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Funzione di trasferimento: fase, zeri, poli e Bode

Circuiti e campi elettromagnetici

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[11] Re: Funzione di trasferimento: fase, zeri, poli e Bode

Messaggioda ucr » 3 apr 2018, 22:03

dimaios ha scritto:Si dimostra che sull'asse immaginario risiede la risposta in frequenza del sistema che stai analizzando per cui la trasformata di Laplace F(s) calcolata per s=i\omega fornisce modulo e fase della trasformazione ingresso uscita del tuo sistema.

Fatico a comprendere come si dimostra, ma suppongo di dover prendere queste parole come un assunto vista la situazione. E poi \omega è sempre 2 \pi f?
dimaios ha scritto:Prendi in considerazione il sistema RC in figura e prova a ricavare la funzione di trasferimento nella Laplace trasformata .... la "regola" deriva immediatamente dallo svolgimento di alcuni passaggi.

Non saprei come applicare la trasformata di Laplace nella pratica. So ricavarmi la funzione di trasferimento, ma non in maniera ortodossa; io procedo così:
  • applico Kirchhoff alla maglia di ingresso;
  • applico Kirchhoff alla maglia di uscita;
  • dove vedo un condensatore ci metto un bel \frac{1}{sC}, dove c'è un induttore sostituisco con sL, giusto perché mi dicono che è così;
  • faccio il rapporto tra l'espressione della maglia di uscita con quella di ingresso.
quindi nella fattispecie , verrebbe:
V_i = i \frac{1+ sCR}{sC}
e
V_o = i \frac{1}{sC}
dunque
\frac{V_o}{V_i} = \frac{1}{1+sCR}
solo che con Laplace non saprei come fare. Procedo di ignoranza e dogmi.
sebago ha scritto:A questo punto la domanda è:
"sai tracciare i diagrammi di Bode (modulo e fase) di ciascuna di queste funzioni elementari?"

In tutta sincerità no. O meglio, ho visto delle tabelle, ma non riesco ad impiegarle correttamente.
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[12] Re: Funzione di trasferimento: fase, zeri, poli e Bode

Messaggioda Foto Utentedimaios » 3 apr 2018, 23:26

ucr ha scritto:E poi \omega è sempre 2 \pi f?


Per definizione. \omega sono i radianti al secondo mentre f sono gli angoli giri al secondo.

ucr ha scritto:solo che con Laplace non saprei come fare. Procedo di ignoranza e dogmi.


Lo hai appena fatto. ;-)

Se scrivi le relazioni nel dominio del tempo hai :

v(t) = R i(t)

Nella Laplace trasformata la moltiplicazione per costante rimane uguale per cui :

V(s) = R I(s)

da cui deriva :

\frac{V(s)}{I(s)} = R


Per il condensatore invece hai che nel tempo :

i(t) = C \frac{dv(t)}{dt}

Ma siccome la derivata nella Laplace trasformata equivale a moltiplicare la funzione V(s) per s ( questa proprietà è illustrata in qualsiasi libro di riferimento ) abbiamo :

I(s) = C s V(s)

Per cui il rapporto tensione corrente risulta:

\frac{V(s)}{I(s)}  = \frac{1}{sC}

Il circuito equivalente nella trasformata di Laplace risulta quindi :


La funzione di trasferimento ingresso uscita risulta proprio quella che hai scritto :

\frac{Y(s)}{U(s)} = \frac{1}{1+sCR}

Siccome il prodotto RC ha le dimensioni di un tempo chiamiamolo \tau

\frac{Y(s)}{U(s)} = \frac{1}{1+\tau s }


A questo punto dobbiamo studiare questa funzione di trasferimento che chiamiamo G(s) :


G(s) = \frac{1}{1+\tau s }

Valutiamo la risposta in frequenza sostituendo alla variabile s= \sigma + i\omega ( tutto il piano complesso ) solo l'asse immaginario ovvero s = i\omega.

Dopo la sostituzione calcola il modulo del risultato e poi continuiamo. :ok:
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[13] Re: Funzione di trasferimento: fase, zeri, poli e Bode

Messaggioda ucr » 4 apr 2018, 13:23

dimaios ha scritto:
ucr ha scritto:E poi \omega è sempre 2 \pi f?


Per definizione. \omega sono i radianti al secondo mentre f sono gli angoli giri al secondo.

ucr ha scritto:solo che con Laplace non saprei come fare. Procedo di ignoranza e dogmi.


Lo hai appena fatto. ;-)

Se scrivi le relazioni nel dominio del tempo hai :

v(t) = R i(t)

Nella Laplace trasformata la moltiplicazione per costante rimane uguale per cui :

V(s) = R I(s)

da cui deriva :

\frac{V(s)}{I(s)} = R

Dunque la tensione la tensione v(t) nell'istante t per la legge di Ohm vale il prodotto tra la corrente i(t) nell'istante t e la resistenza R. Consultando una tabella vedo che
R L(i(t)) = L(Ri(t))
quindi R che è costante la posso "portare fuori" e applicando Laplace il tutto diventa così:
V(s) = R I(s)
e quindi
\frac{V(s)}{I(s)} = R
e fino a qui dovrebbe filare, giusto?

Da qui in poi mi sono perso perché non riesco ad applicare le derivate in queste formule. Mi spiego: la derivata di X è 1, ma se faccio dt dovrebbe comunque venire 1, no? Però non penso che sia possibile altrimenti che ce lo mettono a fare questo dt? Ti dirò infatti che chi ha meno voglia di fare di tutti quanti è proprio il prof. di matematica e direi che si nota.
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[14] Re: Funzione di trasferimento: fase, zeri, poli e Bode

Messaggioda Foto Utentedimaios » 4 apr 2018, 14:11

Una delle proprietà della trasformata di Laplace dice questo :

Se una funzione f(t) ha come trasformata di Laplace \mathcal {L} [ f(t) ] = F(s) allora si ha che :

\mathcal  L \left( \frac{df(t)}{dt} \right) = sF(s) - f(0)

Se la condizione iniziale è nulla cioè f(0) = 0 si ha che :

\mathcal  L \left( \frac{df(t)}{dt} \right) = sF(s)

In definitiva se una funzione f(t) ha come trasformata F(s) la sua derivata \frac{df(t)}{dt} ha trasformata sF(s).


Come vedi, la derivata nel tempo può essere una operazione anche molto lunga e complicata che potrebbe introdurre degli errori nel calcolo.
Invece di derivare la funzione f(t) nel tempo e poi trasformarla nel dominio di Laplace, si moltiplica la sua trasformata F(s) per la variabile complessa s e si ottiene il medesimo risultato.

Questo è uno dei casi in cui la trasformata ti semplifica i calcoli non poco.

Nel caso specifico avevamo che :

i(t) = C \frac{dv(t)}{dt}

Per quanto precedentemente spiegato, se la trasformata di Laplace di v(t) è V(s) allora la trasformata di \frac{dv(t)}{dt} è sV(s).

Da questo si ha :

I(s) = sCV(s)

da cui :

\frac{V(s)}{I(s)} = \frac{1}{sC}

Tutto chiaro ?
Se si procedi con il calcolo che ti avevo proposto in precedenza per ricavare il modulo della funzione di trasferimento del filtro RC.
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[15] Re: Funzione di trasferimento: fase, zeri, poli e Bode

Messaggioda Foto Utentedimaios » 4 apr 2018, 14:14

ucr ha scritto: ..... Mi spiego: la derivata di X è 1, ma se faccio dt dovrebbe comunque venire 1, no? Però non penso che sia possibile altrimenti che ce lo mettono a fare questo dt? ....


:shock: Questa frase è priva di senso, non si capisce cosa chiedi e dove vuoi arrivare.
Se hai problemi di comprensione sulla definizione di derivata non è il caso di insistere sulle trasformate di Laplace.
Cosa vuol dire che la derivata di X è 1 ? Chi è X ?

ucr ha scritto:Ti dirò infatti che chi ha meno voglia di fare di tutti quanti è proprio il prof. di matematica e direi che si nota.


Si nota da cosa ? Dal fatto che non hai appreso le basi del calcolo differenziale ?
Direi di no. Chi legge il thread non può fare nessuna ipotesi sulla qualità delle lezioni del tuo professore di matematica.
Se realmente non ti ha dato gli strumenti del caso è un problema tuo perché devi costruirteli senza il suo ausilio. Non è corretto ma è così.
Il fatto che un insegnante non svolga correttamente il suo lavoro va denunciato nelle sedi opportune, in questo forum a parte lo sfogo personale non serve granchè.
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[16] Re: Funzione di trasferimento: fase, zeri, poli e Bode

Messaggioda ucr » 4 apr 2018, 15:13

dimaios ha scritto:Si nota da cosa ? Dal fatto che non hai appreso le basi del calcolo differenziale ?
Direi di no. Chi legge il thread non può fare nessuna ipotesi sulla qualità delle lezioni del tuo professore di matematica.
Se realmente non ti ha dato gli strumenti del caso è un problema tuo perché devi costruirteli senza il suo ausilio. Non è corretto ma è così.
Il fatto che un insegnante non svolga correttamente il suo lavoro va denunciato nelle sedi opportune, in questo forum a parte lo sfogo personale non serve granchè.

Sono d'accordo, la responsabilità è comunque mia che non fatto nulla per rimediare. Detto questo ti ringrazio per la disponibilità. Sono sicuro che i tuoi preziosi interventi saranno di aiuto ad altri studenti. Io intanto vedo di fare un po' di matematica visto che senza non si fa nulla.
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[17] Re: Funzione di trasferimento: fase, zeri, poli e Bode

Messaggioda Foto Utentesebago » 4 apr 2018, 17:17

ucr ha scritto:
sebago ha scritto:"sai tracciare i diagrammi di Bode (modulo e fase) di ciascuna di queste funzioni elementari?"

In tutta sincerità no. O meglio, ho visto delle tabelle, ma non riesco ad impiegarle correttamente.

Beh, allora è un bel problema.
La "soluzione" ci sarebbe, sta in qualsiasi libro di testo che tratti del problema o in rete, ma se vuoi ti posso mandare un file che ne parla in maniera sintetica (mandami la tua mail in MP).
Ho anche un altro file che spiega in maniera abbastanza comprensibile le trasformate di Laplace, che Foto Utentedimaios, con ammirabile chiarezza e encomiabile pazienza, ti ha descritto sopra.
Un cosa è chiara: hai parecchio da fare e il tempo non è molto.
Lamentarsi (di sé o del prof), come ti si diceva, è comprensibile - non giustificabile - ma non è utile.
Consiglio: studia tanto, e quando hai bisogno, chiedi. Nei limiti del possibile qui sarà possibile trovare una mano d'aiuto.
Sebastiano
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