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Filtro dig. Butterworth: passaggio da FDT in s a FDT in z

Elettronica lineare e digitale: didattica ed applicazioni

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[11] Re: Filtro dig. Butterworth: passaggio da FDT in s a FDT in

Messaggioda Foto Utenteg.schgor » 18 giu 2018, 14:06

qual è la frequenza di campionamento con cui è stata ricavata S(z)?
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[12] Re: Filtro dig. Butterworth: passaggio da FDT in s a FDT in

Messaggioda Foto UtenteExodus » 18 giu 2018, 16:00

g.schgor ha scritto:qual è la frequenza di campionamento con cui è stata ricavata S(z)?

Dai miei calcoli risulta essere :

S_{r}=1MHz
S_{r} =Sample rate
;-)
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[13] Re: Filtro dig. Butterworth: passaggio da FDT in s a FDT in

Messaggioda Foto Utenteg.schgor » 18 giu 2018, 16:28

OK, ma i miei calcoli si bloccano su c1...(puoi verificarne il valore?)
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[14] Re: Filtro dig. Butterworth: passaggio da FDT in s a FDT in

Messaggioda Foto UtenteExodus » 18 giu 2018, 16:36

In pratica il risultato è questo:

S_{t}\left ( z \right )\sim \frac{0.47\cdot 10^{-3}+0.94\cdot 10^{-3}z^{-1}+0.47\cdot 10^{-3}z^{-2}}{1-1.94z^{-1}+0.94z^{-2}}

g.schgor ha scritto:OK, ma i miei calcoli si bloccano su c1...(puoi verificarne il valore?)

Cosa intendi ?
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[15] Re: Filtro dig. Butterworth: passaggio da FDT in s a FDT in

Messaggioda Foto Utenteg.schgor » 18 giu 2018, 19:05

Sto verificando il comportamento di S(z) nel tempo,
con x sinusoidale a diverse frequenze, ma il calcolo di
y si blocca su c1
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[16] Re: Filtro dig. Butterworth: passaggio da FDT in s a FDT in

Messaggioda Foto UtenteExodus » 18 giu 2018, 19:52

g.schgor ha scritto:Sto verificando il comportamento di S(z) nel tempo,
con x sinusoidale a diverse frequenze, ma il calcolo di
y si blocca su c1

Può postare i vari calcoli, perché cosi' non riesco a capire il problema :oops:
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[17] Re: Filtro dig. Butterworth: passaggio da FDT in s a FDT in

Messaggioda Foto Utentedimaios » 18 giu 2018, 23:39

EcoTan ha scritto:
EcoTan ha scritto:non la ho mai studiata seguendo un qualche corso regolare

Non mi è chiara l'utilità della f.d.t.(Z) in forma fratta.
Alla fine quello che dobbiamo fare non è il programma?


Appunto, e quello che ha calcolato è un filtro IIR digitale che può essere implementato in varie forme nel codice.

mentos ha scritto:
Esistono delle [b] relazioni dirette che mi permettano di passare dalla S_t(s) alla S_t(z) senza dover fare il calcolo seguente?[/b]
z=\frac{1+(\frac{T}{2})s}{1-(\frac{T}{2})s} oppure s=\frac{1-z^{-1}}{T}


Dipende dalla forma.
Per esempio esiste il "Cookbook formulae for audio EQ biquad filter coefficients" del mitico Robert Bristow-Johnson ( un autentico mostro del digital signal processing ).

Link

Sono specializzate per equalizzatori in campo audio ma trovi anche altri documenti dove sono "tabellati" coefficienti per trasformare alcune comuni funzioni di trasferimento dal continuo al discreto.
Attenzione però al criterio di ottimizzazione impiegato ( vedi risposta seguente relativa alle formule analitiche ).

mentos ha scritto:....se esistevano delle formule analitiche che mi permettessero di passare da una FDT ad un'altra .....


Tutte le mappature s \to z sono approssimazioni in quanto non è possibile mappare un semipiano in un cerchio senza generare una "distorsione". Tra le altre cose a volte non si mappa neanche il piano in un cerchio ma il piano in un'altra porzione di piano.
A seconda della caratteristica che vuoi preservare dal continuo al discreto impieghi una diversa approssimazione.
Te ne elenco alcuni ma ce ne sono moltissimi :

1. Metodo di Eulero differenze in avanti
2. Metodo di Eulero differenze all'indietro
3. Trasformazione di Tustin con e senza warping compensation
4. Mappatura zeri-poli
5. Matching della risposta impulsiva
6. Differenziatore di Al-Alaoui
7. Sliding mode differentiator
8. High-order observers
ecc.

In generale qualsiasi modo per emulare la derivata ideale nel continuo s nel mondo discreto va bene ma bisogna fare poi i conti con la semplicità implementativa, la propagazione degli errori, la stabilità numerica e "controllistica" nonchè gli scalamenti numerici della struttura che implementa il filtro digitale ( es. vedi filtro lattice ).

Il differenziatore numerico è una brutta bestia e rappresenta ancora oggi un campo di ricerca aperto.
Prova a derivare un segnale analogico affetto da rumore ; cosa ottieni ? Mediamente un disastro. Se lo filtri rallenti la risposta che è il contrario di ciò che vorresti fare, infatti l'azione derivativa anche nel controllo serve per accelerare la risposta per cui filtrando il segnale si elide il beneficio della differenziazione.
Un bel problema insomma. ;-)

Ho affrontato varie volte il problema della discretizzazione in applicazioni industriali e devo dire che non esiste una "tecnica migliore", bisogna valutare volta per volta.
In genere comunque, se i poli discreti non sono troppo vicini al cerchio unitario, Tustin con warping compensation è un sistema che da una certa soddisfazione a patto che il rumore sovrapposto al segnale non sia esagerato.

Nel caso in cui vi sia una forte componente di rumore sul segnale è preferibile un differenziatore sliding mode del secondo ordine.
In particolare sono efficaci i differenziatori che impiegano il Super-Twisting ma ancora meglio i Discontinuous High-Gain Differentiators.
Su internet trovi la letteratura senza problemi ma attenzione .... la matematica alla base non è affatto elementare anche se l'implementazione è piuttosto semplice ed è quest'ultimo l'obiettivo fondamentale nella realizzazione di un sistema industriale ( sottintesa la funzionalità ovviamente ). :ok:
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[18] Re: Filtro dig. Butterworth: passaggio da FDT in s a FDT in

Messaggioda Foto Utenteg.schgor » 20 giu 2018, 8:56

Ho fatto funzionare il filtro invertendo i segni di c1 e c2
Il risultato su 5kHz con terza armonica al 30% è questo:
trasfZ.gif
trasfZ.gif (17.56 KiB) Osservato 676 volte
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[19] Re: Filtro dig. Butterworth: passaggio da FDT in s a FDT in

Messaggioda Foto Utentementos » 21 giu 2018, 9:42

Salva a tutti,
innanzitutto grazie mille per le risposte.
Il mio dubbio era relativo al passaggio della FDT, al quale mi avete ovviamente risposto e fornito più indicazioni di quelle che mi aspettavo.
Un grazie a tutti quanti..
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