteIanero » 16 mar 2018, 23:42

Ricevere un complimento da te è tipo un nobel, grazie.
Comunque è vero, ho scelto \sqrt{2} non a caso, ma proprio perché a me non torna neanche questo:

DirtyDeeds ha scritto:se guardi la parte dove sviluppa la notazione posizionale vedrai che le cifre di un numero costruito in quel modo sono comprese tra 0 e q-1


Infatti lui dice che i vari \alpha_ {p-n}, che sono interi, appartengono all'insieme: \{0,1,2,...,q-1\}, ma in realtà tutta la dimostrazione che fa lui non usa affatto l'ipotesi (e infatti non la mette) che q sia intero, ma solo che sia un reale maggiore di 1.
Infatti mi sono rifatto i calcoli e l'unica cosa che viene da quella dimostrazione è che 0\leq \alpha_ {p-n}<q, il che significa questo: \alpha_{p-n} \in \{0,1,2,...,\left \lceil q-1 \right \rceil\} (le parentesi quadre con il segno solo in alto indicano la parte intera superiore).
Quindi dovrei concludere che in base q=\sqrt{2} i digits ammessi sono sia 0 che 1.
Se sbaglio non capisco dove :?

Poi, per favore, ti chiedo di chiarirmi anche quest'altra cosa se hai tempo: giustamente lui dimostra che nessuna successione di digits che abbia sempre la cifra massima ammessa da un certo indice in poi, rappresenta un qualche numero reale positivo.
Però sembra che apparentemente il seguente "contro esempio" dica il contrario:

0.9999...=\lim_{n \to \infty}\sum_{k=1}^{n}9 \cdot 10^{-k}=9 \cdot \frac{1}{9}=1 \in \mathbb{R}^+

Non riesco a spiegarmelo...

Grazie mille della disponibilità. :)

Un'interessante base irrazionale la puoi trovare in questo articolo: G.
Bergman, A number system with an irrational base

Thank you!
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[64] Re: Affinare il linguaggio

Messaggioda Foto UtenteArchimede1 » 4 apr 2018, 14:36

Ianero ha scritto:nessuna successione di digits che abbia sempre la cifra massima ammessa da un certo indice in poi, rappresenta un qualche numero reale positivo.
Però sembra che apparentemente il seguente "contro esempio" dica il contrario:

0.9999...=\lim_{n \to \infty}\sum_{k=1}^{n}9 \cdot 10^{-k}=9 \cdot \frac{1}{9}=1 \in \mathbb{R}^+

Non riesco a spiegarmelo...


Ciao, qui se ho capito il problema, forse posso esserti utile io, il problema (ripeto se non ho capito male) dipende da come definisci un numero razionale, se lo definisci come allineamento decimale ottenutotramite
divisione euclidea
allora non puoi avere periodo con cifra massima.

Es. per assurdo r = c,99999999....
si ha che per ogni n c+ 9/10 + ... + 9/10^n =< r < c + 9/10 + ....+ 9/10^n + 1/10^n
RHS da c + 1
LHS da c + 1 - 1/10^n,
quindi avresti per ogni n 1-1/10^n < r - c < 1 ovvero per ogni n 0< c+ 1 - r < 1/10^n che per l'arbitrarietà di n risulta assurdo.

Per estensione se costruisci i reali per allineamento decimale partendo da quella costruzione dei razionali non puoi avere periodo con cifra massima.
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[65] Re: Affinare il linguaggio

Messaggioda Foto UtentePietroBaima » 4 apr 2018, 14:40

Vi ricordate quella formuletta che aiuta a passare da un numero periodico ad una frazione?

Chi me la applica con 0.9 periodico? :D
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[66] Re: Affinare il linguaggio

Messaggioda Foto UtenteIanero » 4 apr 2018, 18:46

Si quella dimostrazione la conosco e non fa una piega, ed è proprio perché non fa una piega che non mi spiego come mai allora prendendo come caso particolare quello che ho scritto:

0.9999...=\lim_{n \to \infty}\sum_{k=1}^{n}9 \cdot 10^{-k}=9 \cdot \frac{1}{9}=1 \in \mathbb{R}^+

sembra esserci una contraddizione, perché come caso particolare ho trovato una successione di digits convergente ad un numero reale positivo, quando invece una successione così formata (q=10, \alpha _{-n}=9\; \; \forall n \in \mathbb{N}) non dovrebbe convergere a nessun reale positivo proprio per la dimostrazione di cui parli.
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[67] Re: Affinare il linguaggio

Messaggioda Foto UtenteArchimede1 » 4 apr 2018, 22:54

Ancora non vorrei sbagliare, ma in quel modo stai considerando un limite di successione convergente, la successione 9/10 , 9/10 + 9/10^2 , 9/10 +....+9/10^n ..... sbirciando su Wikipedia viene fuori che questa è un'altra costruzione di R quella per successioni di cauchy dovuta a cantor, a questo punto non costruisci più R come estensione dell'allineamento decimale di Q che hai ottenuto mediante divisione euclidea ma come insieme dei limiti delle successioni di cauchy di Q.
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[68] Re: Affinare il linguaggio

Messaggioda Foto UtenteIanero » 4 apr 2018, 22:59

Io parto da \mathbb{R} come insieme che soddisfa una lista di assiomi e poi ottengo gli altri come suoi sottoinsiemi.
Non credo il problema sia legato a come si definisce \mathbb{R}, ma potrei sbagliarmi ovviamente...
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[69] Re: Affinare il linguaggio

Messaggioda Foto UtentePietroBaima » 5 apr 2018, 0:00

qual è la ragione di quella serie geometrica?
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[70] Re: Affinare il linguaggio

Messaggioda Foto UtenteIanero » 5 apr 2018, 0:21

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