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Dubbi esercizi di esame Teoria dei Segnali

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[41] Re: Dubbi esercizi di esame Teoria dei Segnali

Messaggioda Foto Utentedimaios » 19 lug 2018, 14:18

Ora non riesco a risponderti ma ti faccio osservare un paio di cose.

1. Se da e^{-j\pi \frac{3k}{4}}-e^{-j\pi \frac{5k}{4}} raccogli un termine del tipo e^{-j\pi k} già viene una scrittura più gestibile visto che riesci a ricavare un \sin(\cdot) e subito dopo un sinc(\cdot).

2. Hai una certa specializzazione nel complicarti la vita. Siccome quello è un segnale periodico sotto certe condizioni sarà sviluppabile in Serie di Fourier di cui puoi calcolarti agevolmente i coefficienti. Tu invece vuoi per forza calcolarti la Trasformata di Fourier per qualche motivo che mi sfugge. Non è teoricamente errato ma ti vai a cacciare in una serie di calcoli che solo alla fine, se corretti, ti porteranno al medesimo risultato.

perché non provi a calcolarti i coefficienti della Serie di Fourier?
Una volta trovati li metti su un diagramma in frequenza, sovrapponi il filtro ed hai completato l'esercizio.

Anche se non vuoi applicare le proprietà del caso gli integrali si calcolano abbastanza rapidamente.
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[42] Re: Dubbi esercizi di esame Teoria dei Segnali

Messaggioda Foto Utentemsb0ne » 19 lug 2018, 14:27

ok grazie, vedo come fare e riposto i miei risultati
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[43] Re: Dubbi esercizi di esame Teoria dei Segnali

Messaggioda Foto Utentemsb0ne » 19 lug 2018, 15:06

in effetti vedendo meglio il risultato potevo metterlo in forma più elegante raccogliendo quel fattore come dicevi tu, in definitiva ho il seguente sviluppo in serie:

X_{k}=\frac{1}{4}e^{-j\pi k}\text{sinc}(\frac{k}{4})

ma adesso non ho capito, per calcolare i coefficienti dovrei fare:

X_{0}=\frac{1}{4}\text{per k = 0}

X_{1}=\frac{1}{4}e^{-j\pi}\text{sinc}(\frac{1}{4})\text{per k = 1}

X_{-1}=\frac{1}{4}e^{j\pi}\text{sinc}(-\frac{1}{4})\text{per k = -1}

X_{2}=\frac{1}{4}e^{-2j\pi}\text{sinc}(\frac{1}{2})\text{per k = 2}

X_{-2}=\frac{1}{4}e^{2j\pi}\text{sinc}(-\frac{1}{2})\text{per k = -2}

e cosi' via? non so che ragionamento applicare analiticamente
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[44] Re: Dubbi esercizi di esame Teoria dei Segnali

Messaggioda Foto UtenteExodus » 19 lug 2018, 16:23

msb0ne ha scritto: non so che ragionamento applicare analiticamente

Che ne dici di partire descrivendo il segnale nel tempo ?

x\left ( t \right )=\left\{\begin{matrix}
2 & 0\leq t< 1\\ 
 0&1\leq t< 7 \\ 
 2& 7\leq t< 8
\end{matrix}\right.

Lo resa una funzione pari in maniera che il calcolo sia più semplice.
Calcolo la continua:

a_{0}=\frac{1}{4}\int_{0}^{1}2dt=\frac{1}{2}

calcolo i coefficienti:

a_{k}=\frac{1}{2}\int_{0}^{1}2cos\left ( k\frac{\pi }{4} t\right )dt=\frac{4}{\pi k}sin\left ( k\frac{\pi }{4} \right )

Adesso cacolo le ampiezze delle varie armoniche:

A_{k}=\sqrt{\left ( a_{k} \right )^{2}}=\left\{\begin{matrix}
2\frac{\sqrt{2}}{\pi k} &k=1,3,5,7,... \\ 
2\frac{\sqrt{2}}{\pi k}\sqrt{1-\left ( -1 \right )^{\frac{k}{2}}} & k=2,4,6,8,....
\end{matrix}\right.

Ho assunto il periodo T=8s
Naturalmente una volta che hai il risultato puoi scalare sia l'ampiezza che la frequenza :ok:
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[45] Re: Dubbi esercizi di esame Teoria dei Segnali

Messaggioda Foto Utentemsb0ne » 19 lug 2018, 16:35

ti ringrazio per il post... purtroppo ancora non ho capito. come posso scrivere senza far diventare il segnale pari ma lasciandolo cosi' com'è? :(

e poi una volta trovati i coefficienti, come graficarli sull'asse delle frequenze?
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[46] Re: Dubbi esercizi di esame Teoria dei Segnali

Messaggioda Foto UtenteExodus » 19 lug 2018, 16:57

msb0ne ha scritto:ti ringrazio per il post... purtroppo ancora non ho capito.

Ripassati la serie di fourier, considera che le armoniche le puoi
descrivere in forma trigonometrica oltre che in forma complessa.

msb0ne ha scritto:come posso scrivere senza far diventare il segnale pari ma lasciandolo cosi' com'è?

Come ho fatto io, descrivi il segnale nel tempo ad esempio:
Ampiezza = 2 da 1s a 4s
Ampiezza = 0 da 4s a 10s
etc....
Poi applichi gli integrali.

msb0ne ha scritto:e poi una volta trovati i coefficienti, come graficarli sull'asse delle frequenze?

I coefficienti A_{k} che ho trovato io sono le ampiezze, mentre i vari k sono le armoniche .
Nel esercizio che ho svolto io per te abbiamo una componente continua A_{0} , una fondamentale a \frac{\pi }{4} e le successive armoniche a k\frac{\pi }{4}.
In pratica su un asse cartesiano avrai una serie di righe,armoniche asse delle x, ampiezze asse y ;-)

Le ampiezze ce l'hai ,le frequenze anche, cosa cerchi ancora?
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[47] Re: Dubbi esercizi di esame Teoria dei Segnali

Messaggioda Foto Utentemsb0ne » 19 lug 2018, 17:04

ma k=1 ad esempio, sull'asse delle frequenze, a cosa equivale? dovrei fare il grafico insieme al filtro passa basso ideale di ampiezza 1/9T e traslato a sinistra di 1/8T
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[48] Re: Dubbi esercizi di esame Teoria dei Segnali

Messaggioda Foto Utentedimaios » 19 lug 2018, 17:07

A volte non capisco proprio il perché di certi ragionamenti.
Per far capire a Foto Utentemsb0ne come risolvere l'esercizio visto che ha difficoltà nell'applicazione delle regole sulla trasformata di Fourier le ho chiesto di ricavare i coefficienti della serie partendo dalla definizione che è un integrale ben definito.
Non cerchiamo rogne in scalamenti tra 2\pi e T visto che i dubbi di base sono ben altri e non serve aggiungere problemi a problemi.

Per Foto Utentemsb0ne:

1. Definisci qual è il periodo dove vuoi integrare il segnale ( disegnalo per farvore prendendo quello che ti ho fatto ieri )
2. Integra per torvare i coefficienti "come se non ci fosse un domani" :!:

E' evidente che c'è una strada molto più veloce ma se non si capisce la base del ragionamento si aggiunge confusione e basta.

Una volta integrato il tutto a mano, devono comparire delle righe nello spettro distanziate di una quantità che dipende ovviamente da T quindi il periodo deve essere presente nella formula finale della serie ma in maniera esplicita non implicita.

Solo dopo questo esercizio si deve far vedere come sarebbe stato più semplice applicare le regole della trasformata per giungere al medesimo risultato con molti meno passaggi.

Questo è quanto poi scegliete liberamente cosa fare.
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[49] Re: Dubbi esercizi di esame Teoria dei Segnali

Messaggioda Foto Utentemsb0ne » 19 lug 2018, 17:14

Foto Utentedimaios ma quindi stavo procedendo bene qualche post fa... il periodo su cui dovrei integrare dovrebbe essere 8T, quei numeri complessi li dovrei esprimere sottoforma di modulo ed argomento?
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[50] Re: Dubbi esercizi di esame Teoria dei Segnali

Messaggioda Foto UtenteExodus » 19 lug 2018, 17:15

msb0ne ha scritto:ma k=1 ad esempio, sull'asse delle frequenze, a cosa equivale?

Alla fondamentale naturalmente.
k è un intero positivo 1,2,3,4,5,6,... ed equivale a:
k = 1 = Fondamentale
k = 2 = Seconda Armonica
k = 3 = Terza Armonica
k = 4 = Quarta Armonica
etc......
Armonica = Multiplo intero della frequenza fondamentale.
Frequenza fondamentale = Inverso del Periodo.
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