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Campionamento ideale di una cosinusoide

teoria dei segnali, elaborazione, trasformate Z, Fourier, segnali caratterizzati da processi e variabli aleatorie, stimatori, DSP

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[1] Campionamento ideale di una cosinusoide

Messaggioda Foto Utentebanjoman » 18 set 2017, 18:44

Mi ritrovo a ripassare alcune cosette studiate taaanti anni fa e come al solito ogni tanto mi "inceppo" (arteriosclerosi galoppante?).
Ho una cosinusoide di frequenza f_m e la sottocampiono volutamente, per visualizzare cosa accade quando non si rispetta la condizione di Nyquist.

La cosinusoide nel dominio della frequenza sara' espressa come:
S(f)=\frac{1}{2}[\delta(f-f_m)+\delta(f+f_m)]
Sia f_s=1/T_s la frequenza di campionamento. Con un campionamento ideale si ottiene:

S_c(f)=\frac{1}{T_s}\sum_nS(f-nf_s)=\frac{1}{2T_s}\sum_n[\delta(f-nf_s-f_m)+\delta(f-nf_s+f_m)]

Pongo volutamente f_s=\frac{1}{2}f_m (sottocampiono a meta' della frequenza della sinusoide). Si ottiene allora:

\frac{1}{2T_s}\sum_n[\delta(f-(n+2)\frac{f_m}{2})+\delta(f-(n-2)\frac{f_m}{2})=\frac{1}{T_s}\sum_n\delta(f-n\frac{f_m}{2})

Il mio problema e' che non riesco a capire come si ottiene l'ultima espressione. Sono sicuro che mi sto perdendo in un bicchier d'acqua ma tant'e... :roll:
Se funziona quasi bene, è tutto sbagliato. A.Savatteri/M.Mazza
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[2] Re: Campionamento ideale di una cosinusoide

Messaggioda Foto Utentebanjoman » 19 set 2017, 11:03

Credo si debba ragionare cosi': abbiamo una sommatoria di coppie di delta simmetricamente disposte a

(n+2)fm/2
e
(n-2)fm/2.

E' chiaro che la loro ampiezza e' identica (unitaria).

Allora

\delta[f-(n+2)f_m/2]+\delta[f-(n-2)f_m/2] = 2\delta[f-(n-2)f_m/2]

(per esempio)

Dato che la sommatoria si estende da meno inf a piu' inf, scrivere

\sum_{-\infty}^{+\infty}2\delta[f-(n-2)f_m/2]

equivale a dire

\sum_{-\infty+2}^{+\infty+2}2\delta[f-(n-2)f_m/2]

dove sfruttiamo la proprieta'

\sum_{k = 1}^n a_k = \sum_{k=1+m}^{n+m}a(k-m)

e' evidente che allora possiamo dire che alla fine,

\sum_{-\infty+2}^{+\infty+2}2\delta[f-(n-2)f_m/2]=\sum_{-\infty}^{+\infty}2\delta[f-nf_m/2]

Siete d'accordo col mio ragionamento?
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[3] Re: Campionamento ideale di una cosinusoide

Messaggioda Foto Utentegac » 19 set 2017, 12:15

Provo a darti questa spiegazione, non so se sarà chiara.

\sum_n \delta \left( f-\frac{n+2}{2}f_m \right) + \delta \left( f-\frac{n-2}{2}f_m \right) = \sum_n \delta \left( f-\frac{n+2}{2}f_m \right) + \delta \left( f-\frac{n+2-4}{2}f_m \right)

quindi - sfruttando la linearità della sommatoria - si riscrive come

\sum_n \delta \left( f-\frac{n+2}{2}f_m \right) + \sum_k \delta \left( f-\frac{k+2}{2}f_m + 2f_m \right)

Ho usato una variabile k per la seconda sommatoria. Si può osservare che per k=n+4 le delta di dirac si sovrappongono perfettamente, per esempio con n=-2 e k=2 si hanno due delta centrate in 0. Dal momento che i coefficienti della sommatoria sono infiniti, ci saranno infinite coppie sovrapposte, quindi puoi semplicemente trattare le sue sommatorie come il doppio di una delle due, ovvero

\sum_n \delta \left( f-\frac{n+2}{2}f_m \right) + \sum_k \delta \left( f-\frac{k+2}{2}f_m + 2f_m \right) = 2 \sum_n \delta \left( f-\frac{n+2}{2}f_m \right)
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[4] Re: Campionamento ideale di una cosinusoide

Messaggioda Foto Utentebanjoman » 19 set 2017, 13:18

Ottimo ma...proseguendo la tua esposizione, il risultato finale che io citavo all'inizio

2\sum_n\delta(f-nf_m/2)

in base a quale ragionamento/deduzione matematico viene ottenuto?

Possiamo dire forse che, essendo una sommatoria di infiniti termini

2\sum_n\delta(f-\frac{(n+2)}{2}f_m)=2\sum_n\delta(f-nf_m/2)

?
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[5] Re: Campionamento ideale di una cosinusoide

Messaggioda Foto Utentegac » 19 set 2017, 13:25

Siccome n assume valori infiniti, l'offset può essere trascurato, tanto il treno di impulsi non cambia, nel senso che le frequenze a cui le delta si trovano sono le stesse, quindi

2\sum_{n=-\infty}^{+\infty} \delta(f- \frac{n+2}{2}f_m) = 2\sum_{n=-\infty}^{+\infty}\delta(f-nf_m/2)
Ultima modifica di Foto Utentegac il 19 set 2017, 13:32, modificato 1 volta in totale.
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[6] Re: Campionamento ideale di una cosinusoide

Messaggioda Foto Utentebanjoman » 19 set 2017, 13:27

Abbiamo scritto nel medesimo istante. :D
Grazie per il tuo prezioso aiuto! :ok:
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[7] Re: Campionamento ideale di una cosinusoide

Messaggioda Foto Utentegac » 19 set 2017, 13:31

Prego figurati O_/

Esatto, non avevo letto la modifica :D
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