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Esercizio sistema PCM

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[1] Esercizio sistema PCM

Messaggioda Foto Utenteoiram92 » 3 lug 2018, 16:31

Buon pomeriggio, sto provando a svolgere (senza successo) il seguente esercizio:

La distribuzione delle ampiezze di un segnale analogico x(t) di banda 5 kHz è la seguente:



Il segnale viene quantizzato uniformemente e codificato con codice a lunghezza costante, quindi trasmesso con segnalazione ideale su un canale AWGN di banda 30 kHz. Supponendo di avere in uscita al canale un SNR pari a 0 dB, di volere garantire un BER prossimo a zero, determinare:

a) il numero massimo di livelli di quantizzazione;
b) l’SNRQ massimo;
c) il codice di Huffman se si vuole una codifica a rate variabile;

Innanzitutto, affinchè f_X(x) sia una densità di probabilità deve avere area unitaria. Calcolando l'area complessiva dalla figura si vede che deve essere h=1/2.

Adesso, per il punto a) considero la definizione di capacità di canale e (avendo a disposizione il SNR in uscita) la eguaglio con il teorema di Shannon-Hartley ottenendo:

B_C \cdot \log_2{1+SNR_o} = 2\;B_X \cdot \log_2{M}  \;\;\;\;\;\; \rightarrow \;\;\;\;\;\; M=8

quindi il quantizzatore uniforme deve essere ad 8 livelli (rappresentabili con 3 bit).

Per il punto b), per calcolare il SNR di quantizzazione calcolo la potenza del segnale come:

P_X = 2\cdot \int_{0}^{1.5} x^2 \cdot f_X(x) \;dx = 2 \; \left( \int_{0}^{0.5} x^2 \cdot 2x \; dx + \int_{1}^{1.5} x^2 \cdot (-2x + 3) \; dx  \right) = 0.75

Mentre per la potenza del rumore di quantizzazione, essendo una quantizzazione uniforme:

P_Q = \int_{-\alpha}^{\alpha} \frac{x^2}{2\alpha} \;dx = \frac{\alpha^2}{3}

in cui ho considerato un rumore uniformemente distribuito nell'intervallo [-\alpha,\alpha]. Adesso però arriva il problema..sui miei appunti trovo che "se x(t) ha una distribuzione delle ampiezze uniforme possiamo considerare il rumore di quantizzazione uniformemente distribuito tra \pm \Delta/2 (passo di quantizzazione)". Il problema è che x(t) non è una distribuzione uniforme ma regolare a tratti..quindi come mi comporto?

Se uso la semiampiezza del passo di quantizzazione (in questo caso \Delta = 0.375) ottengo un SNRQ di 18.06 dB ma nella soluzione trovo 21.6 dB..Facendo un po' di reverse engineering trovo che il valore corretto di \alpha è di \approx 0.124 che è praticamente un terzo del passo di quantizzazione. Ma come si arriva a questo risultato senza conoscerne la soluzione?
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